ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Во время движения на столб действует толькосила тяжести, следовательно, к системе столб-Земля может быть применен закон сохранения энергии∆E к + ∆E п = 0 .(1)Решение данной задачи с помощью основного уравнения динамики вращательногодвижения представляет математические трудности, так как момент силы тяжести, поддействием которой происходит движение столба, а следовательно, и угловое ускорениеизменяются во времени.РЕШЕНИЕИскомая скорость верхней точки столба может быть определена из формулыv = ωh ,(2)где ω угловая скорость столба в момент падения, h – радиус окружности, описываемойверхним концом столба.Изменение кинетической энергии столба в результате падения∆E к =Iω 2,2(3)где I – момент инерции столба относительно горизонтальной оси, проходящей черезнижний его конец.Значение I =mh 2, рассчитанное на основании теоремы Штейнера, подставим в3выражение (3), тогда∆E к =mω 2 h2.6Центр масс столба в результате падения опускается на величину(4)h, следовательно,2уменьшение потенциальной энергииh∆E п = −mg .2(5)Подставляя выражения (4) и (5) в уравнение (1), получим− mgh mh 2ω 2+= 0;26если для этого уравнения учесть выражение (2), то найдемv = 3 gh = 12м.сЗаметим, что в этом случае скорость верхнего конца столба больше, чем скоростьтела при свободном падении с той же высоты.
Это объясняется тем, что столб при падении деформируется и на каждую его часть, кроме силы тяжести, будут еще действовать силы деформации.Задача 8По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массой m накоторый намотана нить. Ко второму концу нити, переброшенному через легкий блок,подвешен груз той же массы m (рис. 23). Система предоставлена самой себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом.Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.АНАЛИЗРассматриваемая система состоит из двух тел – груза и цилиндра.
Первое, совершает поступательное движение и его ускорение a будет определяться разностью силытяжести и силы натяжения нити. Второе тело будет участвовать и в поступательном, иво вращательном движениях вокруг центра масс, так как линии действия сил натяженияT и трения fтр не проходят через его центр масс.
Невесомость блока позволяет считатьсилу натяжения вдоль нити постоянной.Рис. 23Нерастяжимость нити и отсутствие проскальзывания между цилиндром и нитьюпозволяет утверждать, что ускорение точки М цилиндра и ускорение груза равны поабсолютному значению, т. е. aM = a. Так как по условию цилиндр катится без скольжения, то ускорение a0 его центра масс, угловое ускорение ε вращательного движения икасательное ускорение а точки М связаны соотношениямиa0 = ε r ;(1)a = a0 + εr = 2a0 ,(2)где r – радиус цилиндра.Ускорение a0 центра масс определяется разностью сил натяжения и трения, а угловое ускорение ε – моментами тех же сил. Сила тяжести цилиндра и сила нормальнойреакции стола заведомо уравновешивают друг друга и не рассматриваются.РЕШЕНИЕКоллинеарность сил, действующих на груз, позволяет написать уравнение его движения сразу в скалярном виде:ma = mg − T ′ (T ′ = T ) ;(3)при этом направление вниз принято за положительное.Уравнение поступательного движения цилиндра может быть также сразу записанов скалярном виде.
Если принять направление силы натяжения за положительное,ma 0 = T − f тр .(4)Уравнение вращательного движения цилиндра запишем в видеI ε = Tr + f тр r .(5)При решении задачи принято без оговорок направление трения, показанное нарис. 23. Легко видеть, что изменение направления её на противоположное изменит знаквторого слагаемого в равенствах (4) и (5) и поэтому не скажется на выражении для ускорения.Для того чтобы не повторять решения отдельно для полого и сплошного цилиндров, выразим момент инерции как I = bmr 2 , где b = 1 для полого цилиндра, b =1для2сплошного. Учитывая соотношения (1), (2) и выражение момента инерции, получимсистему трех уравнений:⎧⎪ma = mg − T ;⎪⎪ a⎨m = T − f тр ;⎪ 2⎪ a⎪⎩bm 2 = T + f тр .Совместное решение уравнений (6) даетa=4g;5+bf тр = mgb −1.5+bДля сплошного цилиндра получимa1 =18g , f тр1 = − mg ;1111(6)для полого цилиндраa2 =2g ; f тр 2 = 0 .3Полученные значения сил трения могут показаться странными и их необходимопояснить.
