DGM_FN12 (1172052)
Текст из файла
Дифференциально-геометрические методытеории управленияЧетвериков В.Н.Лекции для магистров ФН-12, 2019 г.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Элементы теории дифференциальных форм22. Преобразование описаний нелинейных систем2.1. Отображения вход – выход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Построение уравнений отображения вход – выход . .
. . . . . . . . . . . . .2.3. Метод исключения переменных состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44563. Построение реализаций94. Управляемость, достижимость и наблюдаемость систем4.1. Определения достижимости и управляемости . . . . . . . .4.2. Первые интегралы систем и H∞ . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Достаточные условия достижимости и управляемости . .
.4.4. Наблюдаемость систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................13131315155. Обратимые системы165.1. Обратимые отображения вход–выход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2. Системы нормального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 186. Минимальные реализации систем управления216.1. Минимальные реализации линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2. Минимальные реализации нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 227. Динамически линеаризуемые и плоские системы7.1. Понятие динамической обратной связи . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .7.2. Плоские системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Построение динамической обратной связи, линеаризующей плоскую систему252527288. Метод динамической обратной связи308.1. Решение задач терминального управления и стабилизации . . . .
. . . . . . 308.2. Управление движением самолета вертикального взлета . . . . . . . . . . . . 329. Применения нормальных форм систем359.1. Построение динамической обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.2. Задача автономного регулирования . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 369.3. Задача изоляции возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610. Параметрическая идентификация10.1. Задача параметрической идентификации и классический подход к ее решению10.2. Параметрическая идентификация с использованием обратимых систем . . .10.3. Численное дифференцирование . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3838394011. Метод накрытий для решения задач терминального управления4211.1. Описание метода накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.2. Метод накрытий для плоских систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 441. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМПусть Rn — n-мерное пространство с координатами (z1 , . . . , zn ), F = C ∞ (Rn ) — множество гладких функций на Rn . Дифференциал гладкой функции f (z1 , . . . , zn ) :nX∂fdzi .df =∂zii=11-Форма на Rn : ω =nPai dzi , ai ∈ F.
1-Форма вида df называется точной.i=1Модуль, порожденный 1-формами ω1 , . . . , ωj (кораспределение): span{ω1 , . . . , ωj } = {a1 ω1 +. . . + aj ωj |a1 , . . . , aj ∈ F}.Задача: задан модуль M = span{ω1 , . . . , ωq }, определить, существует ли для негобазис из точных 1-форм, т.е. существуют ли такие функции f1 , . . .
, fq , чтоM = span{df1 , . . . , dfq }.Модуль 2-форм:(X)aij dzi ∧ dzj |aij ∈ F.i<jВнешнее произведение 1-форм:!nXai dzi ∧i=1nX!bi dzi=X(ai bj − aj bi )dzi ∧ dzj .i<ji=1Дифференциал 1-формы:dnX!ai dzi=i=1X ∂aji<j∂ai−∂zi∂zjdzi ∧ dzj .Свойства: ψ ∧ ϕ = −ϕ ∧ ψ, ψ ∧ ψ = 0, d(df ) = 0.Лемма Пуанкаре: dω = 0 =⇒ локально ω = df.Теорема Фробениуса: для модуля M = span{ω1 , . .
. , ωq } существует базис из точных1-форм ⇔qXdωi =αij ∧ ωj ,i = 1, q,j=1для некоторых 1-форм αij .Пример 1.1. span{dz1 − z2 dz3 − z2 dz4 , dz2 }.Пример 1.2. span{dz1 − z2 dz3 − z2 dz4 , dz3 }.31. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМp-Форма:Xω=ai1 ...ip dzi1 ∧ . . . ∧ dzip ,ai1 ...ip ∈ C ∞ (M ).1≤i1 <...<ip ≤nВнешнее произведение p-формы и 1-формы:ω∧nXj=1bj dzj =XnXai1 ...ip bj dzi1 ∧ . . .
∧ dzip ∧ dzj ,1≤i1 <...<ip ≤n j=1с учетом dzi ∧ dzj = −dzj ∧ dzi и dzj ∧ dzj = 0.Теорема Фробениуса II: для модуля M = span{ω1 , . . . , ωq } существует базис из точных 1-форм ⇔dωi ∧ ω1 ∧ . . . ∧ ωq = 0,i = 1, q.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПИСАНИЙНЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ2.1. Отображения вход – выходРассмотрим гладкую систему с входом и выходом:ẋ = f (t, x, u), x ∈ Rn , u ∈ Rm ,y = h(t, x), y ∈ Rp .(2.1)(2.2)Предположим зафиксированы начальные условия для переменных состояния x. Тогда длякаждой гладкой векторной функции u(t) переменной t (времени) при подстановке ее в систему (2.1) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительнопеременных состояния. Пусть x(t) — решение соответствующей задачи Коши. Вычисляяy(t) = h(t, x(t)), получаем отображение u(t) 7→ y(t), которое называется отображениемвход – выход.В общем случае отображение входа (u ∈ Rm ) в выход (y ∈ Rp ) нелинейной системыс непрерывным временем обычно описывают одним из двух способов.
