ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Начальная скорость u0 второго тела и начальная координата x02могут быть найдены из условий задачи: при t = τ x2 = 0, uτ = uA.РЕШЕНИЕУравнение движения первого телаx 1 = v0t +a1t 2;2(1)второго телаa2 t 2x2 = x02 + u0t +;2(2)u A = u0 + a2τ ,(3)из начальных условии имеем0 = x02 + u0τ +a2τ 2.2(4)Из уравнения (3) находимu0 = u A − a2τ ;(5)a2τ 2x02 = −u Aτ +.2(6)из уравнений (4) и (5)При подстановке числовых значений в уравнения (5) и (6) получим, что u0 < 0,x02 > 0. Это значит, что второе тело в момент t = 0 находилось справа от точки A (считаем положительное направление оси х слева направо) и двигалось по направлению кточке А. В какой-то момент времени t < τ направление скорости второго тела изменилось.При подстановке (5) и (6) в уравнение (2) получаемx 2 = u A (t − τ ) +a2 (t − τ )2.2(7)(Уравнение (7) можно получить, если ввести для второго тела свое время t' = t – τ.)Время столкновения обоих тел определится из условияx1 = x2 .Приравнивая правые части уравнений (1) и (7), получим квадратное уравнение относительно t.
Корни этого уравнения равны следующим значениям:t1 = 51 с; t2 = 3 с.Оба корня имеют физический смысл. Первый корень (t1 > τ) соответствует «столкновению» после того, как оба тела прошли точку А и движутся в одинаковом направлении.Второй корень (t2 < τ) соответствует «столкновению» тел, когда второе тело движется кточке А навстречу первому телу.Задача 4Камень брошен с высоты h = 2,1 м под углом α = 45° к горизонту и падает на землюна расстоянии s = 42 м по горизонтали от места бросания (рис. 2). Найти начальнуюскорость v0 камня, время полета τ и максимальную высоту Н подъема над уровнем земли. Найти также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.Рис.
2АНАЛИЗДвижение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двухнезависимых движении: равномерное движение но горизонтали (по оси х) и равнопеременное по вертикали (по оси у). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания.Ось у направим вертикально вверх.РЕШЕНИЕДля движения камня по оси х имеемv x = v0 cos α = const ; x = v0 cos α ⋅ t ;при t = τ x = s .Следовательно,s = v0 cos α ⋅ τ .Для движения камня по оси у(1)v y = v0 sin α − gt ,y = v0 sin α ⋅ t −gt 2.2(2)(3)При t = τ y = –h, поэтомуgτ 2− h = v0 sin α ⋅ τ −,2(5)v yB = v0 sin α − gτ .(6)Решая совместно уравнения (1) и (4), находим значения τ и v0:τ=2( h + s ⋅ tg α )=3с;gv0 =sм= 20 .τ ⋅ cos αсВысоту подъема камня над землей можно найти из условияH = h + y max .При y = ymax имеем vy = 0, t = t1.
Подставив в уравнение (2) vy = 0, находим времяподъема t1:t1 =v0 sin α.gПодставив t1 в уравнение (4), получимy max =H =h+v02 sin 2 α;2gv02 sin 2 α= 12 м .2gНайдём теперь направление векторов полного ускорения скорости и величинынормального и тангенциального ускорений в точках траектории, указанных в условиизадачи. В верхней точке траектории vy = 0, v = vx; следовательно, векторы ускорения искорости взаимно перпендикулярны.
Это значит, что aτ = 0, an = g.Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке по формулеr=v 2 v02 cos 2 α== 20 м .angВ конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускоренияможет быть выражен следующим образом:sin β =vx.vРазложив вектор полного ускорения g на тангенциальное и нормальное, получимaτ = g cos β , an = g sin β ,и радиус траектории в этой точке также находится из соотношения r =r=vB2, т.
е.anvB3.vx gТак как полное время τ движения и начальная скорость v0 уже найдены, скорость vв точке падения на землю находится по формулеv = v02 cos 2 α + ( v0 sin α − gτ )2 = 21м.сТогда радиус кривизны траектории в этой точке r = 63 м.Задача 5С вершины горы под углом α = 36° к горизонту бросают камень с начальной скоростью v0 = 5 м/с (рис. 3). Угол наклона горы к горизонту также составляет 36°. На какомрасстоянии l от точки бросания упадет камень?Рис. 3АНАЛИЗТак же, как и в предыдущей задаче, движение камня, происходящее по параболе,можно рассматривать как сумму двух независимых прямолинейных движений. В данном случае в качестве составляющих движений удобно брать движения вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней. При таком рассмотрении оба составляющихдвижения прямолинейны и равнопеременны.РЕШЕНИЕПоместим начало координат в точке бросания (точка А), ось х направим параллельно наклонной плоскости вниз, ось у – перпендикулярно к плоскости вверх.
