ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. в сторону, противоположную той, кудадвигалась бы доска, если бы не было силы трения покоя. При этом модуль силы тренияпокоя может принимать любое значение от 0 до µN, т. е. f тр ≤ µN 4. В этом случае ускорения доски и тележки равны друг другу. Если приложенная к доске сила F будетбольше некоторого определенного значения, доска начнет двигаться относительно тележки, сила трения примет максимальное значениеf тр = µmg .Для того чтобы ответить на вопросы, поставленные в задаче, надо выяснить, какбудет происходить движение системы – будет ли двигаться доска относительно тележки или нет.
Так как начальные скорости обоих тел равны нулю, задача сводится к нахождению условий, при которых относительное ускорение а доски равно нулю. Приэтом надо помнить, что относительное ускорение может быть направлено только в сторону приложенной силы5 F.РЕШЕНИЕКоллинеарность сил, приложенных к доске (сила тяжести уравновешивается силойнормальной реакции), позволяет писать II закон Ньютона для доски сразу в скалярнойформе. Это относится и к тележке, так как последняя получает ускорение только поддействием силы трения. Сила трения, приложенная к доске, направлена в сторону, противоположную силе F; сила трения, действующая на тележку со стороны доски, направлена в сторону возможного движения доски.Выбрав за положительное направление направление действия силы F, будем иметьтакую систему уравнений:ma1 = F − f тр ,⎫⎪⎬Ma 2 = f тр .
⎪⎭(1)Здесь т – масса доски, a1 – ускорение доски относительно системы координат, жесткосвязанной с Землей, М – масса тележки, a2 – ускорение тележки.Ускорение доски можно записать следующим образом:a1 = a2 + a′ ,1(2)Здесь, как и в дальнейшем, мы пренебрегаем зависимостью силы трения скольженияот скорости и считаем, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения.5Сила трения не может изменить направление движения тела на противоположное.где a' – ускорение доски относительно тележки.Решая совместно уравнения (1) и (2), находим⎛ mF − f тр ⎜1 +⎝ Ma′ =m⎞⎟⎠.(3)Относительное ускорение доски может принимать только положительное значениеили обращаться в нуль:⎛ mF − f тр ⎜1 +⎝ Ma′ =m⎞⎟⎠ ≥0.(4)⎛ m⎞Следовательно, при F ≤ f тр max ⎜1 + ⎟ ускорение a' = 0.⎝ M⎠Таким образом, приложенная сила F, при которой доска еще не будет двигаться относительно тележки, должна иметь предельное значение⎛ m⎞⎛ m⎞Fпред = f тр max ⎜1 + ⎟ = µmg ⎜1 + ⎟ = 9,4 Н .⎝ M⎠⎝ M⎠1.
По условию задачи F = 5,9 Н. Так как приложенная сила меньше предельногозначения Fпред, при котором начинается скольжение доски относительно тележки, тоa1 = a2 = a и возникающая сила трения есть сила трения покоя. Уравнения (1) можнопереписать в видеma = F − f тр ,⎫⎪⎬Ma = f тр . ⎪⎭(5)При решении уравнений (5) получимf тр =a=FM=5Н ;M +mF= 0,24 м с 2 .M +m2. По условию задачи F = 19,6 Н. В этом случае F > Fпред, доска будет скользить относительно тележки, и сила трения, теперь уже сила трения скольжения, будет равнаf тр = µmg = 7,8 Н .Уравнения (1) примут такой вид:ma1 = F − µmg ,ma 2 = µmg .Из первого уравнения находимa1 =F − µmg= 3,0 м с 2 .mЗадача 6На наклонной плоскости лежит груз массой m1 = 5 кг, связанным нитью, перекинутой через блок, с другим грузом m2 = 2 кг (рис.
9). Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью µ = 0,1;угол α наклона плоскости к горизонту 36°.Рис. 9АНАЛИЗНа первое тело действуют следующие силы: сила тяжести P1, сила нормальной реакции N (сила, с которой наклонная плоскость действует на груз), сила натяжения Т нити и сила трения fтр. Эта последняя сила всегда направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же неизвестно направление движении системы, то нельзя указать направлении силы трения.
Но так как сила трения скольжения не может изменитьнаправление движения на обратное, то следует найти сначала направление движения вотсутствие трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения.II закон Ньютона для первого тела без учета силы трения запишется так:m1a = T + P1 + N .Рассматривая проекции сил на ось х и предполагая, что ускорение первого тела направлено вниз параллельно наклонной плоскости, получим II закон Ньютона в такомвиде:m1a = P1 sin α − T .(1)Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорение второго тела должно бытьнаправлено вверх и по модулю равно ускорению первого тела.
Так как обе силы (силатяжести и сила натяжения нити), действующие на второе тело, коллинеарны, то II законНьютона для второго тела можно сразу писать в скалярном видеm 2 a = T ′ − P2 (T ′ = T ) .(2)Решая совместно уравнения (1) и (2), находимa=P1 sin α − P2m sin α − m 25 ⋅ 0,6 − 2=g 1= 9,8>0m1 + m 2m1 + m 27Ускорение получилось положительным. Это значит, что первое тело будет двигаться вниз по наклонной плоскости, второе – вверх. Необходимо оговорить, что в данномслучае направления ускорения и скорости обязательно совпадают, так как рассматриваемые тела не имели начальной скорости. Найдя направление движения, можно решать задачу уже с учетом сил трения.
