ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Соотношение между силами T1 и T2 может быть полученотолько после рассмотрения движения блока.Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через егоцентр, следовательно, моменты сил тяжести и реакции оси равны нулю. Предполагая,что нить не скользит относительно блока, можно утверждать, что вращение блока вызывается действием сил натяжения нити.Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в применении кблоку записываем так:I ε = M1 + M 2 ,где M1 и M2 – моменты обеих сил натяжения.
Считая направление вращения блока почасовой стрелке положительным, т. е. принимая направление по оси вращения «к нам»за положительное, получимI ε = T 1′r − T 2′r (T 1′ = T 1, T 2′ = T 2 ) ,ε=a,r(3)(4)где а – абсолютное значение линейного ускорения грузов. Последнее равенство справедливо в силу того, что нить нерастяжима и, следовательно, линейное ускорение грузов и всех точек нити одинаково и равно вследствие отсутствия проскальзывания нитикасательному ускорению крайних точек блока. Из равенства (3) вытекает, что в случаеневесомости блокаT2 = T1 11РЕШЕНИЕДля определения закона движения грузов выбираем общую систему координат.Положительное направление оси принимаем вертикально вниз.
Тогда уравнения (1) и(2) запишем следующим образом:m1a = P1 − T 1 ; − m2 a = P2 − T2 .Уравнение (3) с учетом равенства (4) получим в видеI11a= T 1r − T 2 r ,rНадо помнить, что здесь речь идет только об абсолютных величинах сил натяже-где момент инерции дискаI=m0r2.2Решая три последних уравнения совместно, находимa=gm1 − m 2м= 1,5 2 .mсm1 + m 2 + 02Задача 3С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск.
Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 36°, массадиска m = 500 г (рис. 20).Рис. 20АНАЛИЗПри качении без скольжения тело перемещается, так как оно поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс. Следовательно, смещение s центра массs = ϕ ⋅r ,(1)где φ – угловое перемещение диска вокруг центра масс. Дважды дифференцируя эторавенство, получимv ц. м = ωr ,(2)aц. м = ε r ,(3)ния.где ω и ε – угловые скорость и ускорение вращения тела вокруг оси, проходящей черезцентр масс.Равенства (1), (2), (3) представляют собой математическую запись условий качениятела без скольжения (как по наклонной плоскости, так и по любой кривой поверхности).В рассматриваемой задаче на диск действуют: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр.
Так как скольжения диска относительно плоскости нет, указанная сила трения есть сила трения покоя, которая подчиняется условиюf тр ≤ µN или f тр ≤ µmg cos α ,(4)где µ – коэффициент трения между плоскостью и диском, N – сила нормальной реакцииплоскости на диск. Ускорение центра масс а может быть найдено из II закона Ньютонаm a = P + N + f тр .(5)Вращение диска вокруг центра масс обусловливается только силой трения, так какмоменты силы тяжести и силы нормальной реакции равны нулю. Следовательно,I ε = M тр .(6)РЕШЕНИЕРассматривая проекции всех сил на ось х (направим ось x вниз параллельно наклонной плоскости), получим на основании уравнения (5)ma = mg sin α − f тр .(7)Момент силы тренияM тр = f тр ⋅ r .Подставляя в уравнение (6) это выражение и равенство (3), получимIa= f тр r .r(8)При совместном решении уравнений (7) и (8) с учетом, что момент инерции диска1I = mr 2 , находим2a=mg sin α,Im+ 2r(9)т.
е.2мg sin α = 3,9 2 .3сa=На основании уравнений (7) и (8) получим такжеf тр =mg sin α.mr 21+I(10)Подставив значение момента инерции диска, вычислимf тр =mg sin α= 0,98 Н .3Из равенств (10) и (4) легко теперь найти условие при котором возможно качениебез скольжения:mg sin α≤ µmg cos α ,mr 21+Iили1≤ µ ⋅ ctg α .mr 21+JСледовательно, при уменьшении коэффициента трения сила, требуемая для обеспечения качения без скольжения, может оказаться больше, чем максимальная сила тренияпокоя, тогда тело начнет скользить; такое же явление может иметь место при увеличении угла α.Задача 4С наклонной плоскости скатываются без скольжения сплошной цилиндр и тележка,поставленная на легкие колеса.
Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из телскатится быстрее и во сколько раз?АНАЛИЗДвижение центров масс обоих тел равноускоренное без начальной скорости. Следовательно, для обоих тел можно записатьl=vtat 2или l = ,22где v – скорость тела в конце наклонной плоскости; l – ее длина. Искомое соотношениевременt1 v2=.t 2 v1Рассмотрим катящийся цилиндр. На цилиндр, как уже указываюсь в предыдущейзадаче, действуют три силы: сила трения fтр, сила нормального давления N и сила тяжести Р. Первые две силы не совершают работы при качении цилиндра, так как сила трения возникает при отсутствии скольжения, сила нормального давления перпендикулярна перемещению. Следовательно, система цилиндр-Земля консервативна и можно применить к ней закон сохранения энергии:∆E к + ∆E п = 0 .(1)Рассмотрим движение тележки.
