ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Упрощения, используемые в данном параграфе, заключаются вследующем:1. Вместо того чтобы рассматривать действительное распределение молекул по составляющим их скоростей, предполагается, что молекулы газа движутся в трех взаимноперпендикулярных направлениях. Вследствие изотропности распределения, т. е.
вследствие равной вероятности любого направления для скорости молекулы, мы предполагаем, что по каждому из трех взаимно перпендикулярных направлений движется однатреть всех молекул.2. Действительное распределение молекул по модулю скорости часто заменяетсяпредположением о равенстве скоростей всех молекул по абсолютной величине.3. При рассмотрении ударов молекул о площадку ∆S за время ∆t истинное числоударов заменяется средним.Эти же упрощения лежат в основе выводов основного уравнения кинетическойтеории газов для давления и коэффициентов переноса.Материал этого параграфа рассчитан на несколько занятий. Задачи № 3, 4, 5 родственны по характеру и можно ограничиться разбором одной или двух из них. Задачу№ 7 можно использовать при разборе молекулярной трактовки взаимосвязи внутреннейэнергии и работы газа.
Задачи № 10, 11 посвящены распределению молекул по скоростям и энергиям. Задача № 14 введена для облегчения понимания формул Максвелла иБольцмана, так как математическое выражение функции распределения по длинам свободного пробега очень простое, и с ним легко оперировать. Желательно решение этойзадачи провести до задач № 10 и 11.
Задача № 16 ставит своей целью показать в наиболее яркой форме сущность явлений переноса. Задача № 17 трактует вопрос о соударении молекул с точки зрения закона сохранения энергии и выясняет относительный характер понятия о диаметре молекулы.Задача 1Найти концентрацию молекул газа при t = 27°C под давлением p = 1 мм рт. ст.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕИскомая концентрация n0 находится из соотношения, связывающего давление газа,его концентрацию и температуру:n0 =p,kTгде k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана.Давление надо предварительно выразить в единицах СИ:p = 1 мм рт.ст.
= 1,3 ⋅102Н.м2Подставив вычисленное давление в приведенную формулу, найдемn0 = 3 ⋅1022 м −3 .Необходимо обратить внимание учащихся на то, что давление идеального газа независит ни от массы молекул, ни от числа атомов, составляющих одну молекулу. Особенно наглядно это видно на примере следующей задачи.Задача 2В сосуде, объем которого V = 0,5 л, находится 1 г парообразного йода (I2). Притемпературе t = 1000°C давление в сосуде равно 700 мм рт.
ст. Найти степень диссоциации молекул йода при этих условиях (µ = 254 г/моль).АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕСтепенью диссоциации α называется отношение числа n1 диссоциированных молекул к общему числу n0 молекул в единице объема:α=n1.n0(1)Общее число молекул определяется из условий задачиn0 =m NA⋅,µ V(2)где NA – число Авогадро.Для нахождения числа n1 надо знать общее число частиц п в единице объема, кото-рое будет определять величину давления газа.Очевидно, что число п больше, чем число молекул, т. е.n = n0 − n1 + 2 n1 = n0 + n1 .(3)Здесь разность n0 – n1 показывает число целых, недиссоциированных молекул, слагаемое 2n1 – число атомов, получившихся при диссоциации; коэффициент 2 обусловлентем, что каждая молекула распадается на 2 атома.Выразив давление в Н/м2 и температуру по абсолютной шкале, найдем общую концентрацию частицn=Концентрациямолекулn0 ,p= 5,3 ⋅1024 м −3 .kTнайденнаяпоформуле(2),оказываетсяравной4,75·1024 м-3.Подставляя значения п и n0 в выражение (3), получимn1 = n − n0 = 0,55 ⋅1024 м −3 .Теперь вычисляем искомую степень диссоциации молекулα=n1= 0,12 .n0Ввиду сложности вычислений эта задача не доводится до конца в общем виде.В рассматриваемом сосуде находятся как бы два различных газа – I2 и I.
Суммарноедавление обоих газов определяется общим числом частиц в единице объема независимоот того, что частицы эти различны и по массе, и по структуре.Задача 3На пути молекулярного пучка стоит «зеркальная»15 стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если скорость молекул в пучке с, а концентрация n0, масса одной молекулы m0. Стенка расположена перпендикулярно скорости пучка.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДавление, испытываемое стенкой, определяется силой удара каждой молекулы ичастотой этих ударов. В результате удара молекулы о «зеркальную» стенку не изменит15«Зеркальной» стенкой называется стенка, соударения с которой происходят по зако-ну абсолютно упругого удара.ся абсолютная величина скорости молекулы, но изменится ее направление на обратное.Считая начальное направление движения молекул к стенке за положительное, получим,что изменение импульса одной молекулы в результате удараδP0 = −2 m 0 c(1)(знак «минус» обусловлен выбором положительного направления).За некоторое время dt о стенку ударится dN молекул.
