DGM_FN12 (1172052), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Построим такое дифференциальноеуравнение порядка 2n, чтобы функция y = χ(t, z1 , . . . , z2n ) была его общим решением. Потеореме о неявной функции в некоторой окрестности точки (tк , z̄0 ) переменные z1 , . . . , z2nпредставляют собой функции от t, y, y (1) , . . ., y (2n−1) :zi = Zi (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ),i = 1, 2n.Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка 2n:∂ 2n χ y (2n) = 2n t, Z1 (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ), .
. . , Z2n (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ) ,∂tопределенное в окрестности точки∂χ∂ 2n−1 χ(1)(2n−1)tк , y0 = χ(tк , z̄0 ), y0 =(tк , z̄0 ), . . . , y0= 2n−1 (tк , z̄0 ) .∂t∂t(11.16)(11.17)(11.18)По построению, для любого набора значений z1 , . . . , z2n из окрестности точки z̄0 функцияy = χ(t, z1 , . . .
, z2n ) есть решение уравнения (11.17), а функции (11.16) — первые интегралыэтого уравнения. Поэтому функцииp1 = χ tк , Z1 (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ), . . . , Z2n (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ) ,∂χ tк , Z1 (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ), . . . , Z2n (t, y, y (1) , . . . , y (2n−1) ) ,(11.19)p2 =∂t...∂ n−1 χ (1)(2n−1)(1)(2n−1)pn =t,Z(t,y,y,...,y),...,Z(t,y,y,...,y),к 12n∂tn−1как функции первых интегралов (здесь tк — константа) также есть первые интегралыуравнения (11.17). Следовательно, их производные в силу этого уравнения равны нулю:ṗi = 0,i = 1, n.(11.20)Функции (11.16) как первые интегралы уравнения (11.17) не зависят от t на его решениях. Поэтомуy (i−1) (tк ) =∂ i−1 χ(tк , z1 , .
. . , z2n ) = pi (tк ),∂ti−1i = 1, n.(11.21)11. МЕТОД НАКРЫТИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ46Замечание 1. Как известно [1, §5.3], общее решение линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами есть сумма частного решения и линейной комбинации фундаментальной системы решений (ФСР) соответствующей однороднойсистемы. Выбрав в качестве функции χ(t, z1 , . .
. , z2n ) такое выражение и обозначив черезz1 , . . . , z2n коэффициенты линейной комбинации, получим систему линейных алгебраических уравнений, связывающих y, y (1) , . . . , y (2n−1) и z1 , . . . , z2n . Матрица этой системы естьматрица (11.15), совпадающая с матрицей Вронского ФСР. Как известно [1, §5.2], такаяматрица невырождена для всех t. Поэтому чтобы найти выражения (11.16), достаточнообратную матрицу к (aij ) умножить на столбец (y, y (1) , . . . , y (2n−1) )T .Пример 11.1. В качестве χ(t, z1 , . . . , z2n ) возьмем функциюy = z1 + z2 (t − tк ) + z3(t − tк )2n−1(t − tк )2+ .
. . + z2n.2!(2n − 1)!Тогда матрица (11.15) верхнетреугольная с единицами на диагонали, а значит, невырожденная во всех точках. Уравнения (11.13) имеет вид y (2n) = 0, выражения (11.16) находятся указанным в замечании 1 способом, формулы (11.19) также нетрудно выписать.Применение метода накрытий дает решение в многочленах и совпадает с решением, полученным известным методом (см. § 8).Теорема 11.1.
Пусть y = χ(t, z1 , . . . , z2n ) — такая функция, что матрица (11.15)невырождена в точке (tк , z̄0 ), z̄0 = (z1,0 , . . . , z2n,0 ). Тогда существует такое δ > 0, что приtн ∈ (tк − δ, tк ) существует такая окрестность V ⊂ Rn точки∂ n−1 χ∂χ(tн , z̄0 ), . . . ,(tн , z̄0 ) ,χ(tн , z̄0 ),∂t∂tn−1(1)(n−1)что для любой точки (yн , yн , . . . , yн ) из V уравнение (11.17) есть r–замыкание задачитерминального управления для уравнения (11.13) c граничными условиями(1)(n−1)y(tн ) = yн , y (1) (tн ) = yн , . .
. , y (n−1) (tн ) = yн ,(1)(n−1)y(tк ) = y0 , y (1) (tк ) = y0 , . . . , y (n−1) (tк ) = y0,(1)(n−1)где числа y0 , y0 , . . . , y0определяются соотношениями (11.18).Можно сформулировать два подхода к использованию конструкции r–замыкания (11.17)–(11.20) и теоремы 11.1. При первом подходе терминальную задачу (11.6), (11.7) переформулируют в задачу (11.13), (11.14), решают ее с помощью r–замыкания (11.17), а потомобратным переходом находят решение задачи (11.6), (11.7). При втором подходе используется свойство инвариантности r–замыкания.
