ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Сила трения между муфтами и стержнем отсутствует. Следовательно, изменение кинетической энергии всей системы∆E к = 0 .(2)Так как ось вращения проходит через центр тяжести системы, кинетическая энергия при движении муфт вдоль стержня будет равна сумме энергий вращательного и поступательного движений.РЕШЕНИЕ1-й случайРассчитаем работу, совершенную силой инерции, действующей на каждую измуфт:l0Aцб = ∫ mω1 rdr =2l1mω 1 2 2(l 0 − l1 ) .22Эта работа положительна. Подставляя это выражение в равенство (1), получаемv′ = ω1 ( l02 − l12 ) = 0,98м.сЕсли искать решение исходя из II закона Ньютона, то уравнение движения муфтывдоль оси х, направленной по стержню, имеет видmdv′= mω 2 x ;dtздесь х – мгновенное значение расстояния от оси вращения до муфты. Чтобы исключить переменную t, можно записатьdv′ dv′ dx dv′==v′ ,dtdx dt dxи тогда решение задачи сведется к решению дифференциального уравненияm v′dv = m ω 1 xdx .22-й случайИспользуя инерциальную систему отсчета, можно записать, что в начальный момент, до пережигания нити, кинетическая энергия системыI 1ω1,22E1 =(3)где момент инерцииI 1 = I 0 + 2l12 m .(4)После пережигания нити, когда муфты подойдут к концам стержня, кинетическаяэнергияE2 =2I 2ω 2v′2.+ 2m22(5)Теперь момент инерцииI 2 = I 0 + 2ml 02 .(6)Угловую скорость вращения ω2 найдем из постоянства момента импульса системы.До пережигания нити момент импульса L 1 = I 1ω1 , после пережигания нити L 2 = I 2ω 2 .Приравнивая правые части написанных выражений, получаемI 1ω1 = I 2ω 2 ,откудаω2 =I1ω1I2и тогдаI 1ω1 I 1m v ′2.+22 I222E2 =Подставляя выражения (5а) и (3) в равенство (2), получаемI 1ω122⎛ I1 ⎞m v′2⎜⎜ − 1⎟⎟ + 2= 0,2⎝ I2 ⎠откуда искомая скорость с учетом уравнений (4) и (6)v ′ = ω1I1 ⎛ I1⎜1 −2 m ⎜⎝ I 2⎞м⎟⎟ = 0,35 .с⎠(5а)ГЛАВА II.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКАИ ТЕРМОДИНАМИКА§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗАЦель занятия – научить студентов пользоваться уравнением состояния идеальныхгазов (уравнением Клапейрона-Менделеева):pV =mµRT .где р, V, T – параметры газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса газа; µ –молекулярный вес (молярная масса) газа.Надо обратить внимание учащихся, что в это уравнение входит отношение массыгаза к его молекулярному весу, равное числу молей газа; таким образом, поведение газаопределяется не массой, а числом молей. Это особенно важно, если приходится рассматривать смесь газов.
В этом случае полное давление смеси (при заданных объеме итемпературе) будет определяться общим количеством молей:⎛m m⎞pV = ⎜⎜ 1 + 2 + ... ⎟⎟ RT .⎝ µ1 µ 2⎠При проведении занятия следует показать, что законы идеальных газов являютсячастными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева. Например, если в результатекакого-либо процесса температура газа не меняется (при неизменной массе газа), то последовательное применение уравнения Клапейрона-Менделеева к начальному и конечному состояниям даст результатp1V1 = p 2V2 .При равенстве давлений в начальном и конечном состояниях (при неизменной массе) таким же путем получим соотношениеV1 V2.=T1 T2Как и в задачах главы I, перед подстановкой числовых значений в решении надовсе величины выразить в единицах одной системы.Очень важно научить студентов графически представлять процессы изменений газовых состояний в различных координатах: р, V; р, Т и V, Т.
При этом необходимо подчеркнуть, что графически можно изображать только квазистатические процессы, т. е.процессы, которые протекают настолько медленно, что состояние газа в каждый момент времени лишь незначительно отличается от равновесного. В этом случае уравнение Клапейрона-Менделеева можно применять не только к конечному или начальномусостоянию, но и к любому промежуточному состоянию газа.Вся тема не имеет самостоятельного значения, и в достаточно подготовленной аудитории ее можно почти полностью опустить.Поскольку многие задачи этого и последующих параграфов второй главы носятрасчетный характер и используют не более чем один физический закон, анализ задачи иее решение не отделяются.Задача 1На рис.