Первое описаниесвязывает вход системы непосредственно с ее выходом с помощью системы обыкновенныхдифференциальных уравнений(ki )yi= ϕi (t, y, ẏ, . . . , y (k−1) , u, u̇, . . . , u(s) ),i = 1, p.(2.3)Обозначения аргументов функции ϕi в (2.3) означают, что эта функция зависит как отуправлений и их производных до порядка не выше s, так и от выходов yj и их производныхдо порядка не выше kj − 1, j = 1, p.Уравнения cистемы (2.3) называют уравнениями отображения вход – выход.
Чтобывыход был однозначно определен по входу, нужно задать начальные значения для y1 , ẏ1 ,(k −1)(k −1). . . , y1 1 , y2 , ẏ2 , . . . , yp p .Второе описание кроме переменных входа и выхода использует дополнительные переменные, которые называют переменными состояния. Предполагается, что вход изменяетсостояние x ∈ Rn системы, например, в соответствии с системой обыкновенных дифференциальных равнений, разрешенных относительно старших первых производных состояния,а выход определяется переменными состояния, управлением и его производными до некоторого порядка r:ẋ = f (t, x, u, u̇, . .
. , u(r0 ) ), x ∈ Rn , u ∈ Rm ,y = h(t, x, u, u̇, . . . , u(r) ), y ∈ Rp .(2.4)(2.5)Уравнения cистемы (2.4) называют уравнениями состояния.Среди систем вида (2.4)–(2.5) выделяют частный случай (2.4)–(2.5), когда функцияf не зависит от производных управлений, а функция h зависит только от переменныхсостояния и времени.В связи с описаниями системы с помощью уравнений отображения вход – выход и спомощью переменных состояния возникают задачи перехода от одного из этих описаний к2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПИСАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ5другому.
Будем рассматривать случай произвольных размерностей y, u и гладкие (бесконечно дифференцируемые) правые части уравнений (2.3)–(2.2). Задачи перехода от одногоиз описаний к другому предполагают нахождение как самих описаний, так и правил пересчета начальных условий. Например, эти правила могут задаваться невырожденнойгладкой заменой переменных.2.2. Построение уравнений отображения вход – выходДля того, чтобы от уравнений состояния (2.4) нелинейной системы перейти к уравнениям отображения вход – выход (2.3) достаточно исключить переменные состояния изсистемы дифференциальных уравнений, входящей в описание (2.4). Это можно сделатьвыразив переменные состояния через координатные функции выхода, входа и их производные, т.е. сделав такую замену переменных в системе дифференциальных уравнений.
Дляэтого по некоторой схеме выбирают координатные функции yi = hi (x, u, u̇, . . . , u(s) ) выходаи их производные в силу системы (2.4) и составляют из них систему из n нелинейныхуравнений которая должна быть заменой переменных. Вполне может оказаться, что такзамену переменных составить нельзя или что возможны разные варианты ее составленияи в результате будут получены разные уравнения отображения вход – выход.Пример 2.1. Найдем уравнения отображения вход – выход для системыẋ1 = x1 + x3 + u1ẋ2 = x2 − x3ẋ3 = x1 x2 + u2y1 = x1y2 = x2(2.6)рассмотрев различные варианты.Случай 1.
Для поиска замены переменных составим систему уравненийy1 = x1ẏ1 = x1 + x3 + u1y2 = x2 .Эта система разрешима относительно переменных состоянияx1 = y1x2 = y2x3 = ẏ1 − y1 − u1 .Вычислив(2.7)ÿ1 = ẋ1 + ẋ3 + u̇1 = x1 + x3 + u1 + x1 x2 + u2 + u̇1ẏ2 = ẋ2 = x2 − x3и воспользовавшись соотношениями (2.7), получим уравнения отображения вход – выходÿ1 = ẏ1 + y1 y2 + u2 + u̇1ẏ2 = y2 − ẏ1 + y1 + u1 .(2.8)Случай 2. В этом случае для поиска замены переменных составим другую системууравненийy2 = x2ẏ2 = x2 − x3y1 = x1 ,62. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПИСАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМкоторая тоже определяет замену переменных, поскольку разрешима относительно переменных состоянияx1 = y1x2 = y2x3 = y2 − ẏ2 .В результате получаем другие уравнения отображения вход – выходÿ2 = ẏ2 − y1 y2 − u2ẏ1 = y1 + y2 − ẏ2 + u1 .(2.9)Поскольку системы (2.8) и (2.9) были получены из системы (2.6) с помощью заменпеременных, то и они преобразуются друг в друга с помощью замен переменных, которыенесложно найти воспользовавшись приведенными выше соотношениями.
Системы (2.8) и(2.9) имеют тот же порядок, что и исходная система, но в систему (2.8) входит производнаяуправления.2.3. Метод исключения переменных состоянияИзложим один из способов преобразования системы (2.4) к виду (2.3), который далеебудем называть методом исключения переменных состояния.Пусть в (2.4) функции f и h гладкие в области изменения своих аргументов и h =т(h1 , ..., hp ) . Сопоставим функциям h1 , ..., hp целые числа k1 , . . . , kp , воспользовавшись следующим алгоритмом.1≡ 0, т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
