ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 39
Текст из файла (страница 39)
35 эффективный диаметр молекулы газа и рассчитатьего для аргона при t = 27°C, если известно, что потенциальная энергия взаимодействиямолекул аргона выражается следующим законом:E=−AB+ 12 ,6rrгде r – расстояние между центрами молекул; A и В – константы, имеющие для аргонатакие значения:A = 10-27 Дж·м; B = 1,6·10-27 Дж·м.АНАЛИЗРассмотрим график зависимости взаимной потенциальной энергии двух молекул отрасстояния между ними (сплошная кривая на рис. 35).Рис.
35Пунктирная прямая изображает полную энергию молекул. Длина линии CD в вы-бранном масштабе равна кинетической энергии молекул при расстоянии r = OK.При рассмотрении графика видно, что на больших расстояниях потенциальнаяэнергия молекулы равна нулю и полная энергия ее равна кинетической энергии.По мере сближения молекул кинетическая энергия растет, причем максимальногозначения она достигает в точке А (r = r'), где потенциальная энергия имеет минимум, исила, действующая на каждую из молекул, равна нулю.
При расстояниях r < r' преобладающей становится сила отталкивания. По мере уменьшения расстояния потенциальнаяэнергия растёт, кинетическая – уменьшается. В точке В (r = rэф) полная энергия равнапотенциальной, кинетическая – нулю. При использовании формулы длины свободногопробега эффективный диаметр (d = rэф) считают не зависящим от температуры; это соответствует замене участка LB графика вертикальной прямой. Ввиду большой крутизны кривой на этом участке подобное приближение вносит сравнительно малую погрешность.В выражении потенциальной энергии взаимодействия, заданном в условии задачи,первое отрицательное слагаемое соответствует наличию силы притяжения, которая будет преобладающей при сравнительно больших расстояниях. Второе слагаемое соответствует наличию силы отталкивания, которая преобладает на малых расстояниях ипрепятствует сближению молекул.РЕШЕНИЕЭффективный диаметр можно оценить, если подсчитать то наименьшее расстояние,на которое могут сближаться молекулы, летящие навстречу друг другу со скоростью,равной средней квадратичной при данной температуре и центральном ударе.Для рассматриваемых двух молекул полную энергию можно считать постоянной,если пренебречь действием других молекул.
На большом расстоянии потенциальнаяэнергия молекул практически равна нулю, и полная энергия равна сумме кинетическихэнергий обеих молекул.В момент наибольшего сближения кинетическая энергия молекул обратится в нульи полная энергия будет равна энергии потенциальной, т. е.E =−m 0 v2AB+=2⋅= 3kT .122rэф6 rэфИз этого уравнения получаемrэф6 = 805 ⋅10 −48 см 6 ;rэф = 3,05 ⋅10 −8 см .Задача 18Вычислить температуру, при которой давление кислорода, имеющего плотностьρ = 100 г/л, составляет 70 атм.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПри заданной плотности газ нельзя рассматривать как идеальный, поэтому расчёттемпературы будем проводить на основе уравнения Ван-дер-Ваальса:⎛aν 2⎜⎜ p + 2V⎝где ν =mµ⎞⎟⎟(V − νb ) = νRT ,⎠(1)– число молей газа. Постоянные Ван-дер-Ваальса для кислорода имеют зна-чения:a = 1,37 ⋅10 −1м3Н ⋅м4−5310,b=⋅.мольмоль 2Подставляя в уравнение (1) выражение для ν и заменяя массу т через произведениеρV, получим⎛aρ 2⎜⎜ p + 2µ⎝⎞⎛ρV⎟⎟⎜⎜V −µ⎠⎝⎞ ρVb ⎟⎟ =RT ,µ⎠откуда окончательно будем иметь⎛aρ 2⎜⎜ p + 2µT=⎝⎞⎛ ρ ⎞⎟⎟⎜⎜1 − b ⎟⎟ ⋅ µ⎠⎝ µ ⎠ .ρRПодстановка числовых данных даетT = 294 К .Интересно сравнить полученный результат с результатом, вычисленным по уравнению Клапейрона-Менделеева при тех же условиях задачи:T ид =pµ= 273 К .ρRКак видно, относительная ошибка, которая была бы сделана в предположении, чтогаз ведет себя как идеальный, составила бы всего 7,7%.
Тот факт, что температура, рас-считанная по уравнению Ван-дер-Ваальса, оказалась выше требуемой температурыидеального газа, показывает, что при данных условиях давление реального газа настенки сосуда ниже давления, оказываемого идеальным газом. Это значит, что в уравнении Ван-дер-Ваальса преобладающей является поправка на давление, обусловленнаяучетом сил притяжения между молекулами.Задача 19В сосуде емкостью V = 20 л при температуре t = 27°C находится 1/20 кмоль углекислого газа (водорода). Найти давление газа на стенки сосуда.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕВычислим давление, которое оказывал бы газ, если бы он подчинялся уравнениюКлапейрона-Менделеева:pид =RT m⋅ = 62,5 ⋅105 Па .V µРезультат не зависит от природы газа, так как давление идеального газа при заданной температуре определяется только концентрацией молекул.