31 изображен график некоторого процесса в координатах р, Т. Как меняетсяобъем газа при переходе из состояния 1 в состояние 2?АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕИзохора, соответствующая состоянию 1,изображена на графике пунктирной прямой.Точка 2 лежит ниже этой прямой, следовательно,V2 > V 1 .Но часть кривой, изображающей графикпроцесса, лежит выше пунктирной линии. Этозначит, что сначала газ сжимался (почти при постоянной температуре), затем с ростом температуры началось расширение газа.Рис.
31Задача 2Найти число n ходов поршня, которое надо сделать, чтобы поршневым воздушнымнасосом откачать воздух из сосуда емкостью V от давления p0 до давления р, если емкость поршня ∆V.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕЕсли откачка производится достаточно медленно, то в результате теплообмена сокружающей средой процесс можно считать изотермическим, и газ, наполняющий сосуд и заполняющий камеру насоса подчиняется закону Бойля-Мариотта. Но сложностьзаключается в том, что камера насоса заполняется воздухом, находящимся в сосуде поддавлением, которое изменяется после каждого хода поршня.При первом ходе поршня воздух, находящийся в сосуде V под давлением p0 заполнит объем V + ∆V, а в сосуде установится некоторое давление p1.Очевидно,p 0V = p1 (V + ∆V ) ,откудаp1 = p0V.V + ∆V(1)При втором ходе поршня начальный объем по-прежнему V, конечный объемV + ∆V, но начальное давление p1, конечное давление p2 теперь уже равноp 2 = p1V.V + ∆V(2)Подставляя значение p1 из выражения (1) в формулу (2), получим2⎛ V ⎞p2 = p0 ⎜⎟ .⎝ V + ∆V ⎠(3)Можно сделать вывод, что после n-го хода поршня в сосуде установится давлениеn⎛ V ⎞pn = p0 ⎜⎟ .⎝ V + ∆V ⎠По условию pn = p, тогда искомое число ходов поршняpplg 0p0pn=или n =.VV + ∆VlglgV + ∆VVlgЗадача 3В двух сосудах емкостью V1 = 3 л и V2 = 5 л находятся соответственно азот поддавлением p1 = 1 атм и окись углерода под давлением p2 = 5 атм.
Сосуды соединяюттонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Найти установившееся давлениесмеси, если начальная температура обоих газов равна температуре окружающей среды.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕКак бы ни протекал процесс смешения газов, в конце процесса установится температура, равная температуре окружающей среды, которая по условию равна начальнойтемпературе.Начальные давления газов достаточно малы, чтобы можно было считать газ идеальным. Следовательно, после смешения каждый из газов будет занимать объем, равный сумме объемов обоих сосудов; давление смеси будет равно сумме парциальныхдавлений каждого из газов.
Вследствие равенства начальной и конечной температурможно найти парциальное давление каждого газаp1′ = p1V1;V1 + V2p 2′ = p 2V2.V1 + V2Отсюда искомое давление смесиp = p1′ + p 2′ =p1V1 + p 2V2.V1 + V2Выразив заданные величины в единицах СИ, получимp = 3,5 ⋅103Н.м2Задача 4Найти плотность водорода при t = 7°C и давлении p = 0,5 ⋅105Н.м2АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПреобразуя уравнение Клапейрона-Менделеева, легко найти искомую плотность:ρ=m pµ=.V RTУчитывая, что в системе единиц СИ молекулярный вес водорода µ = 2·10-3 кг/моль,а значение универсальной газовой постоянной R = 8,32 Дж/(моль·К), на основании расчетной формулы получимρ = 0,043кг.м3Задача 5Найти эффективный молекулярный вес воздуха, рассматривая его как смесь азота(80%) и кислорода (20%). Процентное содержание дано по массе.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДавление газа при заданных объеме и температуре определяется не массой, а количеством молей, выражаемым отношением m/µ.Давление смеси согласно закону Дальтона определяется общим числом молей сме⎛m m ⎞си газов ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ :⎝ µ1 µ 2 ⎠⎛m m ⎞pV = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ RT .⎝ µ1 µ 2 ⎠Эффективным молекулярным весом смеси называется молекулярный вес такого газа, который при одинаковых параметрах со смесью будет иметь ту же массу.
Для такогогаза уравнение состояния можно записать в видеpV =m1 + m 2µ эфRT .Отсюда вытекает, чтоm1µ1+m2µ2=m1 + m 2µ эф.При расчете находимµ эф = 29 ⋅10 −2кг.моль§ 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОИ ТЕОРИИГАЗОВВопросы, затрагиваемые в задачах этого параграфа, очень существенны для понимания природы явлений, обусловливаемых тепловым движением молекул. Навыки, которые приобретают студенты при решении этих задач, и качественные упрощенныепредставления, которые здесь применяются, необходимы для физического осмысливания термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
