ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как скорость мотоциклиста постоянна, сумма проекций всех сил на направление по касательной равна нулю. В наше рассмотрение войдут только сила тяжести Р, сила нормальнойреакции N и сила трения покоя fтр, направленная но нормали к траектории, к центру ееv2кривизны. Ускорение центра масс мотоциклиста, равное по абсолютной величине,r7направлено также к центру.Рис. 12II закон Ньютона может быть записан так:m a = P + N + f тр .(1)Однако, эти силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклистабудет действовать еще вращающий момент. Этот момент равен нулю, если результирующая силы нормальной реакции и силы трения пройдет через центр тяжести (центрмасс) мотоциклиста.
Из рис. 12 видно, что условие будет выполнено, еслиtgα =f трN.(2)Сила трения, о которой идет речь, представляет собой силу трения покоя, так как врадиальном направлении мотоциклист не имеет скорости. Следовательно7Так как радиус траектории, по которой движется мотоциклист, очень велик, отличиемрадиуса окружности, по которой фактически движется центр масс, от заданной величины r можно пренебречь.f тр ≤ µN ,(3)где N – сила нормальной реакции.РЕШЕНИЕРассмотрим соотношения между проекциями ускорения и действующих сил на оси,одна из которых направлена вертикально вверх, вторая – по нормали к центру окружности.Уравнение (1) может быть заменено следующими двумя скалярными равенствами:⎫v2= f тр ,⎪r⎬0 = N − P .
⎪⎭m(4)Неравенство (3) с учетом выражений (4) даетf тр ≤ µmgилиmv2≤ µmg .rСледовательно,vmax = µgr = 19 м с .При скорости v = v1 < vmax имеемf тр =f тр v12m v12== 0,26 ., tg α =NrgrЛегко видеть, что при v = vmaxtg α = µ .Законы сохранения импульса и энергииСледует прежде всего обратить внимание учащихся на вопрос о пределах применимости законов сохранения.Закон сохранения импульса (количества движения) можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т. е. к таким системам тел, на которые не действуютвнешние силы, либо их векторная сумма равна нулю. Характер внутренних сил не является существенным; к числу этих сил могут относиться и силы трения. Кроме того,систему можно считать замкнутой в течение такого малого промежутка времени, напротяжении которого в системе возникают силы взаимодействия, во много раз большие, чем внешние силы.В тех случаях, когда результирующая всех внешних сил не равна нулю, т.
е. система не является замкнутой, но проекция результирующей внешней силы на какое-либонаправление во время взаимодействия равна нулю, сумма проекции количеств движения всех тел системы на это же направление остается постоянной.При составлении уравнений на основании закона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости всех рассматриваемых тел должны обязательноотсчитываться относительно одной и той же системы отсчета, а также на векторныйхарактер закона.Система тел, механическая энергия которых постоянна, называется консервативной. Условие консервативности – отсутствие перехода механической энергии в другиевиды энергии и обмена механической энергии между телами, принадлежащими к данной системе, и внешними телами.Первое условие выполняется всегда, когда между телами системы действуют силы,величина и направление которых зависят только от координат взаимодействующих тел,– консервативные силы, либо когда работа внутренних неконсервативных сил равнанулю.
(Неконсервативными силами являются, например, сила трения, силы, возникающие при неупругом ударе.)Второе условие выполняется в тех случаях, когда алгебраическая сумма работ всехвнешних сил, действующих на систему, равна нулю.В неконсервативных системах изменение полной механической энергии системыбудет равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних неконсервативных сил.Указание. Если выражение для деформации упругого тела уже известно из лекци-онного курса, то задачу 5 § 4 следует рассмотреть в данном разделе.Задача 1На горизонтальной плоскости на рельсах стоит платформа с песком общей массойM = 5·103 кг.
В платформу попадает снаряд массой т = 5 кг, летящий со скоростьюv = 400 м/с. Снаряд летит вдоль рельс под углом α = 36° к горизонту (рис. 13). Найтискорость платформы, если снаряд застревает в песке.АНАЛИЗЭта задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона.Платформа приобретает скорость и в результате взаимодействия со снарядом, но законизменения силы этого взаимодействия во времени не известен. Поэтому надо выяснить,можно ли решить эту задачу с помощью законов сохранения.Рис.
13На систему платформа-снаряд, кроме силы взаимодействия – силы, внутренней дляэтой системы, действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения. В данном случае вследствие негоризонтального направления скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу, во время взаимодействия платформы иснаряда будет меняться.
