ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. v > vв с возрастаниемтемпературы увеличивается.Если проделать подобный расчет для интервала от v до v ± ∆v, где v < vв то мы получили бы, что с ростом температуры относительное число молекул, скорости которыхлежат в указанном интервале, будет уменьшаться. Это значит, что максимум кривоймаксвелловского распределения (рис. 33) будет с ростом температуры уменьшаться исмещаться вправо; для v < vв кривая, соответствующая большей температуре, пойдетвыше первоначальной.T1 < T2Рис.
33Задача 11При опытном определении числа Авогадро по методу Перрена было найдено, чтопри увеличении высоты наблюдаемого слоя жидкости на величину h =13 мкм концентрация частичек гуммигута уменьшается вдвое. Найти радиус частичек, если температура опыта t = 17°C, плотность гуммигута ρ = 1,2·103 кг/м3, плотность жидкости (сла-бый спиртовой раствор) ρ1 = 0,9·103 кг/м3.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕМелкие частички, взвешенные в жидкости или в газе, ведут себя подобно молекулам, поэтому изменение их концентрации с высотой подчиняется распределениюБольцмана:n = n0 e−UkT,(1)где п – концентрация на высоте h; U – потенциальная энергия на высоте h; n0 – концентрация на высоте h = 0, принимаемой за начало отсчета потенциальной энергии.Потенциальная энергия одной частички на высоте h может быть записана какU = V ( ρ − ρ1 ) gh ,(2)где V – объем одной частички.Поставляя в равенство (1) логарифм отношенияn0, равного по условию задачиnдвум, и выражение (2) для потенциальной энергии, получимV =kT ln 2= 72,5 ⋅10 −21 м 3 .( ρ − ρ1 ) gh(3)Рассматривая каждую частичку гуммигута как правильный шар искомого радиусаr, найдем r = 2,58·10-7 м.Необходимо указать студентам на то, что распределение Больцмана не зависит отуровня, выбираемого за начало отсчета для потенциальной энергии.Задача 12Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуреt = 17°C и давлении p = 1 атм, если эффективный диаметр d молекул воздуха можнопринять равным 3·10-8 см.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕСредняя длина свободного пробега может быть непосредственно рассчитана поформулеλ=12πd 2 n0.Если концентрацию n0 молекул выразить как отношение(1)n0 =p,kTто при подстановке получимλ=kT2πd p2= 10 −5 см .После расчета следует разобрать, как будет меняться длина свободного пробега взависимости от температуры и давления в различных процессах при условии, что эффективный диаметр предполагается постоянным.
Полученные результаты удобно занести в таблицу:V = constp = constλ(p)const–λ(T)const~TT = const~1p–При изотермическом расширении с уменьшением давления линейный рост λ будетпродолжаться только до тех пор, пока длина свободного пробега не станет соизмеримой с размерами сосуда.
В последнем случае формула (1) теряет смысл и длина свободного пробега молекул определяется главным образом размерами сосуда.Задача 13Найти концентрацию, при которой среднее расстояние между молекулами в сто разменьше, чем длина свободного пробега молекул газов: а) азота (d = 3,1·10-8 см); б) водорода (d = 2,3·10-8 см).АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДля оценки среднего расстояния между молекулами будем считать, что на каждуюмолекулу приходится кубик, ребро которого равняется заданному расстоянию а.
Тогдаимеет место соотношениеn0α 3 = 1 .Отсюда расстояние между молекулами−1α = n0 3 .(1)Длина свободного пробега зависит не только от концентрации, но и от эффективного диаметра d:1λ=2πd 2 n0.(2)Из условия λ = 100 а и формул (1) и (2) находимn0 = ( 2πd 2 ⋅100 )−32.(3)Подставляя числовые значения, найдем, что искомая концентрация для водородаn0 = 8,7·1024 м-3; для азота n0 = 3,5·1024 м-3.Задача 14Известно, что относительное число молекул, длина свободного пробега которыхлежит в пределах от х до x + dx определяется формулойx−dN= Ae λ0 dx ,Nгде А – некоторый постоянный коэффициент, λ0 – средняя длина свободного пробега.Найти коэффициент А и относительное число молекул, длина свободного пробега которых больше, чем 2λ0.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕОтношениеdNпоказывает вероятность того, что длина свободного пробега молеNкулы лежит в пределах от х до x + dx.
Вероятность того, что длина свободного пробегамолекулы лежит в пределах от x1 до х2, может быть найдена интегрированием:W =x2∫ Ae−xλ0dx .(1)x1Вероятность того, что длина свободного пробега лежит в пределах от нуля до бесконечности, обязательно равна единице:∞∫ Ae−xλ0dx = 1 .(2)0Произведя интегрирование, найдем значение коэффициента А, называемого обычнонормирующим множителем. (В максвелловском распределении нормирующим множителем является сомножитель4π; находится он аналогично.) Итак,∞∫ Ae−xλ0dx = 1 ,0откудаA=1λ0.Найдя множитель А, можно найти относительное число молекул, длина свободногопробега которых равна или больше 2λ0:∞x1 − λ0∆N= ∫e dx .λN2 λ0 0После интегрирования получим∆N= e −2 = 0,13 .NЗадача 15Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом принормальном давлении р0 и температуре t = 17°C.
Радиусы цилиндров соответственноравны r1 = 10,0 см и r2 = 10,5 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью ν = 15 об/с. Какой момент нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы оноставался неподвижным? Длина цилиндров l = 30 см. Эффективный диаметр молекулводорода d = 2,3·10-8 см.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕСлой молекул газа, адсорбированный внутренней поверхностью вращающегосяцилиндра, будет обладать той же направленной скоростью, что и цилиндр, т.