Однако полученное значение давления настолько велико, что применение уравнения Клапейрона-Менделеевавряд ли оправдано. Рассчитаем давление по уравнению Ван-дер-Ваальса:aν 2νRTp=−;V − νl V 2здесь ν — число молей, а постоянные Ван-дер-Ваальса имеют следующие значения дляCO2:a = 3,6 ⋅10 −1м3Н ⋅м4−54,310;b=⋅;мольмоль 2a = 2,4 ⋅10 −2м3Н ⋅ м4−52,610;b=⋅.мольмоль 2для H2:Не производя даже расчета, видно, что «поправка на давление», обусловленнаядействием сил притяжения, в случае углекислого газа будет оказываться значительносильнее, чем в случае водорода, и давление, оказываемое углекислым газом, будет,очевидно, меньше, чем давление водорода.Действительно, расчет по уравнению Ван-дер-Ваальса даетpCO 2 = 47 ⋅10 5 Па ;pH 2 = 65,5 ⋅105 Па .Давление водорода оказалось даже больше, чем давление идеального газа, т. е. вслучае водорода доминирующей является «поправка на собственный объем молекул»,т. е.
на действие сил отталкивания между молекулами.§ 3. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ И ПРОЦЕССЫВ ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕОчень важно научить студентов производить расчеты работы газа, количества поглощенной теплоты, изменения внутренней энергии методами термодинамики и понимать макроскопическую картину всех рассматриваемых процессов. Поэтому при решении всех термодинамических задач желательно проводить качественный анализ характера теплового движения молекул.Необходимо не один раз подчеркнуть, что изменение внутренней энергии однозначно определяется начальным и конечным состояниями газа, в то время как количество теплоты и работа существенно зависят от способа, при помощи которого газ переходит из одного состояния в другое. Все применяемые при расчетах формулы основанына предположении, что процесс перехода является квазистатическим процессом.
И хотястудентам может быть еще неизвестно понятие обратимого процесса, необходимо подготовить их к пониманию этого понятия, так как графическое изображение процессауже предполагает его квазистатичность.Наиболее сложным является объяснение адиабатного процесса. Всякий достаточнобыстрый процесс можно считать адиабатным, так как при быстром изменении объема,даже при плохой изоляции сосуда, количество теплоты, отданное или полученное газом, настолько мало, что им можно пренебречь. Однако быстрота процесса противоречит требованию его квазистатичности. Поэтому при рассмотрении адиабатных процессов каждый раз желательно оговаривать, что газ находится в теплоизолированном сосуде.В задачах №№ 1, 2 сразу разбирается несколько процессов.
Такое комплексное рассмотрение процессов имеет целый ряд преимуществ. Однако слабую аудиторию ономожет затруднить, и в этом случае задачи №№ 1, 2 следует разбить на несколько задач.В задачах №№ 5 и 6 проводится количественное рассмотрение молекулярной картины различных процессов. Это делается для того, чтобы дать обоснование обычнопроводимому качественному анализу.Задача 1160 г кислорода нагревают от 50 до 60°С. Найти количество поглощенной теплотыи изменение внутренней энергии в случаях: а) процесс происходит при постоянномобъеме, б) при постоянном давлении.АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕПри постоянном объеме газ, нагреваясь, не производит работы (A1 = 0).
Количествопоглощенной газом теплоты равно изменению внутренней энергии, т. е.Q1 = ∆U 1 =mµC V ∆T .Подставив данные задачи в это уравнение, найдемQ1 = ∆U 1 = 1040 Дж .Так как рассматриваемый газ идеальный, его внутренняя энергия не зависит отобъема (∂U= 0 ), и искомое изменение внутренней энергии определяется только изме∂Vнением температуры. Следовательно, при постоянном давлении∆U 2 =Q2 =mµmµCV ∆T = 1040 Дж ;C p ∆T = 1400 Дж .Следует обратить внимание студентов на то, что выражение для Q2 при р = constнепосредственно вытекает из определения молярной теплоемкости при постоянномдавлении:⎛ ∂Q ⎞Cp =⎜, m= µ.⎟⎝ ∂T ⎠ p=constКоличество теплоты Q2 можно также рассчитать, сложив найденное изменениевнутренней энергии ∆U2 и работу A2 газа при расширении, вычисляемую по формулеA2 = p∆V =mµR ∆T .Полученный результат необходимо рассмотреть с молекулярной точки зрения.Так как в задаче речь идет об идеальном газе, то его внутренняя энергия складывается только из кинетической энергии молекул.
Средняя кинетическая энергия молекулгаза однозначно определяется температурой, поэтому в обоих случаях (и при постоянном объеме, и при постоянном давлении) прирост внутренней энергии одинаков.При изобарном нагревании газ расширяется и молекулы его, ударяясь о движущий-ся поршень, отскакивают от него сменьшей, чем до удара, скоростью,отдавая часть своей кинетическойэнергии поршню.
Этим и объясняется дополнительное поглощение теплоты при изобарном процессе.При изучении графика обоихпроцессов I и II в координатах р, V(рис. 36) следует подчеркнуть, чтопри любом процессе, протекающемтак, что начальное и конечное со-Рис. 36стояния газа лежат на данных изотермах, изменение внутренней энергии будет всегда одинаковым.Задача 2Азот, занимающий при давлении 1 атм объем V1 = 10 л, расширяется вдвое. Найтиконечное давление и работу, совершенную газом при следующих процессах: а) изобарном, б) изотермическом, в) адиабатном.АНАЛИЗРассмотрим графики всех процессов в координатах р, V (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