При этом II закон Ньютона и для первого теламожно теперь сразу писать в скалярном виде.РЕШЕНИЕУравнение (1) с учетом силы трения примет видm1 a = P1 sin α − T − f тр .(3)Как известноf тр = µN ,где k – коэффициент трения, N – сила нормальной реакции, действующая со стороныплоскости на первое тело, в данном случаеN = P1 cos α .Таким образом, уравнения (3) и (2) составят систему уравненийm1a = m1 g sin α − T − m1 gµ cos α ,⎫⎬m 2 a = T − m 2 g.⎭Решая совместно уравнения (4), находимa=m1 sin α − m1µ cosα − m 2⋅ g = 0,84 м с 2 ,m1 + m 2(4)T =m1m 2 g(1 + sin α − µ cos α )= 21,6 Н .m1 + m 2При некотором подборе числовых данных может получиться, что при учёте силытрения, т. е.
при совместном решении уравнении (3), ускорение a будет отрицательно.Как уже говорилось, выше, сила трения не может изменить направление движенияна обратное; следовательно, в этом случае система неподвижна и ускорение a = 0. Этоозначает, что сила трения в действительностиf тр < µN .Здесь мы вновь сталкиваемся с тем, что при отсутствии относительной скорости v'трущихся поверхностей сила трения может принимать любое значение в пределах отнуля до kN:f тр ≤ µN .Если же v' ≠ 0, то сила трения принимает значениеf тр = µN .Задача 7На наклонной плоскости лежат два груза, соединенные тонким стержнем. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью различны.
В каком случае стержень будетсжат? В каком растянут? Разобрать качественно.АНАЛИЗВ отсутствие стержня ускорение каждого из грузов определяется только углом наклона плоскости к горизонту и величиной коэффициента трения. Если ускорение первого груза больше, чем ускорение второго, т. е. если первый коэффициент тренияменьше второго (µ1 < µ2), то стержень будет замедлять движение первого груза и ускорять движение второго груза.
В этом случае стержень будет растянут. Если µ1 > µ2 тостержень будет ускорять первый груз и замедлять второй груз; следовательно, стержень будет сжат.Задача 8Груз массой m = 200 г, привязанный к нити длиной l = 40 см, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали α = 36° (рис.
10). Найти угло-вую скорость вращения груза ω и силу натяжения нити T.Рис. 10АНАЛИЗРассматриваемое тело движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью.Следовательно, ускорение его направлено к центру (оси) вращения и равноa = an = ω 2 r .(1)При этом движении на тело действуют только две силы – сила тяжести Р и сила натяжения нити F. Запишем II закон Ньютонаma = P + T .(2)Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траектории, к центруокружности, вторую – вертикально.РЕШЕНИЕЗаменяя векторную запись II закона Ньютона соотношениями между проекциямисил на указанные оси, получимma n = T sin α ,(3)0 = − P + T cos α .(4)На основании этих уравнений находимT =P= 2,4 Н ;cosαma n = mg ⋅ tg α .(5)Для того чтобы найти ω, воспользуемся соотношением (1):ω2 =an,r(6)где r – радиус окружности, по которой движется тело, равныйr = l sin α .Подставив значения a n и r в уравнение (6), получимω2 =gg= 5,6 с −1 ., ω=lcosαl cos αВ данном случае центростремительная сила равна векторной сумме силы тяжести исилы натяжения нити6.Задача 9Автомобиль массой m = 1600 кг едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч по выпуклому мосту, радиус кривизны которого r = 83 м (рис.
11). Найти силу давления автомобиля на мост в его верхней точке.Рис. 11АНАЛИЗНайти непосредственно по данным задачи силу давления автомобиля на мост мыне можем, но, рассматривая условия движения автомобиля, можно найти силу нормальной реакции N – силу, с которой мост давит на автомобиль. Эти силы по III законуНьютона по модулю равны друг другу.Автомобиль движется с постоянной скоростью по дуге окружности. Следователь6При решении всякой задачи на динамику криволинейного движения следует указы-вать, из проекции каких сил складывается центростремительная сила в каждом отдельном случае.но, полное ускорение автомобиля направлено к центру и равноa = an =v2.rВ создании- этого ускорения участвуют только две силы – сила тяжести Р и силанормальной реакции N. Сила тяги мотора и сила трения, также действующие на автомобиль, направлены по касательной к траектории и в верхней точке уравновешиваютдруг друга, поэтому их можно не рассматривать.
Поскольку обе силы Р и N коллинеарны, II закон Ньютона можно записать сразу в скалярном виде, считая направление внизположительным.РЕШЕНИЕПо II закону Ньютона имеемma n = P − N ,откуда⎛v2 ⎞N = m ⎜⎜ g − ⎟⎟ .r ⎠⎝Искомая сила давления автомобиля на мостPn = N = 13,8 ⋅103 Н .Полезно показать учащимся, что в любой другой точке моста нормальное ускорение будет создаваться проекцией силы тяжести на радиальное направление и силынормальной реакции.Задача 10С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальнойплоскости, описывая дугу радиуса r = 90 м, если коэффициент трения колес о почвуµ = 0,4? На какой угол α от вертикали должен отклониться мотоциклист при скоростиv1 = 15 м/с (рис.
12)?АНАЛИЗПри движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения и движение его в принципе не будет поступательным (мотоциклист имотоцикл рассматриваются как единое твердое тело). Следовательно, скорости различных точек отличны друг от друга. Для того чтобы найти скорость центра масс, надонайти нормальное ускорение этой точки. Согласно теореме о движении центра масс егоускорение не будет зависеть от точек приложения сил, а на мотоциклиста действуютсилы: сила тяжести, сила нормальной реакции, сила трения, сила тяги, направленные покасательной к траектории, и сила трения покоя, направленная к центру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