е.u2 = 2πνr2 .(1)В пространстве между цилиндрами (на расстоянии ∆r = 0,5 см) направленная скорость молекул будет непрерывно (и, мы предположим, линейно17) уменьшаться до нуля: молекулы, адсорбированные внешней поверхностью меньшего (внут17Предположение линейной зависимости скорости от расстояния справедливо толькодля плоской задачи, т.
е. если ∆r << r.Рис. 34реннего)цилиндра,будутнеподвижны(рис.34),т. е.u1 = 0 .(2)Сила, действующая на боковую поверхность внутреннего цилиндра,du⋅η ⋅ S ,drF=где η – коэффициент внутреннего трения водорода при заданных условиях, S – боковаяповерхность внутреннего цилиндра,du– градиент направленной скорости.drМомент, действующий на внутренний цилиндр,M = Fr1 .(4)Подставляя значение F и учитывая, что S = 2πr1l , получимM = 2πr1lηdu.dr(5)Коэффициент внутреннего трения водорода может быть рассчитан по формуле13η = λ0 vρ ,(6)где λ0 – средняя длина свободного пробега молекул газа, v – их среднеарифметическаяскорость, ρ – плотность газа при заданных условиях.Ввиду сложности вычислений каждый из сомножителей будем рассчитывать отдельно:kTλ0 =2πd p02v=ρ=8RTπµ= 1,7 ⋅10 −7 м ;= 1,8 ⋅103м;сp0 µкг= 8,4 ⋅10 −2 3 .RTмПодставляя полученные значения в формулу (6), находимη = 8,6 ⋅10 −6кг.м ⋅сТак как было предположено, что скорость между цилиндрами меняется с расстоя-нием линейно, тоdu u2 − u1=.dr∆rПодставив сюда значения u1 и u2 из выражений (1) и (2), найдем по формуле (5)момент, действующий на внутренний цилиндр:M = 3,2 ⋅10 −3 Н ⋅ м .При решении задачи следует обратить внимание студентов на размерность коэффициента внутреннего трения и, хотя расчет этого коэффициента производился поформуле (6), выводить размерность коэффициента надо из формулы (3), так как именнопри макроскопическом описании явления было введено понятие коэффициента внутреннего трения и определен его физический смысл.После решения следует рассмотреть зависимость коэффициента внутреннего трения (и теплопроводности) от температуры и давления при разных процессах.
Результаты удобно свести в таблицу:η(p)η(T)p = constT = const–const~T12–При изотермическом расширении коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности не зависят от давления только до тех пор, пока длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению, т. е. до тех пор, пока длина свободного пробега много меньше размеров сосуда.Задача 16Сколько жидкого воздуха испарится за 1 час из плохо откаченного дьюаровскогососуда, если поверхность стенок сосуда S = 6·10-2 м2; расстояние между стенкамиl = 1 см; температура жидкого воздуха t1 = –180°C, температура наружных стенокt2 = 17°C? Теплота испарения жидкого воздуха Λ = 202 кДж/кг; в пустом сосуде, т. е.когда температура обеих стенок t2 = 17°C, давление воздуха p0 = 0,13 Н/м2.
Эффективный диаметр молекул воздуха d = 3·10-8 см.АНАЛИЗПрежде всего следует вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками дьюаровского сосуда. Если полученная величинаокажется меньше, чем расстояние между стенками сосуда, то можно использоватьформулу для коэффициента теплопроводности:1K = λ0 vρcv ,3(1)где cV – удельная изохорная теплоемкость газа.Если же окажется, что длина свободного пробега больше или равна расстояниюмежду стенками, то формула (1) будет неприменима.Если λ0 > l, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только ударымолекул о стенки сосуда.В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул; один поток– молекулы, летящие со средней скоростью и имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки; другой поток –молекулы, летящие уже со средней скоростью и обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.РЕШЕНИЕИз условий задачи получим, чтоλ0 =kT 22πd 2 p0= 0,08 м > l .Для расчета теплоты, получаемой 1 см2 холодной стенки сосуда за 1 с, необходимознать число ударов, испытываемых стенкой за 1 с, и энергию, теряемую одной молекулой при ударе.
При расчете предположим, что от стенки к стенке движется одна третьвсех молекул, и все молекулы, летящие от стенки с температурой Т, обладают скоростьюv=3RTµ(2)и энергиейW0 =5kT .2(3)Энергия, отдаваемая одной молекулой холодной стенке при ударе,52δW0 = k (T2 − T1 ) ,где T2 – температура наружной стенки, T1 – температура жидкого воздуха.(4)Число ударов, испытываемых стенкой за 1 с,z=N 1⋅ ,3 τгде τ – время между двумя последовательными ударами молекулы о холодную стенку,N – общее число молекул.Учитывая, чтоτ=v + v2ll+=l 1,v1 v2v1v2получим значение энергии, теряемой молекулами за 1 с в результате ударов о холодную стенку:∆W = δ W 0v1v2N.3 l ( v1 + v2 )(5)Учитывая выражение (2), найдем3RT 1T 2µv1v2.=v1 + v2T1 + T 2Если учесть выражение (4) для δW0, то найдем∆W =3RT1T25.Nk ( T2 − T1 )6lµ(6)Энергия, теряемая молекулами за промежуток времени ∆t, а следовательно, и теплота, получаемая жидким воздухом,Q = ∆W ⋅ ∆t .Общее число молекул N может быть рассчитано из формулы p =(7)NkT , что приVначальных условиях (давление W0, температура T2) даетN=p0Sl .kT2Подставив выражения (8) и (6) в формулу (7), найдемQ=5 p0 S3RT 1T 2( T 2 − T1 )⋅ ∆t = 2,9 Дж .6T 2µ(8)Находим теперь искомую величину:m=Q= 0,014 кг .ΛЗадача 17Оценить из графика на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