А именно, переходя в уравнении (11.17) отпеременных t, ỹ, v к переменным t, x, u получаем r–замыкание задачи (11.6), (11.7).Для обобщения формул (11.15)–(11.21) и теоремы 11.1 на случай m > 1 заметим, чтона функцию yj (1 ≤ j ≤ m) налагается 2kj граничных условий (11.14). Поэтому r–замыкание должно иметь порядок 2kj по переменной yj , j = 1, m. Общее решение такойсистемы представляет собой такую векторную функцию yj = χj (t, z1 , . . . , z2N ), j = 1, m,N = k1 + . . . + km , которая определяет обратимую замену от переменных z̄ = (z1 , .
. . , z2N )(2k −1)(2k −1)к переменным ỹ = (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym m ). Матрица (aij ) представляет собойматрицу Якоби этой замены. По аналогии с уравнением (11.17) r–замыкание для многомерного случая есть система(2kj )yj=∂ 2kj χj(t, z̄),∂t2kjj = 1, m,11. МЕТОД НАКРЫТИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ47где z̄ следует выразить через t, ỹ, используя обратную замену переменных.
Функции p1 , . . .,pN , которые определяют накрытие из этой системы в систему (11.20), по аналогии с (11.19)есть функцииχ1 (tк , z̄),∂χ1(tк , z̄), . . . ,∂t∂ k1 χ 1(tк , z̄),∂tk1χ2 (tк , z̄), . . . ,∂ km χ m(tк , z̄).∂tkmСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ[1] Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В.Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.Дифференциальные уравнения. — М.:[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: ЕдиториалУРСС, 2003.— 416 с.[3] Белинская Ю.С., Четвериков В.Н. Метод накрытий для терминального управленияс учетом ограничений // Дифференциальные уравнения.
2014. Т. 50. № 12. С. 1629–1639.[4] Калиткин Н.Н.Численные методы. М.: Наука, 1978.[5] Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчислениефункций многих переменных. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. — 456 с.[6] Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Изд–во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 520 с.[7] Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Преобразования описаний нелинейных систем// Дифференциальные уравнения. 2009.
Т. 45, № 5. С. 706-715.[8] Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Минимальные реализации нелинейных систем// Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1612–1622.[9] Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А.В. Бочаров,А.М. Вербовецкий, А.М. Виноградов, С.В. Дужин, И.С. Красильщик, А.В. Самохин,Ю.Н. Торхов, Н.Г. Хорькова, В.Н. Четвериков; под ред. А.М. Виноградова и И.С.
Красильщика. 2 изд., испр. и доп. М. : Факториал, 2005. 474 с.[10] Четвериков В.Н. Лекции по курсу ”Дифференциально-геометрические методы теорииуправления” для бакалавров ФН-12.[11] Conte G., Moog C.H., Perdon A.M.London, 2007.Algebraic methods for nonlinear control systems.[12] Fliess M., Join C. and Sira–Ramrez H. Non-linear estimation is easy // Int. J. ModellingIdentification and Control. 2008. Vol. 4(1).
P. 12-27[13] M. Fliess, J. Lévine, Ph. Martin and P. Rouchon. A Lie–Bäcklund approach toequivalence and flatness of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1999.— V. 44, № 5. — P. 922–937.[14] Isidori A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer, 1995. 549 p.[15] Martin P., Murray R.M.
and Rouchon P.Flat systems, equivalenceandtrajectoryeneration.CDSTechnicalReport,CDS2003.http://www.cds.caltech.edu/ murray/papers/2003d mmr03-cds.htmlСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ49[16] Mboup M., Join C. and Fliess M. Numerical differentiation with annihilators in noisyenvironment // Numerical Algorithms. 2009. Vol.
50(4). P. 439-467.[17] Mboup M., Join C. and Fliess M. A revised look at numerical differentiation with anapplication to nonlinear feedback control // Analysis and Design of Hybrid Systems. 2009.Vol. 3(1). P. 409-414[18] Schenkendorf R. and Mangold M. Parameter Identification for Ordinary and DelayDifferential Equations by Using Flat Inputs // Theoretical Foundations of ChemicalEngineering. 2014. Vol. 48(5). P. 594-607.[19] Sira–Ramirez H., Castro-Linares R. and Liceaga–Castro E.
A Liouvillian systemsapproach for the trajectory planning-based control of helicopter models // Int. J. RobustNonlinear Control. 2000. V. 10. Pp. 301-320.[20] Wald S. and Zeitz M. Flat inputs in the MIMO case // Preprints of the 8th IFACSymposium on Nonlinear Control Systems, University of Bologna, Italy. September 1-3.2010. P. 695-700..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
