ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Потенциальная энергия системы уменьшилась при переходе изпервого состояния во второе. Следовательно,∆E п = −mgh .(3)Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим8Разность ∆E = E2 – E1, где E2 всегда конечное, а E1 – начальное значение энергии.9Это замечание относится ко всем задачам, в которых рассматривается система, вклю-чающая Землю.v 2 − v02 − 2 gh = 0 ,откудаv = v02 + 2 gh = 8,6 м с .Задача 5Камень массой m = 100 г, соскользнув с наклонной плоскости высотой h = 3 м,приобрел в конце ее скорость v = 6 м/с. Найти работу силы трения.АНАЛИЗРабота силы трения не может быть найдена из формулы A = Fs, если не известныугол наклона плоскости и ее длина; значит, единственно возможный путь решения –это использование закона изменения механической энергии.На камень во время движения действуют три силы: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр.
Работа силы нормальной реакции, внешней по отношению к системе камень-Земля, равна нулю, так как угол (N, s ) =π2.Работа силы трения, искомая величина, заведомо нулю не равна, поэтому закон сохранения механической энергии к системе камень-Земля применять нельзя, т. е.∆E к + ∆E п ≠ 0 .(1)Знак неравенства обусловлен действием именно силы трения. Поэтому изменение полной энергии системы камень-Земля будет равно работе этой силы, т.
е.∆E к + ∆E п = A тр .(2)РЕШЕНИЕРассмотрим в отдельности значения слагаемых, входящих в левую часть уравнения(2):∆E к =mv2,2так как начальная скорость камня v0 = 0,∆Eп = − mgh(знак «минус» говорит о том, что потенциальная энергия системы уменьшилась).Тогда уравнение (2) запишем в следующем виде:mv2− mgh = A тр ,2откуда, вычисляя, получимA тр = −1,2 Дж .(Знак «минус» объясняется тем, что сила трения препятствует перемещению камня.)Задача 6На нити длиной l = 30 см подвешен точечный грузик. Какую наименьшую начальную скорость надо сообщить грузу в нижней точке В (рис. 16), чтобы он начал вращаться в вертикальной плоскости?Рис.
16АНАЛИЗТак как груз подвешен на нити, а не на стержне, то в верхней точке С скорость груза заведомо не может равняться нулю. Поэтому выясним сначала, какой минимальнойскоростью должен обладать груз в верхней точке С при вращении в вертикальнойплоскости. Для того чтобы тело двигалось по окружности заданного радиуса r (а в данном случае r = l), сумма проекций всех действующих сил на нормальное (к траектории)направление должна равняться произведению массы тела на величину нормального ускорения, т. е.
произведению mv2.rНа груз, подвешенный на нити, во время его движения действуют две силы: силатяжести Р и сила натяжения Т. В точке С обе силы направлены по вертикали вниз.Следовательно,m vC2= P +T .lПо мере уменьшения скорости в точке С будет уменьшаться сила натяжения.
ЕслиvC = min, то Т = 0. Поэтому минимальная скорость груза в точке С определяется соот-ношениемm vC2= mg ; vC2 = gl .l(1)Скорость груза в точке В может быть теперь определена из закона сохраненияэнергии, применимость которого объясняется тем, что сила натяжения Т работы вовремя движения не совершает. Это означает, что система груз-Земля может рассматриваться как консервативная (при этом мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, трением в точке подвеса), и тогда имеем∆E к + ∆E п = 0 .(2)РЕШЕНИЕПри переходе грузика из положения B в положение С потенциальная энергия системы груз-Земля возрастет на величину∆E п = mg ⋅ 2 l ,(3)кинетическая энергия груза изменится на величинуm vC2 m v B2∆E к =−.22(4)Подставив выражения (3) и (4) в равенство (2), находимv B2 = vC2 + 4 gl .Учитывая выражение (1) для vC2 получим окончательный результатv B2 = 5 gl , v B = 5 gl = 3,8 м с .Задача 7С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз.
С какой высоты h, считая от вершины (рис. 17), груз сорвется со сферы? Радиус сферы r = 90 см.АНАЛИЗКак и предыдущая, данная задача сводится в основном к нахождению условийдвижения груза по заданной траектории. В каждый данный момент сумма проекцийвсех действующих на груз сил на направление, нормальное к траектории, должна равv2няться произведению ma n = m .rРис. 17На груз во время его движения по сфере действуют две силы: сила тяжести и силанормальной реакции со стороны сферы. Уравнение движения груза в проекции на ось xможет быть записано следующим образом:mv2= mg cos α − N .rПри движении груза по сфере скорость будет возрастать под действием проекциисилы тяжести на касательное направление, а сила его давления на сферу, а значит и сила нормальной реакции со стороны сферы будут уменьшатся, и в момент срыва груза страектории N = 0.
Из этого условия получим, чтоv2= g cos α .r(1)Второе уравнение для скорости v груза в момент срыва может быть получено из закона сохранения энергии системы груз-Земля, применимого на основании того, что сила нормальной реакции во время движения груза работы не совершает, трение отсутствует по условию. Поэтому∆E к + ∆E п = 0 .(2)РЕШЕНИЕПри скольжении груза по сфере потенциальная энергия системы уменьшается навеличину∆E п = − mgh ,(3)где h – искомая высота. Кинетическая энергия груза возрастает на величину∆E к =mv2.2(4)Подставив выражения (3) и (4) в уравнение (2), находимv 2 = 2 gh .Учитывая, что cos α =(5)r −h, выражение (1) может быть записано следующим образом:rv 2 = g (r − h ) .(6)При совместном решении уравнений (5) и (6) получимh=r= 30 см .3Задача 8Для забивки сваи массой m = 100 кг используется копер, подъемная часть которого,так называемая «баба», массой M = 400 кг падает с высоты h = 1,5 м.
