ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Моментсилы тяжести относительно этой же оси при взаимодействии можно считать равным нулю. Это утверждение справедливо в том случае, если процесс торможения пули протекает за столь малый промежутоквремени ∆t, что доска за это время не успевает заметным образом отклониться от вертикального положения.
Таким образом, для системы пуля-доска справедлив закон сохранения момента импульса относи-Рис. 24тельно осп О: момент импульса системы до взаимодействия L1 равен моменту импульса только пули.После взаимодействия доска и пуля будут двигаться с одинаковой скоростью ω.Момент импульса системы L2 будет складываться из моментов импульса доски и пули.РЕШЕНИЕСогласно закону сохранения момента L1 = L2. По определению L1 = [r ⋅ m v]; в данном случае в момент попадания пулиr = l , ∠(r,v) =π2,следовательно,L1 = lmv .После взаимодействия()L 2 = I + ml 2 ⋅ ω ,где I =Ml 2– момент инерции доски относительно оси О; ml 2 – момент инерции пули3относительно этой же оси.
Приравнивая выражения для L1 и L2 согласно закону сохранения момента получим()lm v = I + ml 2 ω .(1)Откудаω=lmv= 0,4 с −1 .2I + mlПроверим размерность полученного выражения в СИ:dim ω = T −1 ,L1⎛ lmv ⎞= L ⋅M ⋅ ⋅= T −1 .dim ⎜2 ⎟2TML⎝ I + ml ⎠Зная угловую скорость, полученную доской в результате удара, можно найти скорость vC центра масс доски, а следовательно, и изменение импульса ∆K системы пулядоска. Направление вектора ∆p системы будет обязательно совпадать с направлениемсилы боковой реакции оси на доску, так как это единственная внешняя сила, нарушающая замкнутость системы пуля-доска.Очевидно, что и величина, и направление этой силы реакции будут зависеть припрочих равных условиях от расстояния x от оси вращения до точки попадания пулиНайдем. при каким значении расстояния х сила боковой реакции оси обратится в нуль,а следовательно, импульс системы доска-пуля будет неизменным, т.
е. p1 = p2. Если пуля попадает в доску, в точку, расположенную на расстоянии x от оси, то угловая скорость доски на основании уравнения (1)ω=m vx.I + mx 2(2)Импульс системы до попадания пули в доску равенp1 = m v ;импульс системы после попадания пули с учетом, что vC = ωl, равен2⎛ l⎞p2 = M vC + m ωx = ω ⎜ M + mx ⎟ .⎝ 2⎠Приравняем правые части последних выражений в силу закона сохранения импульса:mv =⎛ l⎞⎜ M + mx ⎟ .l2⎠M + mx 2 ⎝3mvx2Если учесть, что m << M, то приближенно получимx=Очевидно, что при x >2l.32l3∆p = p2 − p1 > 0 ,т.
е. боковая составляющая силы реакции оси направлена по движению пули.Задача 11На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω0 = 15 с-1. Ось колеса расположенавертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского.
С какой скоростью ω начнет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180° ? Моментинерции человека и скамьи I = 3 кг·м2, момент инерции колеса относительно своей осиI0 = 0,5 кг·м2.АНАЛИЗПри повороте оси колеса вокруг горизонтальной оси скорость вращения колеса вокруг своей оси по абсолютной величине не изменится, но момент импульса изменитсвой знак на обратный. Возникающие при этом повороте силы для системы скамья Жуковского (с человеком)-колесо будут внутренними силами, поэтому момент импульсасистемы в целом не изменится (моменты силы тяжести и силы реакции оси равны нулю).РЕШЕНИЕМомент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т.
е.L 1 = I 0ω 0 .Считаем первоначальное направление вращения колеса положительным. После поворота момент импульса системы будет складываться из моментов импульса колеса искамья с человеком:L 2 = − I 0ω 0 + I ω .Согласно закону сохранения момента импульсаL1 = L2 ,следовательно,I 0ω 0 = − I 0ω 0 + I ω ;отсюдаω=2 I 0ω 0= 5 с -1 .JСкамья будет вращаться в ту сторону, в которую вращалось колесо до поворота.После решения этой задачи следует обсудить случай поворота оси колеса на уголϕ=π2.В результате такого поворота проекция момента импульса колеса на вертикальную осьстанет равной нулю. Следовательно, возникший момент импульса скамьи и человекабудет равен начальному моменту импульса колеса.Задача 12По гладкой горизонтальной поверхности скользят две одинаковые «гантельки»,расположенные, как показано на рис. 25.
Скорости их соответственно равны v1 и v2.Каждая из гантелек представляет собой невесомый жесткий стержень длиной l, на концах которого укреплены одинаковые точечные массы. Определить характер движениякаждой из гантелек после удара. Удар считать абсолютно упругим.Рис. 25АНАЛИЗТак как гантельки скользят по гладкой горизонтальной плоскости, рассматриваемаясистема тел замкнута (силы тяжести уравновешены силами нормальной реакции).
Ударабсолютно упругий, следовательно, система будет подчиняться и закону сохраненияимпульса, и закону сохранения энергии. Однако линия силы взаимодействия, действующей на первую гантель, не проходит через ее центр масс, и поэтому первая гантельбудет после удара совершать и поступательное движение, и вращательное – вокругсвоего центра масс. Моменты внешних сил также равны нулю, следовательно, к даннойсистеме применим не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения моментов импульса относительно любой точки.