Следовательно, импульссредней силы, действующей на стенку со стороны молекул,fdt = −δP0 ⋅ dN .(2)Промежуток времени dt – произвольный промежуток, в течение которого о стенку ударяется большое число молекул, поэтому относительные отклонения средней силы заразные промежутки dt будут малы. Знак «минус» в выражении (2) объясняется тем, чтоf – это сила, действующая на стенку, а произведение δP0 ⋅ dN – изменение импульсамолекул.За время dt до стенки дойдут все молекулы, находящиеся от нее на расстоянии, непревышающем расстояние dx = c ⋅ dt . Следовательно,dN = n0 S ⋅ cdt ,(3)где S – площадь рассматриваемой стенки.Подставляя выражения (1) и (3) в формулу (2) и сокращая на dt, находимf = 2 m 0 c 2 n0 S ,откуда искомое давлениеP = 2 m 0 c 2 n0 .Полученный результат показывает, что прямая пропорциональность между давлением и кинетической энергией поступательного движения молекул имеет место всегда,числовой же коэффициент зависит от условий, накладываемых на характер движениямолекул: направленный пучок, хаотическое движение молекул и т.
д.Задача 4На пути молекулярного пучка находится «зеркальная» стенка, движущаяся навстречу молекулам с постоянной скоростью и. Найти давление, испытываемое стенкой,если скорость молекул в пучке с, концентрация молекул n0, масса каждой молекулы m0.Стенка расположена перпендикулярно скорости пучка.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕКак и в предыдущей задаче, импульс силы, испытываемый стенкой за некотороевремя dt, будет определяться изменением импульса каждой молекулы δP0 и числомударов dN, т.
е.fdt = −δP0 ⋅ dN .Так как стенка движется навстречу молекулам, за время dt до стенки дойдут все те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем dx = (c + u )dt . Следовательно,dN = n0 S (c + u )dt .(2)Рассмотрим теперь изменение импульса одной молекулы в результате удара остенку. В том случае, если масса стенки несоизмеримо велика по сравнению с массойодной молекулы, каждый отдельный удар не меняет скорости движения стенки, т. е.u = const.
В этом случае согласно закону упругого удара скорость молекулы после удара будет равна –(c + 2u), где знак «минус» показывает, что молекула движется от стенки. Скорость молекулы до удара с. Поэтому изменение импульса одной молекулыδP0 = −2 m 0 ( c + u ) .(3)Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1) и деля правую и левую части на dt,получимf = 2 n0 Sm 0 (c + u ) ,2откуда давление, испытываемое движущейся стенкой,p = 2 n0 m 0 (c + u ) .2Этот результат показывает, что давление молекулярного пучка определяется кинетической энергией относительного движения.Задача 5Находящийся между стенками дьюаровского сосуда воздух при температуреt1 = 16°C оказывает давление p = 2,5·10-6 мм рт.
ст. Найти давление на стенки сосуда,если его залить жидким воздухом при температуре t2 = –180°C. Температура наружныхстенок неизменна. Расстояние между стенками l = 1 см.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПри столь малых давлениях следует считать, что молекулы соударяются только состенками сосуда16. Поэтому можно предположить, что в пространстве между стенкамидьюаровского сосуда имеются как бы два встречных потока молекул. Один поток – молекулы, летящие от холодной стенки со средней скоростью v2 и имеющие среднююэнергию, соответствующую температуре T2, второй поток – молекулы, летящие от более нагретой стенки со средней скоростью v1 и обладающие средней энергией, соответствующей температуре T1.Можно считать, что от стенки к стенке сосуда движется (вследствие хаотичностидвижения молекул) одна треть всех молекул и все молекулы, летящие от стенки с температурой Т, движутся с одинаковой скоростью, равнойv=2 kT.m0(1)Рассчитаем давление, испытываемое холодной стенкой.
К этой стенке подлетаютмолекулы со скоростью v2, отлетают со скоростью –v2. (Знак «минус» объясняется тем,что за положительное направление выбираем направление к «холодной стенке».) Изменение импульса одной молекулы в результате удара о холодную стенку равноδP0 = −m 0 (v2 + v1 ) .(2)За некоторый промежуток времени dt каждая молекула ударится о холодную стенку dz раз. Как уже говорилось, от стенки к стенке движется треть всех молекул. Следовательно, за время dt холодная стенка испытывает количество ударовdN =Ndz .3(3)Величина dz может быть получена из отношенияdz =dtτ,(4)где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы об одну и туже стенку.
Очевидно, что16Правомерность такого предположения можно проверить только при сравнении дли-ны свободного пробега молекул с размерами сосуда (см. задачу № 16 § 2 гл. II).τ=l (v + v2 )ll.+= 1v1 v2v1v2(5)Подставляя выражения (5) и (4) в формулу (3), получимdN =N v1v2dt .3l (v1 + v2 )(6)Импульс средней силы, испытываемой холодной стенкой за время dt,fdt = −δP0 dN .(7)Подставим в формулу (7) выражения (2) и (6) и сократим на dt; находим, чтоf =Nm 0 v1v2.3lРазделив это выражение на площадь стенки S и учитывая, чтоN= n0 ,Slполучимp=n0 m 0 v1v2.3(8)Здесь под n0 надо понимать некоторую среднюю концентрацию молекул в сосуде.Эта концентрация может быть найдена из начальных условийn0 =p1.kT 1(9)Скорости молекул v1 и v2 соответственно равны3kT 1 ⎫,⎪m0 ⎪⎬3kT 2 ⎪.v2 =m 0 ⎪⎭v1 =(10)Вычислим теперь давление из формулы (8) с учетом равенств (9) и (10):p=p1T 1T 2 = 1,4 ⋅10 −6 мм рт.ст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