Найти среднююсилу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая уходит в землю наглубину s = 5 см. Считать удар между сваей и падающим грузом абсолютно неупругим.АНАЛИЗСогласно условию удар между падающим грузом и сваей неупругий, груз и сваяпосле удара будут двигаться вместе. При прохождении пути s системой свая-груз нанее действуют сила тяжести, и сила сопротивления грунта. Работа этой последней силызаведомо не равна нулю. Следовательно, к системе груз-свая-Земля закон сохраненияэнергии не применим, т.
е.∆E к + ∆E п ≠ 0 .Знак неравенства обусловлен работой силы сопротивления, поэтому можно записать∆E к + ∆E п = Aсопр .(1)На пути s потенциальная энергия системы уменьшается на величину∆E п = −(m + M )gs ;кинетическая энергия уменьшается до нуля, поэтому(2)∆E к = −(m + M )u 2 ,2(3)где u – общая скорость груза и сваи после удара.При таком рассмотрении предполагаем, что удар настолько кратковременный, чтосмещением сваи в процессе удара можно пренебречь.
Работа силы сопротивленияAсопр = −F ⋅ s(4)(знак «минус» объясняется направлением искомой силы F).После подстановки выражений (2), (3), (4) в уравнение (1) видно, что нахождениесилы сопротивления сводится к определению скорости u. Так как скорость и являетсяследствием ударного взаимодействия двух тел, она может быть найдена только с помощью закона сохранения импульса.
Но система груз-свая не является замкнутой системой потому, что на взаимодействующие тела действуют внешние силы – сила тяжести и сила сопротивления грунта. Эти силы, во-первых, коллинеарны со скоростями и,во-вторых, заведомо не уравновешивают друг друга, так как в процессе взаимодействиясила сопротивления изменяется по величине. Поэтому в данной задаче закон сохранения может быть использован только в предположении, что сила взаимодействия, развиваемая при ударе, велика по сравнению с указанными внешними силами.РЕШЕНИЕПодставив в уравнение (1) выражения (2), (3), (4), получим(m + M )gs + (m + M )u22= Fs .(5)Применяя к системе груз-свая закон сохранения количества движения, получимM v = (M + m )u ,(6)где v – скорость груза в конце падения с высоты h. Если не учитывать сопротивлениявоздуха и трения, тоv = 2 gh ,откудаu=M 2 gh.M +mЗаменяя и через выражение (7), окончательно находим(7)F=M 2g h⋅ + (m + M )g = 1⋅10 5 Н .M +m s(8)Проведем анализ размерностей полученной формулы в системе L, M, Т, т.
е. в такойсистеме, в которой в качестве основных величин выбраны длина (L), масса (M), время(T). К таким системам в частности относятся системы СГС и СИ.Размерность силы10dim F = MLT −2 .Размерность первого слагаемого правой части уравнения (8)M2⋅L 1 L⋅ ⋅ = MLT −2 ;T2 M Lразмерность второго слагаемогоM⋅L≡ MLT −2 .2TКак видно, размерности всех членов равенства совпадают и равны размерности силы.Можно также проводить проверку формулы, пользуясь размерностями единиц измерений в определенных системах.
Например, в системе СИ будем иметь для первогослагаемого⎡ M 2 g h ⎤ кг 2 ⋅ м м кг ⋅ м⋅ ⎥=⋅ = 2 =Н ;⎢2с⎣ M + m s ⎦ кг ⋅ с мдля второго слагаемого[(M + m )g] = кг ⋅ м2с=Н .Следовательно, подставив в окончательную формулу значения величин, выраженные вСИ, получим силу в ньютонах.Следует отметить, что числовые значения h и s первого слагаемого можно подставлять в окончательную формулу в любых, но одинаковых единицах (метрах, сантиметрах и т. п.).Задача 910В настоящее время в учебной литературе для обозначения размерности величинывместо квадратных скобок употребляется термин «dim», что означает размер, измерение.Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, попадает вмешок, набитый ватой, массой M = 4 кг, висящий на длинной нити (рис.
18). Найти высоту, на которую поднимается мешок, если пуля застрянет в нем, и долю ее кинетической энергии, которая будет израсходована на пробивание ваты.Рис. 18АНАЛИЗВ результате попадания пули в мешок последний получит некоторую скорость иначнет двигаться влево по дуге радиуса l, где l – длина нити. Вследствие действия силытяжести скорость мешка будет непрерывно убывать до нуля. Зная начальную скоростьмешка u, можно найти высоту его подъема h кинематически, однако ускорение мешкабудет функцией угла отклонения α, поэтому решение будет связано с математическимитрудностями.
Для избежания этого применим к системе мешок-Земля закон сохраненияэнергии (на мешок, кроме силы тяжести – внутренней силы по отношению к рассматриваемой системе, действует сила натяжения нити, но работа этой силы равна нулю,так как угол (T, s ) =π2):∆E к + ∆E п = 0 .(1)Здесь∆E к(M + m )u 2=−.2(2)Знак «минус» показывает, что при подъеме мешка его кинетическая энергия убыва-ет до нуля; сумма масс берется потому, что пуля застревает в мешке и движется вместес ним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
