ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогдаl = s − s0 ,где s и s0 – смещения колеблющегося тела от положения равновесия соответственно вконце и начале пути. В первом случаеl1 = s1 − s 0 ;(1)согласно условиюs1 =A; s0 = 0 .2Во втором случаеl2 = s2 − s0 ,(2)где s2 – смещение тела к концу второго пути; согласно условиюs2 = A .РЕШЕНИЕТело совершает гармонические колебания по законуs = A sin ωt ;(3)Такая запись закона движения вытекает из условия, что начальная фаза равна нулю.При t = 0 имеемs = s 0 = 0 ; при t = t1 s = s1 =Подставив эти условия в формулу (1), получимl1 = A sin ωt1 =A,2Откудаωt1 =π6и t1 =ππT=.6ω 6 ⋅ 2πОкончательноt1 =T12.При t = t 2 имеем s = s 2 = A ; отсюда по формуле (2)l 2 = A sin ωt 2 = A ;A.2ωt 2 =π2; t2 =T.4Следует сопоставить оба полученных результата, обратив внимание учащихся нато обстоятельство, что путь в два раза больший пройден за время в три раза большее.Рекомендуется подсчитать: 1) время прохождения второй половины амплитуды; 2)время, в течение которого тело пройдет путь, равный амплитуде, если s 0 =A, в двух2случаях: когда тело движется от положения равновесия и когда к положению равновесия.Задача 3Плоская спиральная пружина совершает гармонические колебания; при этом мак⎛ d 2ϕ ⎞⎛ dϕ ⎞-1⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 3,9 с -2 .=0,63с;максимальноеускорениесимальная скорость ее ⎜⎟⎝ dt ⎠ max⎝ dt ⎠ maxНайти амплитуду φ0 и период колебаний.АНАЛИЗОтличительным признаком гармонических колебании является однозначная связьмежду амплитудой и максимальными значениями скорости и ускорения:Ω max = ϕ 0ω ,(1)ε max = ϕ 0ω 2 ,(2)гдеΩ=dϕd 2ϕ,ε= 2 .dtdtРЕШЕНИЕИз формул (1) и (2) получаемε maxΩ max=ω;Ω 2maxε maxПодставляя числовые значения, находимω = 6,3 с -1 ;откуда= ϕ0 .T=2πω= 1 с ; ϕ 0 = 0,1 рад .ДинамикаТак как ускорение при гармоническом колебательном движении прямо пропорционально смещению с обратным знаком, то, следовательно, результирующая сила (результирующий вращающий момент), вызывающая движение тела, тоже прямо пропорциональна смещению тела, взятому с обратным знаком.
II закон Ньютона (основноеуравнение вращательного движения) при этом условии будет иметь видmId 2s= − ks ,dt 2d 2ϕ= −D ϕ .dt 2Решения написанных дифференциальных уравнений имеют видs = s0 sin (ωt + α 0 ) и ϕ = ϕ 0 sin (ωt + α 0 ) .Параметры системы m, и k (J и D) однозначно определяют значение круговой частоты:ω2 =k,mω2 =D.Iили по аналогииЗначения амплитуды начальной фазы определяются только начальными условиями.Для тела, совершающего гармоническое колебательное движение, имеет место закон сохранения энергии;E к + E п = const ,гдеEк =mv2ks 2, Eп =22Eк =Iω 2Dϕ 2; Eп =.22илиЗадача 1Найти период колебаний физического маятника, совершающего малые колебания,состоящего из однородного стержня длиной l = 30 см; точка подвеса укреплена на расстоянии x = 10 см от центра масс стержня. Начертить график зависимости периода отрасстояния х.АНАЛИЗПри малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершаетгармонические колебания с периодомT = 2πI,mgxгде I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса, m– масса стержня.
x – расстояние центра масс от точки подвеса.РЕШЕНИЕМомент инерции стержня согласно теореме Штейнера равенml 2I=+ mx 2 .12Тогда период колебанийl2+ x2T = 2π 12= 0,84 с .gxДля того чтобы выяснить характер графика зависимости периода Т от расстояния x,надо найти точки экстремума.Дифференцируя, выражение для периода Т по х, найдемdTl= 0 при x =;dx12при этом значенииd 2T> 0.dx 2Следовательно, при x =l12график имеет минимум.При уменьшении расстояния период колебаний будет возрастать; при x = 0 T = ∞,что соответствует положению безразличного равновесия. При x >> l, что соответствуеткачанию маятника подвешенного на длинной нити,l2+ x2lim 12=x →∞xgx;gпериод этого маятника будет равен периоду математического маятникаT = 2πa.gЗадача 2Найти период колебаний столбика ртути в U-образной трубке при выведении его изположения равновесия (рис. 26).
Площадь сечения трубки S = 0,3 см2, масса ртутиm = 120 г.АНАЛИЗЕсли ртуть, налитую в U-образную трубку, вывести из положения равновесия, товся масса ртути будет совершать колебательное движение.Очевидно, что колебания каждого уровня будут совершаться относительно положения равновесия, соответствующего равным высотам уровней ртути в обоих коленах. Поэтому разность уровней удобно обозначить через 2x. Вся масса ртути будет находиться под действием избыточного давления столба ртути высотой 2х, поэтомуm&x& = −2 xSDg ,(1)где D – плотность ртути.Рис. 26Знак «минус» в данном случае говорит о том, что сила давления,оказываемая первым столбиком высотой 2x, направлена вниз, и правый уровень относительно положения равновесия смещен вверх.РЕШЕНИЕСчитаем, что трение между ртутью и стенками сосуда отсутствует.Из уравнения (1) находимω2 =тогда период колебаний2SDg;m(2)T=2πω= 2πm= 0,75 c .2 SDgПроверим полученную формулу, пользуясь размерностями единиц измерения вСИ:132 2[T ] = ⎛⎜⎜ кг ⋅ 12 ⋅ м ⋅ с ⎞⎟⎟ = с .м кг м ⎠⎝Задача 3Однородный стержень подвешен на двух параллельных нитях длиной l каждая(рис.