Сила fтр стремится воспрепятствовать скольжению цилиндра относительностола и будет направлена в сторону, противоположную результирующей скорости точки N в отсутствие трения. Эта скорость будет складываться из скорости поступательного движения и вращательного, обусловленного моментом силы натяжения нити относительно центра масс цилиндра; так как цилиндр не имеет начальной скорости, то направление результирующей скорости любой его точки будет совпадать с направлениемее результирующего касательного ускорения. Касательное ускорение точки N без трения равноa N = a0 − εr ,(7)где a0 – ускорение центра масс, εr – касательное ускорение точек обода, обусловленноевращением цилиндра.
Уравнения движения цилиндра в отсутствие силы трения примутвид;ma0 = T ,I ε = Tr .Заменяя опять I через bmr 2 и исключая силу натяжения при решении этих уравнений,получимεr =a0.b(8)Подставив выражение (8) в равенство (7), найдем⎛ 1⎞a N = a0 ⎜1 − ⎟ .⎝ b⎠1⎞⎛Для сплошного цилиндра ⎜ b = ⎟2⎠⎝a N = − a0 ,т. е. касательное ускорение, а значит и скорость точки N, в отсутствие трения направлены «налево», следовательно, сила трения, препятствующая скольжению цилиндраотносительно стола, направлена «направо», т.
е. так же, как и сила натяжения. Этим иобъясняется знак «минус» в полученном выражении для fтр1. Для полого цилиндра(b = 1)aN = 0 ,т. е. касательное ускорение, а значит, и скорость точки N равны нулю и в отсутствиесилы трения. Это значит, что в условиях данной задачи цилиндр будет катиться безскольжения и по идеально гладкому столу.Задача 9На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири по 10 кгкаждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l1 = 75 см.
Скамья вращается, делая n1 =1 об/с. Как изменится скорость вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно осивращения I0 = 2,5 кг·м2.АНАЛИЗПри перемещении гирь относительно оси вращения на систему человек-скамьягири будут действовать внешние силы – силы реакции оси, линия действия которыхпроходит через ось. Момент этих сил равен нулю.
Следовательно, для системы человек-гири-скамья будет выполняться закон сохранения момента импульса. Так как момент инерции гирь, а следовательно, всей системы будет уменьшаться, скорость вращения скамьи будет возрастать, возрастет и кинетическая энергия системы. Увеличение кинетической энергии происходит за счет работы человека12.Момент силы тяжести относительно оси скамьи (ось вертикальна) равен нулю; работы сила тяжести не совершает (гири не смещаются по высоте).РЕШЕНИЕДо перемещения гирь момент импульса системы()()L 1 = I 0 + 2 ml12 ω1 ;после перемещенияL 2 = I 0 + 2 ml 22 ω 2 .Но L1 = L2, следовательно,(I0)()+ 2 ml12 ⋅ 2πn1 = I 0 + 2 ml 22 ⋅ 2πn2 ,откудаI 0 + 2 ml12обn2 = n1= 4,2.2сI 0 + 2 ml 212Анализ движения груза и характер внутренних сил дать невозможно, так как этот ма-териал выходит за рамки курса.Работа человека равна приросту кинетической энергии системы:A = E к 2 − E к1 .Так как начальная кинетическая энергия системы(ω1221)2,E к 2 = I 0 + 2 ml 22)ω2,E к1 = I 0 + 2 mlконечная кинетическая энергия системы(22то[()() ]A = 2π 2 I 0 + 2 ml 22 n22 − I 0 + 2 ml12 n12 = 870 Дж .Задача 10Тяжелая узкая доска длиной l = 50 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через один из ее концов.
В другой конец попадает пулямассой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, перпендикулярнойоси вращения (рис. 24). Пуля застревает в доске, масса которой M = 60 кг. Найти угловую скорость доски сразу после попадания нули. На каком расстоянии от оси вращениядолжна попасть пуля, чтобы горизонтальная составляющая силы реакции оси в моментудара равнялась нулю?АНАЛИЗВ момент удара на доску будет действовать сила реакции оси, представляющая собой внешнюю силу, момент которой относительно оси вращения будет равен нулю, таккак линия ее действия проходит через ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