Так как удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела являются идеально гладкими, поэтому векторы скоростей u1 и u2 поступательного движения гантелек и после удара должны быть параллельны (или антипараллельны) оси x, проведенной по направлению начальных скоростей.Запишем закон сохранения импульса сразу в скалярном виде:2 m v1 + 2 m v2 = 2 mu1 + 2 mu 2 .(1)Закон сохранения момента импульса напишем относительно точки С. До удара мо-мент импульса системы был равен моменту импульса только второй гантельки, т. е.L 1 = m v2 r1 sin α1 + m v2 r2 sin α 2 .(2)Как видно из рис.
25,r1 sin α 1 = r2 sin α 2 =l2и вектор L1 момента импульса направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас»(по определению момент импульса материальной точки L i = [ri ⋅ mi v i ] ). После ударамомент импульса системы будет складываться из моментов импульса обеих гантелек:L2 = 2ml 2lω + 2mu 2 .42(3)Такая запись соответствует предположению, что после удара вторая гантель сохранит свое направление движения, а первая будет вращаться вокруг своего центра по часовой стрелке.
Учитывая, что после удара первая гантель будет совершать и поступательное, и вращательное движение, закон сохранения энергии для первой гантели запишем в видеml 2 2⋅ωv12v22u2u1242m+ 2m= 2m+2+ 2m 2 .22222(4)РЕШЕНИЕПриравнивая правые части выражений (2) и (3) в силу закона сохранения моментаимпульса, найдемωПодставляя выражение ωl= v2 − u 2 .2(5)lв уравнение (4), после элементарных преобразований по2лучимv12 − u12 = 2 u2 (u2 − v2 ) .(6)Уравнение (1) после некоторых преобразований примет видv1 − u1 = u2 − v2 .Совместное решение уравнений (6), (7) и (5) дает(7)u1 =1(v1 + 2 v2 ) ;3u2 =1(2 v1 + v2 ) ;3ω=4(v2 − v1 ) .3lПри заданном направлении начальных скоростей скорости u1 , u 2 поступательногодвижения обязательно положительны; столкновение произойдет только при условии,если v1 > v2, следовательно, ω < 0, т.
е. первая гантель будет вращаться против часовойстрелки.Если v2 < 0, то гантели движутся навстречу друг другу, и при v1 = 2 v2 первая гантель будет только вращаться с угловой скоростью ω = −4 v2l. Знак «минус» по-прежнему указывает, что вращение будет происходить против часовой стрелки. Приv1 =1v2 после удара остановится вторая гантель.2§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯКинематикаМеханические колебания отличаются от рассмотренных выше видов движения тем,что ускорение при колебательном движении есть переменная величина. В силу этогонеобходимо тщательно рассмотреть на упражнениях соотношения между кинематическими параметрами колебательного движения.Изучение колебаний следует начинать с гармонических колебаний.
Гармоническимколебательным движением называется такое движение, при котором смещение точкиили тела меняется со временем по гармоническому (синусоидальному) закону.В зависимости от характера движения его можно описывать при помощи либо линейной, либо угловой координаты.
И в том, и в другом случаях закон гармоническогодвижения имеет следующий вид:x = x0 sin (ωt + α 0 ) ⎫⎬x = x0 cos(ωt + α 0 )⎭(1)где х – значение координаты (угловой φ или линейной s) в момент времени t; x0 – амплитуда колебаний (угловая или линейная); ω – круговая частота; ωt + α 0 – фаза колебаний; α0 – начальная фаза. Оба выражения (1) совершенно идентичны и отличаютсятолько значениями начальных фаз на ±π2.Дифференцируя первую формулу выражения (1), получимгдеdx= x0ω cos(ωt + α 0 ) ,dt(2)d 2x= − x0ω 2 sin (ωt + α 0 ) ,2dt(3)d 2xdxравно линейной или угловой скорости,равно линейному или угловому усdtdt 2корению.Следует обратить внимание учащихся на то, что:1) ускорение при гармоническим колебании прямо пропорционально смещению,взятому с обратным знаком, а коэффициент пропорциональности равен квадрату кру-говой частоты:d 2x= −ω 2 x ;dt 22) величина скорости достигает максимального значения, когда смещение и ускорение равны нулю.Задача 1Какова частота, амплитуда и начальная фаза колебаний, заданных уравнением (вСИ) s = sin (630t + 1) ? Каковы максимальные скорость и ускорение точки, колеблющейся по заданному закону?РЕШЕНИЕПростое сравнение общей формулы гармонического колебательного движенияs = A sin (ωt + α 0 )с заданным законом движенияs = sin (630t + 1)позволяет сразу же ответить на поставленные вопросы:A = 1 м ; ω = 630 с -1 ;v=ω= 20 Гц ; α = 1 рад ;2πv max = ωA = 630м;сa max = ω 2 A = 4 ⋅ 105м.с2Задача 2За какую долю периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет пути, равные половине амплитуды и амплитуде, если в начальный момент тело проходило через положение равновесия?АНАЛИЗПуть l, пройденный телом, в данном случае может быть выражен как разностьсмещений тела s в разных положениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
