ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Несмотря на то, что мешок движется по окружности, можно считать, что всеточки его обладают одинаковой скоростью и, так как длина нити велика по сравнениюс размерами самого мешка. Потенциальная энергия системы возрастает на величину∆E п = (m + M )gh .(3)Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получимh=u2.2g(4)Таким образом, задача сводится к нахождению скорости и. Скорость мешка легкоможет быть найдена из закона сохранения импульса, так как система мешок-пуля замкнута.

Действительно, скорость пули и начальная скорость мешка после попадания пулистрого горизонтальны. Следовательно, действующие на систему силы-сила тяжести исила натяжения нити, внешние по отношению к системе силы, во время взаимодействия перпендикулярны скоростям тел и не меняют импульса системы.

Это утверждениесправедливо в предположении, что время ∆t взаимодействия мешка и нули мало, и поэтому перемещение мешка за время ∆t практически равно нулю.РЕШЕНИЕПрименяя закон сохранения импульса, получимm v = (m + M )u(5)(коллинеарность скоростей позволяет записать этот, закон сразу в скалярном виде).Подставляя значение и, полученное из выражения (5), в формулу (4), находимh=m 2 v22 g (m + M )2= 5 см .Прежде чем отвечать на второй вопрос задачи, следует рассмотреть кинетическуюэнергию системы до и сразу после взаимодействия. Учитывая сделанное предположение о кратковременности взаимодействия, изменение потенциальной энергии системыза это время следует считать равным нулю.До взаимодействия Eк1 системы равнялась Eк пули (мешок неподвижен), значитmv2E к1 =;2после взаимодействия(6)E к2 =(m + M )u 22.Подставив в это выражение значение и из уравнения (5), получимE к2mv2m=⋅.2 m +M(7)Доля η кинетической энергии пули, израсходованной на пробивание ваты, можетбыть определена на основании выражений (6) и (7) следующим образом:η=E к1 − E к 2m.=1−E к1m +M(8)Подставив в выражение (8) значения масс, находимη = 99,75% .После решения этой задачи следует качественно разобрать случай, когда мешок сватой заменяют абсолютно упругим телом той же массы М.

Вследствие того, что массагруза очень велика по сравнению с массой пули, последняя отскочит со скоростью,близкой к начальной, но противоположного направления, т. е. изменение импульса пули при упругом ударе вдвое больше, чем при неупругом ударе. Поэтому груз М поокончании удара приобретет скорость, вдвое большую, чем скорость и, рассчитаннуюпо выражению (5).Задача 10Человек массой m1 = 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах,вдоль рельс; при этом тележка, масса которой m2 = 30 кг, откатывается в противоположном направлении на расстояние s = 2 м. Зная, что коэффициент трения тележки орельсы µ = 0,1, найти энергию, затраченную человеком при прыжке.АНАЛИЗЧеловек, отталкиваясь от тележки при прыжке, сообщает скорость себе самому итележке; затраченная им энергия превращается в кинетическую энергию тележки и самого человека.

При этом предполагаем, что время ∆t взаимодействия человека и тележки настолько мало, что смещением тележки и работой силы трения за время ∆t можнопренебречь. Тогда∆E чел = E к(1) + E к(2 ) ,(1)где E к(1) – кинетическая энергия человека в момент отрыва от тележки, E к(2 ) – кинетическая энергия тележки в этот же момент времени. По условию задачи тележка откатывается на расстояние s. На этом пути на тележку действуют сила тяжести, сила нормальной реакции земли и сила трения. Первые две взаимно уравновешиваются.