Следовательно, закон сохранения количества движения к данной системе не применим.Но если пренебречь силой трения (по сравнению с силой взаимодействия платформы и снаряда), сумма проекций внешних сил на горизонтальное направление будетравна нулю. Это значит, что проекция вектора полного импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:p1x = p2 x ,где p1x – проекция импульса системы на ось x до взаимодействия, p2x – после взаимодействия.РЕШЕНИЕДо взаимодействия вектор импульса системыp1 = m vили в скалярной формеp1x = m v cosα ;после взаимодействияp2 = p2 x = (m + M )u .На основании выражения (1)m v cos α = (m + M )u .Отсюда получаемu=m v cos α= 0,32 м с .m +MЗадача 2Акробат массой М = 50 кг, имея при себе груз m = 5 кг, прыгает под углом α = 60° кгоризонту со скоростью v0 = 6 м/с (рис. 14).
В наивысшей точке своей траектории онбросает груз горизонтально назад с относительной скоростью v' = 2 м/с. На сколькоувеличится дальность прыжка акробата вследствие этого?Рис. 14АНАЛИЗУвеличение дальности прыжка на величину ∆s обусловлено увеличением горизонтальной составляющей скорости гимнаста вследствие броска груза.Во все время движения на систему акробат-груз действует внешняя сила – сила тяжести. Но в верхней точке траектории, т.
е. в момент броска, скорости акробата и грузастрого горизонтальны, проекция силы тяжести на горизонтальное направление равнанулю. Следовательно, импульс системы до и после броска будет постоянным, при этомследует предположить, что время броска ничтожно мало.Задачу удобно решать в системе координат, движущейся со скоростью v, гдеv = v0 cos α – горизонтальная составляющая скорости акробата до броска.РЕШЕНИЕВ системе координат, связанной с Землей,∆s = (v2 − v ) ⋅ t ,(1)где v2 – горизонтально направленная скорость акробата после броска, t – время движения акробата от верхней точки траектории до земли, которое находится на основаниизакона независимости движения:t=2h,gа максимальная высота подъемаh=v02 sin 2 α,2gt=v0 sin α.gоткуда находим(2)Для вычисления ∆v = v2 – v применяем закон сохранения импульса в системе x', y',которая движется со скоростью v.
В этой системе координат импульс системы акробатгруз до броска p1 = 0, после броска – p2 = M∆v – m(v' – v), где М – масса акробата. Следовательно,M ∆v − m (v′ − ∆v ) = 0 ,∆v =m v′.M +m(3)Подставив формулы (2) и (3) в равенство (1), получим∆s =m v′ v0 sin α⋅= 0,095 м .M +mgЗадача 3Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v = 100 м/с, разрывается на две равные части на высоте Н = 40 м. Одна часть падает через t = 1 с на землю точно под местом взрыва. Найти величину и направление скорости второй части снаряда сразу послевзрыва.АНАЛИЗСилы, возникающие при взрыве снаряда, настолько велики, что систему снаряд –две его части можно считать замкнутой. Следовательно, полный вектор импульса сисαРис. 15темы за время взрыва не меняется:p1 = p2 .(1)До взрыва вектор p1 направлен горизонтально.
После взрыва полный вектор импульса p2 равен сумме векторов импульсов двух частей снаряда, на которые он разрывается. Один из этих векторов согласно условию задачи направлен строго по вертикали,направление и величину другого вектора надо определить. Равенство (1) можно переписать в скалярной форме, если ввести координатные оси: ось x – по горизонтали, ось y– вертикально вверх или вниз.
Можно провести решение и непосредственно из векторного равенства (1). Из рис. 15 видно, чтоp1 = 2 m v ,(2)p2 = m u1 + m u2 ,(3)где m – масса каждой части снаряда, v – его скорость; u1 – начальная вертикальная скорость 1-й части снаряда, u2 – скорость 2-й части.РЕШЕНИЕКак видно из рис.
15,(mu 2 )2 = (2mv )2 + (mu1 )2 ,откудаu2 = 4 v 2 + u12 ,α = arcsinu1.2vНа основании закона падения для 1-й части снаряда:gt 2H = u1 t +2находимgt 2H−2 = 35 м с .u1 =tТогда скорость 2-й части снарядаu2 = 202 м с ;вектор скорости u2 будет направлен к горизонту под угломα = arcsin 0,17 = 10° .Задача 4Камень брошен с высоты h = 2 м под некоторым углом к горизонту с начальнойскоростью v0 = 6 м/с. Найти скорость камня в момент падения на землю, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.АНАЛИЗЗадача может быть решена с помощью законов кинематики, однако такой методрешения будет излишне громоздким.Во все время полета на камень действует только сила тяжести.
Эта сила, как известно, зависит от координат камня, поэтому для системы Земля – камень применяемзакон сохранения энергии∆E к + ∆E п = 0 ,(1)где ∆Eк и ∆Eп – соответственно изменения кинетической и потенциальной энергий системы8. Потенциальная энергия системы есть энергия взаимодействия тел, входящих всистему. Изменением кинетической энергии Земли можно пренебречь9.РЕШЕНИЕРассмотрим значение каждого слагаемого выражения (1). Скорость камня изменилась от значения v0 в первом состоянии до значения v во втором.Следовательно,∆E к =m v 2 m v02−,22(2)где т – масса камня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
