ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 37
Текст из файла (страница 37)
= 1,85 ⋅10 -4 Н/м 2 .T1Полученный результат симметричен относительно температур, следовательно, такое же давление будет испытывать и более нагретая стенка.При решении этой задачи необходимо остановиться на механизме изменения скорости молекулы при взаимодействии со стенкой. На поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равнасредней кинетической энергии молекул вещества стенки, соответствующей ее температуре.
Слой этот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы,подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы (происходит реадсорбция молекул) со средней кинетической энергией,соответствующей температуре стенки. Импульс силы, испытываемый стенкой в результате описанного процесса, такой же, как при отражении молекул от стенки. Еслитемпературы газа и стенки одинаковые, то все явление протекает как при упругом ударе молекул о стенку.Задача 6Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и полную среднюю кинетическую энергию молекул гелия и азотапри температуре t = 27°C.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕСредняя кинетическая энергия поступательного движения молекул любого газа однозначно определяется абсолютной температурой:3W пост = kT .2(1)Следовательно, средняя кинетическая энергия молекул и гелия, и азота будет одинакова и равна3W пост = kT = 6,2 ⋅10 −21 Дж .2Полная средняя энергия молекул зависит не только от температуры, но и от структуры молекул – от числа степеней свободы.Гелий – одноатомный газ, число степеней свободы i = 3; полная средняя энергиямолекулы гелия равна энергии его поступательного движения, т.
е.W =W пост = 6,2 ⋅10 −21 Дж .Азот – двухатомный газ, i = 5; полная энергия одной молекулыiW = kT = 10,5 ⋅10 −21 Дж .2Несмотря на равенство энергий поступательного движения, средние квадратичныескорости молекул азота и гелия, вычисляемые по формуле3kT,m0v кв =(2)где m0 – масса одной молекулы, будут различными. Если и числитель, и знаменательподкоренного выражения (2) умножить на NA – число Авогадро, то получим значение3RTv кв =µ.(3)Эта формула удобней для расчетов.
Универсальная газовая постоянная в СИ имеетзначение R = 8,3 Дж/(моль·К). В результате вычислений находим для гелияv кв Н е = 13,6 ⋅102м,сv кв N 2 = 5,18 ⋅102м.сдля азотаЗадача 7Рассчитать полную энергию всех молекул кислорода, занимающего при давленииp = 2·105 Н/м2 объем V = 30 л.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПолная энергия всех молекул любого идеального газа может быть найдена какпроизведение средней энергии на общее число молекулW =ikT ⋅ N .2(1)Число N, если известна масса газа, равноN =mµ⋅N A .Подставляя формулу (2) в выражение (1) и учитывая, чтоkN A = R ,(2)получимW =i mRT .2µ(3)Но согласно уравнению Клапейрона-МенделееваmµRT = pV ,следовательно,W =ipV = 1,5 ⋅10 4 Дж .2(для кислорода i = 5).Задача 8Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью и.
Насколькоувеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда в случаях: а) одноатомного газа; б) двухатомного газа? Теплоемкость и теплопроводность стенок сосуда пренебрежимо малы.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕИзменение среднего квадрата скорости может быть рассчитано по изменениюсредней кинетической энергии теплового движения.При сравнении выражения полной средней энергии одной молекулыW=ikT2и выражения средней энергии ее поступательного движенияW пост =m 0 v2 3= kT ,22получимm0 v2 3= W ,2i(1)m 0 (∆v ) 3= ∆W .2i(2)следовательно,2Здесь ∆W – изменение средней энергии одной молекулы массой m0 в результате оста-новки сосуда.
Таким образом, задача сводится, по существу, к нахождению изменения∆W средней энергии.В движущемся сосуде каждая молекула участвует одновременно в тепловом хаотическом движении со скоростью v и направленном со скоростью и. Скорость и кинетическая энергия результирующего движения любой молекулы соответственно равныc = v+ u,(3)m 0 c2 m 0 v2 m 0 u 2=++ m 0 uv .222(4)Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения выражение (4) следует просуммировать по всем молекулам и разделить затем на общее число молекул. Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправностивсех направлений для вектора v; слагаемое uv при суммировании по всем молекуламобратится в нуль, и средняя энергия поступательного движения может быть записанатак:m 0 c2 m 0 v2 m 0 u 2=+.222(5)Тогда полную среднюю энергию одной молекулы газа в движущемся сосуде можнопредставить в виде суммы средней энергии теплового движения (в это понятие теперьвключается энергия вращательного и поступательного движений) и энергии направленного движения:W рез = W +m0u 2,2где W – средняя энергия теплового движения, равная, как обычно,(6)ikT .2Таким образом, в данном случае хаотичность теплового движения молекул обеспечивает аддитивность кинетической энергии теплового и направленного движений.