Аналогичный анализ характера действующих силпозволяет применить закон сохранения энергии и к системе тележка-колеса-Земля. Нопо условиям задачи масса колес очень мала, поэтому энергией колес как кинетической,так и потенциальной, можно пренебречь.Уравнение (1) будет справедливо и в этом случае, с той только разницей, что слагаемое Eк выражает кинетическую энергию только поступательного движения.РЕШЕНИЕДля цилиндра∆Eп = − mgh ,∆E к =m v12 I ω 2+,22(2)(3)где h – высота наклонной плоскости, v1 – линейная скорость центра масс цилиндра, ω –угловая скорость вращения вокруг центра масс в конце наклонной плоскости, I – момент инерции цилиндра.
Известно, чтоv1 = ωr ,I = mr 2 ⋅ b ,где b для тел разной формы принимает различные значения; для сплошного цилиндраb=1.2Найдём из этих формул ω и J и подставим в равенство (3), тогда∆E к =m v12(1 + b ) .2(4)Выражения (2) и (4) подставим в уравнение (1) и окончательно будем иметьv1 =2 gh.1+ bДля тележки∆Eп = − mgh ,(5)m v22.2(6)∆E к =Подставляя выражения (5) и (6) в уравнение (1), получим, что скорость центра масстележкиv2 = 2 gh .Искомое соотношение временt1 v2== 1+ b ,t 2 v1t1=t23.2Как видно из ответа, цилиндр скатывается медленнее, чем тележка.
Объяснить этоможно тем, что движение цилиндра (поступательное) тормозится силой трения покоя.Из равенства (10) задачи 3 следует, что сила трения растет с возрастанием моментаинерции скатывающегося тела. Так как по условию задачи масса колес, а следовательно, и их момент инерции практически равны пулю, то сила трения покоя, действующаяна колеса тележки, стремится к нулю.Данная задача может быть решена на основании II закона Ньютона и основногоуравнения динамики, при этом искомое соотношение времен будет равно корню из обратного отношения ускорений.Задача 5На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которого прикреплён к потолку.
Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса(рис. 21). Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщинойнити можно пренебречь. Начальная длина нити много больше радиуса цилиндра.АНАЛИЗНа цилиндр действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Так как радиус цилиндра пренебрежимо мал но сравнению с длиной нити, моментом силы тяжести относительно точки С можно также пренебречь, следовательно, во время движенияцилиндра нить можно считать строго вертикальной.Ускорение центра масс будет определяться разностью действующих на цилиндр сил. Под действием момента силы натяжениянити относительно центра масс цилиндр, помимо поступательногодвижения, будет совершать вращательное вокруг оси, проходящейчерез этот центр масс.РЕШЕНИЕЗапишем II закон Ньютона для цилиндра в скалярной форме, таккак обе силы параллельны:ma = P − T .(1)Применяя основное уравнение динамики, получимI ε = Tr ,(2)где r – радиус цилиндра, I – его момент инерции.Момент силы натяжения можно считать постоянным, так как со-Рис.
21гласно условию нить тонкая. Учитывая, чтоε =ar, I = mr 2 ,совместное решение уравнений (1) и (2) даетT=Pg, a= .22Задача 6На полый тонкостенный цилиндр массой m намотана нить (тонкая и невесомая).Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением a0.Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силунатяжения нити (рис. 22). Нить считать вертикальной.АНАЛИЗПри опускании цилиндра вниз его движение следует рассматривать как вращениевокруг оси, проходящей через центр масс, и поступательное движение со скоростьюцентра масс.
Как и в предыдущей задаче, движение цилиндра происходит под действием двух сил: силы тяжести Р и силы натяжения Т. Следовательно, II закон Ньютона дляцилиндра может быть записан в скалярной форме:ma = P − T ,(1)где а – ускорение цилиндра относительно Земли (абсолютное ускорение) связано с относительным ускорением a' соотношениемa = a 0 + a′ .(2)Рис. 22Вращательное движение по-прежнему обусловливается силой натяжения нити.
Угловое ускорение ε вращательного движения определяется отношениемε =a′,r(3)где a' – ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.РЕШЕНИЕПереписав формулу (2) в скалярном виде и подставив это новое выражение в уравнение (1), получимm(a0 + a′) = mg − T .Запишем основное уравнение динамики с учетом выражения (3):(4)Ia′= Tr .r(5)Подставляя в уравнение (5) выражение для момента инерции полого цилиндраI = mr 2 , получимma′ = T .(6)Решая совместно уравнения (4) и (6), найдем искомые величиныT=m(g − a0 ),2a′ =g − a0.2Исследуя окончательные выражения для силы Т и относительного ускорения a',легко видеть следующее: 1) если лифт будет свободно падать, т. е. a0 = g, натяжениенити и относительное ускорение обратятся в нуль; равенство a' = 0 означает, что цилиндр не будет сматываться с нити; 2) если ускорение лифта будет направлено вверх,т.
е a' < 0, то сила Т и ускорение a' будут возрастать с возрастанием переносного ускорения по абсолютной величине. Значит, будет увеличиваться и угловое ускорение вращательного движения цилиндра. Абсолютное ускорение центра масс цилиндра будетуменьшаться.Задача 7Телеграфный столб высотой h = 5 м подпиливают у основания. С какой скоростьюупадет на землю верхний конец столба? Столб можно считать тонким и однородным.АНАЛИЗДвижение столба можно рассматривать как вращательное вокруг горизонтальнойоси, проходящей через его основание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