Работа силытрения должна равняться изменению кинетической энергии тележки на пути s, т. е.∆E к(2 ) = − E к(2 ) = A тр .(2)Кинетическая энергия человека может быть найдена из соотношения скоростей человека и тележки, выведенного на основан закона сохранения импульса:m1v1 − m 2 v2 = 0 ,(3)где v1 и v2 – скорости человека и тележки относительно Земли после прыжка.Применение закона сохранения количества движения к системе человек-тележкавозможно только в предположении, что сила трения между колесами тележки и рельсами мала по сравнению с силой взаимодействия человека и тележки, возникающей вовремя прыжка.РЕШЕНИЕРассмотрим значение работы в уравнении (2):A тр = − f тр s , f тр = µP2 .Подставив эти соотношения в уравнение (2), получимE к(2 ) = µm 2 gs .(4)Из равенства (3) находим, чтоv1 m 2=,v2 m1следовательно,E к(1) m1v12 m 2==,E к(2 ) m 2 v22 m1откудаE к(1) = E к(2 ) ⋅m2.m1Подставим это выражение и выражение (4) в формулу (1) и произведем вычисления:(5)⎛ m∆E чел = µm 2 gs⎜⎜1 + 2⎝ m1⎞⎟⎟ = 88 Дж .⎠§ 3.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕМетодика решения задач по вращательному движению принципиально не отличается от методики решения задач поступательного движения. Для составления основного уравнения динамики вращательного движения следует рассматривать отдельно каждое из тел, входящих в систему. Анализ действующих сил должен иметь столь жебольшой удельный вес, как и при решении задач на поступательное движение.В задачах этого раздела рассматривается вращение тел вокруг оси (двумерное вращение). В этом случае все векторы, входящие в задачи (угловые скорость и ускорение,моменты сил, моменты импульса), коллинеарны, поэтому для простоты уравнениядвижении большей частью записываются в скалярной форме.При прохождении данного раздела на лекциях прочитан уже материал, достаточный по объему, поэтому можно с самого начала использовать как основное уравнениединамики вращательного движений, так и законы сохранения. Условия применимостизакона сохранения энергии остаются теми же, что и при поступательном движении.Закон сохранения моментов импульсов справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно рассматриваемой оси равна нулю.Сложное плоское движение, например движение катящегося тела, следует рассматривать как сумму двух движении — вращательное вокруг оси, проходящей через центрмасс, и поступательное движение со скоростью центра масс.

Для решения задачи следует, писать основное уравнение динамики вращательного движения∑Mi= Iεи II закон Ньютона∑Fi= ma ,где Mi – моменты всех сил, действующих на тело, рассчитанные относительно оси,проходящей через центр масс; I – момент инерции тела относительно той же оси; ε –угловое ускорение; Fi – силы, действующие на тело; m – масса всего тела; а – ускорение центра масс, не зависящее от точек приложении действующих сил. Кинетическаяэнергия тела в этом случае равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движений.Задача 1Маховик, массу которого m =5 кг можно считать распределенной по ободу радиусаr = 20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр,делая п = 720 об/мин. При торможении маховик полностью останавливается через время ∆t = 20 с.

Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик дополной остановки.АНАЛИЗЕсли пренебречь зависимостью силы трения от скорости, движение маховика можно считать равнозамедленным и основное уравнение динамики может быть записанотаким образом:I ∆ω = M ∆ t ,(1)где ∆ω – изменение угловой скорости за время ∆t.Полное число оборотов N может быть найдено как кинематически, так и из изменения кинетической энергии.РЕШЕНИЕИз условий задачи следует, что∆ω = ω к − ω 0 = −ω 0 = −2π n ,(2)I = mr 2 .(3)Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим− mr 2 ⋅ 2πn = M∆t ,откудаM =− 2π n ⋅ mr 2= −0,76 Н ⋅ м .∆tЗнак «минус» показывает, что вектор момента направлен противоположно вектору угловой скорости.Проверим размерность полученного выражения в СИ:dim M = dim r ⋅ dim F = L ⋅ML= ML2T −2 ,T2⎛ nmr 2 ⎞ 11⎟⎟ = ⋅ ML2 ⋅ = ML2T −2 .dim⎜⎜T⎝ ∆t ⎠ TУгловое перемещение, пройденное маховиком до остановки,ϕ = ω0 ∆t −ε (∆t );22(4)так какω к = ω 0 − ε ∆t ,выражение (4) может быть преобразовано так:ϕ=ω0 ∆t.2Заменяя φ и ω0 соответственно через 2πN и 2πn, где N – искомое число оборотов, которое маховик сделает до полной остановки, окончательно получимN =n ⋅ ∆t= 120 об .2Задача 2Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы m1 = 300 г и m2 = 200 г.

Масса блока m0 = 300 г. Блок считатьоднородным диском. Найти линейное ускорение грузов (рис. 19).АНАЛИЗЗаданная система состоит из трех тел – грузов m1 и m2 иблока. Каждое из тел системы следует рассматривать отдельно.Груз m1 находится под действием двух сил: силы тяжестиP1 и силы натяжения нити T1. II закон Ньютона для этого грузаможет быть записан таким образом:m1a = T1 + P1 .y(1)Рассматривая силы, действующие на груз m2, получимm 2 a = T2 + P2 .(2)Ускорения грузов, как и в задаче 3 § 2, считаем равными,но направленными в противоположные стороны на основаниинерастяжимости нити.Так как масса блока соизмерима с массой грузов, мы неимеем права предполагать, что силы, с которыми на грузы m1 иРис. 19m2, равны между собой.

Характеристики

Список файлов лекций