Приостановке сосуда кинетическая энергия направленного движения перейдет в кинетическую энергию теплового движения и искомое изменение энергииm0 u 2∆W =.2Подставляя выражение (7) в формулу (2), найдем(7)3∆v 2 = u 2 .iДля одноатомного газа i = 3, ∆v 2 = u 2 ; для двухатомного газа i = 5, ∆v 2 = 0,6u 2 .То, что изменение среднего квадрата скорости теплового движения для одноатомного газа будет больше, чем для двухатомного, можно было выяснить на основании качественных рассуждений и до решения задачи.Задача 9Найти массу воздуха и полную энергию молекул воздуха, заключенного в пространстве между оконными рамами (S = 2 м2, l = 0,25 м) при атмосферном давлении,если температура линейно меняется от t1 = –10°C у наружного стекла до t1 = +10°C увнутреннего.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕДля простоты решения задачи рассмат- T1риваемый объем разбиваем на достаточнотонкие слои толщиной dx, внутри которыхгаз находится в состоянии термодинамического равновесия.
Этим самым предполагается, что внутри каждого такого слоя распределение молекул по скоростям можно принятьмаксвелловским. Каждый слой характеризуется своей средней квадратичной скоростьюРис. 32молекул и температурой Т, зависящей от положения слоя (рис. 32).Так как температура линейно меняется с расстоянием х, тоT ( x) = T1 + αx .(1)где коэффициент α находится из начального условияT2 = T (l ) = T1 + αl(2)и является градиентом температуры.Концентрация газа также будет являться функцией от х, так как давление, одинаковое всюду в газе, связано с концентрацией и температурой соотношениемp = n0 kT .Масса газа dm, заключенного в слое толщиной dx, равна(3)dm = m 0 n0 S ⋅ dx .(4)Из соотношений (4), (3) и (1) следует, чтоm=m0 pS l dx.k ∫0 T1 + αxПосле интегрирования, если учесть равенство (2) и соотношение m 0 =m=(5)µNA, найдемTµpS T 1 + αlµplSln=ln 2 = 610 г .RαT1R (T 2 − T 1 ) T 1Кинетическая энергия всех молекул, заключенных в слое толщиной dx, равнаidW = kTn 0 Sdx ;2(6)так как произведениеkTn 0 = p ,а давление не зависит от х, полная кинетическая энергия всех молекул в рассматриваемом объемеW =iplS = 1,27 ⋅105 Дж .2Задача 10Найти относительное число молекул водорода, скорости которых отличаются отнаиболее вероятной не больше, чем на 10 м/с, при температурах t1 = 27°C, t2 = 227°C.При этих же температурах найти относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от 39,9·104 см/с до 40,1·104 см/с.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕЧисло молекул, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2, находится при помощи интегрирования функции распределения в указанных пределах:4∆N=Nπv2v 2 −c2 / v2B dv,∫ v2 evвv1 в(1)где vв – наиболее вероятная скорость.Если рассматриваемый интервал скоростей настолько мал, что подынтегральнаяфункция изменяется незначительно, ее можно вынести за знак интеграла, и искомоеотносительное число молекул может быть приближенно найдено по формуле∆N4 v2 − v2 / v2B ∆v=e,2vвNπ vв(2)гдеv1 + v2.2∆v = v2 − v1 , v =В первом случае скорости молекул должны лежать в интервале от (vв – 10) м/с до(vв + 10) м/с.
Это значит, что∆v = 20м;с2 RTv = vв =µ.При t1 = 27°C vв1 = 15,8·102 м/с; при t2 = 227°C vв2 = 20,4·102 м/с.Подставляя найденные значения наиболее вероятной скорости в формулу (2) и учитывай, что v = vв, получим∆N 14 −1 0,2=e= 1,0% ;N15,8π∆N 24 −1 0,2=e= 0,81% .N20,4πТаким образом, с увеличением температуры число молекул, скорости которых лежатвблизи наиболее вероятной, уменьшается.Во втором случае надо найти относительное число молекул, скорости которых лежат в пределе от v до v + ∆v, гдеv = 40 ⋅102м;с∆v = 0,2 ⋅102м.сПри t1 = 27°Cv2− 2v2vв=6,4;e= 1,7 ⋅10 −3 ;2vв∆N 340,2=⋅ 6,4 ⋅1,7 ⋅10 −3= 0,03% .N15,8πПри t2 = 227°Cv2− 2v2vв=3,8;e= 2,7 ⋅10 −2 ;2vв∆N 440,2=⋅ 3,8 ⋅ 2,7 ⋅ 10 − 2= 0,23% .N20,4πТаким образом, число молекул, скорости которых велики, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