Как видноиз рисунка,a x = g sin α , v0 x = v0 cos 2α ;(1)a y = − g cos α , v0 y = v0 sin 2α .(2)На основании выражений (1) и (2) закон движения камня в выбранной системе координат можно записать следующим образом:g sin α ⋅ t 2;2(3)g cos α ⋅ t 2y = v0 sin 2α ⋅ t −.2(4)x = v0 cos 2α ⋅ t +В точке падения камня (точка В) при t = τ, x = l y = 0. Подставив значения y = 0 иt = τ в уравнение (4), найдемτ=2 v0 sin 2α 4 v0 sin α=.g cos αgПодставив в уравнение (3) значения t = τ, x = l и заменив τ выражением (5), получим4v02 sin α(cos 2α + 2 sin 2 α ) .gПреобразуем выражение в скобкахl=cos 2α + 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α + 2 sin 2 α = 1 ;окончательно получим(5)l=4 v02 sin α= 6,1 м .gМожно выбрать координатные оси как обычно – ось x' направить по горизонтали,ось y' вертикально вверх. Тогда получим следующую систему уравнений:⎧x ′ = v0 cos α ⋅ t ,⎪⎨gt 2′=sin⋅−.vαyt⎪02⎩(6)В точке В при t = τ1 xB' = l cos α, yB' = l sin α.
Подставляя значения xB' и xB' в уравнение (6), найдем искомое значение l.§ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯОсновными законами динамики являются II и III законы Ньютона. II закон устанавливает причинную связь между законом движения тела и характером взаимодействия данного тела с другими телами.Если известен закон движения тела, можно найти результирующую силу, действующую на него. Если известен характер взаимодействия рассматриваемого тела с окружающими телами, т. е.
если известны силы, действующие на данное тело, можнонайти при заданных начальной скорости и начальных координатах закон движения этого тела.Применение II закона Ньютона ко всякой конкретной задаче неразрывно связано сприменением III закона в силу того, что действие одного тела на другое всегда носитхарактер взаимодействия.До тех пор, пока не введено понятие силового поля, следует всегда рассматриватьвзаимодействие данного тела с другими телами.Законы сохранения (закон сохранения количества движения и закон сохраненияэнергии) связывают между собой некоторые параметры (координаты и скорость) движения тела в различных его состояниях.
Законы сохранения следует применять в техслучаях, когда вычисления сил либо затруднительны, либо не нужны по условию задачи. В том случае, когда силы, действующие на рассматриваемое тело, оказываются зависящими от времени, закон движения (на основании II и III законов Ньютона) определяется при помощи интегрального исчисления. Применение законов сохранения позволяет обойти математические затруднения и по начальным параметрам движения найтиконечные и наоборот.
В этом случае законы Ньютона могут быть использованы для качественного анализа. Во многих случаях оба метода равноправны. Вопросы применимости законов сохранения будут разобраны ниже.Задачи этого параграфа решены в СИ, при этом для перевода величии в единицыэтой системы используется табл. 1 Приложения.При решении задач все данные приводятся к одной системе единиц непосредственно перед подстановкой числовых значений.Законы НьютонаУравнение II закона Ньютона надо применять в отдельности к каждому телу рассматриваемой системы. Особое внимание следует при этом уделить анализу сил взаимодействия данного тела с другими телами.
При анализе действующих сил следуетрассмотреть их характер (тяготение, упругость, трение), происхождение (в результатевзаимодействия с каким телом возникла данная сила), направление. Уравнение II закона следует обязательно писать в векторном виде, а затем переходить к скалярным равенствам, связывающим проекции ускорения и действующих сил на координатные оси,выбранные в зависимости от условий задачи.
Эту систему координат, применяемуюдля решения векторных уравнений, не следует смешивать с системой отсчета, относительно которой рассчитываются скорости и ускорения тела. Это обстоятельство является существенным при решении задач на криволинейное движение, где для решениявекторного уравнения, составленного на основании II закона Ньютона, удобно выбирать оси, направления которых не являются постоянными во времени, в то время какскорость и ускорение тела отсчитываются в инерциальной системе отсчёта. В тех случаях, когда тела связаны между собой (нить, стержень и т. п.), перемещения тел не являются независимыми.
Следует помнить, что законы Ньютона справедливы только дляинерциальных систем. Почти во всех рассматриваемых задачах Землю можно считатьинерциальной системой координат, если пренебрегать ее ускорением относительносистемы неподвижных звезд. Отсюда вытекает ограничение в выборе систем отсчета:они не должны иметь ускорения относительно Земли2.Необходимо также рассмотреть применение законов Ньютона к изучению криволинейного движения материальной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