27). Найти период колебаний стержня, возникающих при повороте его на малыйугол вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Нити прикрепленык концам стержня.Рис. 27АНАЛИЗДля того чтобы найти период колебаний, надо найти соотношение между ускорением и смещением стержня. Колебательный характер движения стержня становитсяочевидным из качественного анализа: при повороте стержня центр масс поднимается,оставаясь на одной и той же вертикали, но нити отклонятся от вертикального положения: следовательно, возникнет момент сил натяжения относительно вертикальной оси,проходящей через центр масс. При прохождении через начальное положение, когда нити займут вертикальное положение и момент действующих на стержень сил будет равен нулю, стержень будет обладать некотором кинетической энергией, причем угловаяскорость стержня будет направлена в сторону, противоположную начальному смещению.
По инерции стержень повернется дальше на некоторый угол, и весь процесс начинается сначала.Момент силы тяжести относительно вертикальной оси будет равен нулю, так какэта сила параллельна оси. При отклонении нитей от вертикального положения моментсилы натяжения нити не равен нулю. Очевидно, что вращающий момент будет создаваться • горизонтальной составляющей силы натяжения, так что моментM н = f н sin α ⋅ x ,(1)где fн – сила натяжения нити; α – угол отклонения нити от вертикали; x – расстояние отконца стержня (от точки приложения силы fн) до оси.Вертикальные составляющие обоих сил натяжения должны уравновешивать силутяжести стержня, т. е. должно выполняться условие2 f н cosα = mg .(2)РЕШЕНИЕДвижение стержня рассматривается как вращение вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину.
Очевидно, угол φ отклонения стержня от начального положения будет связан с углом α отклонения нити от вертикали соотношениемαl = ϕ ⋅d,2(3)где d – длина стержня. Расстояниеx=d.2(4)По условию угол φ мал, а следовательно, мал и угол α.
Поэтому можно положить,чтоsin α = α ;(5)cos α = 1 .(6)Подставляя последовательно выражения (5), (3) и (4) в равенство (1), получимM н = − fн ⋅d2⋅ϕ .4l(7)(знак «минус» означает, что момент силы натяжения стремится уменьшить угол φ). Извыражений (2) и (6) следуетfн =mg.2(8)С учётом того, что обе нити действуют на стержень относительно выбранной осиодинаково, основное уравнение динамики для стержня может быть записано следующим образом:Id 2ϕ= −2M н ,dt 2где I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину.Подставляя сюда выражения (7) и (8), получаемIУчитывая, что I =d 2ϕd2=−mg⋅ϕ .4ldt 2md 2, будем иметь12d 2ϕ3g=− ϕ.2ldtПоследнее уравнение однозначно определяет, что стержень будет совершать гармонические колебания с периодом T = 2πl.3gЗадача 4К горизонтальной стойке прикреплена пружина, ко второму концу которой подвешен груз. Определить характер движения груза при колебаниях пружины и период колебаний, если статическое растяжение пружины x0 = 20 см (рис.
28). Массой пружиныпренебречь.АНАЛИЗВ процессе движения на груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругостипружины. Сила упругости пружины однозначно определяется величиной растяженияпружины или величиной смещения ее конца.Если х – смещение конца пружины от прямой AA' – уровня, на котором находилсяконец пружины при отсутствии груза, то сила натяжения записывается следующим образом:f н = −kx .(1)Примем направление вниз за положительное. Тогда II закон Ньютона для подвешенного груза запишем в скалярной формеm&x& = mg − kx ,(2)где &x& – ускорение груза, k – коэффициент упругости пружины.Рис. 28Если перенести начало координат в положение равновесия груза, т. е в положение,при котором сила тяжести уравновешивается силой упругости, то уравнение приметиной вид.
Обозначим текущее смещение тела от положения равновесия через ξ, а расстояние положения равновесия от прямой AA' (т. е. статическое растяжение) через x0,тогдаx = ξ + x0 ,(3)&x& = ξ&& .(4)Растяжение x0 удовлетворяет условиюmg − kx0 = 0 .(5)Подставляя равенства (3), (4) в уравнение (2), получимmξ&& = mg − k (ξ + x0 ) ,но с учетом соотношения (5) окончательный результат будетmξ&& = − kξ .(6)РЕШЕНИЕПолученное уравнение (6) показывает, что груз будет совершать гармоническоеколебательное движение с периодомT = 2πв котором отношениеm,kmнаходится из равенства (5)km x0=.kgПодставим это выражение в формулу периода и вычислимx0= 0,88 с .gT = 2πЗадача 5Акробат прыгает в упругую сетку с высоты h = 10 м.
Во сколько раз наибольшаясила давления акробата на сетку больше силы тяжести, если статический прогиб сеткиx0 = 20 см ? Массой сетки пренебречь.АНАЛИЗПри падении акробата в сетку возникает сила f' действия сетки на акробата, равнаяв любой момент искомой силе давления акробата на сетку. Эта сила достигнет максимального значения в низшей точке.Вследствие того, что сетка упругая, сила f пропорциональна прогибу сетки, т. е.f = kx ,где k – коэффициент упругости сетки, х – прогиб сетки. В низшей точке x = xmax и искомое отношение n будет равноn=kx max.mg(1)Максимальный прогиб сетки может быть определен из закона сохранения энергии,применимого к системе акробат-Земля-сетка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
