DGM_FN12 (1172052), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , vi , . . .(j)и не зависят от vl , v̇l , . . . , vl , . . . при l 6= i.Теорема 9.1. Задача автономного регулирования разрешима ⇔ система обратимасправа.Пример 9.1.ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4====u1x 4 + u1x4 − x3u2y1 = x1y2 = x2ẋ1 = ξ ẋ2 = x4 + ξẋ3 = x4 − x3ẋ4 = ϑ2 − ϑ1 ˙ξ = ϑ1η̇ = ẏ2 − ẏ1 − η(η = x3 )−→ξ˙ = ϑ1u1 = ξu 2 = ϑ2 − ϑ1ÿ1 = ϑ1ÿ2 = ϑ2Алгоритм решения задачи автономного регулирования.В случае ρ < p задача автономного регулирования не имеет решения.В случае ρ = p строим динамическую обратную связь (9.6), которая в композиции с (9.5)преобразует систему Σ в нормальную форму (9.7). Построенная динамическая обратнаясвязь решает задачу автономного регулирования.9.3. Задача изоляции возмущенийДля системы с входом (u), выходом (y) и возмущениями (w)ẋ = f (x, u, w), x ∈ Rn , u ∈ Rm , w ∈ Rq ,Σ:y = h(x), y ∈ Rp ,требуется найти такую динамическую обратную связьζ̇ = a(x, ζ, v),u = b(x, ζ, v),которая преобразует Σ в такую системуẋ = f x, b(x, ζ, v) ,ζ ∈ Rd , v ∈ Rp ,ξ˙ = a(x, ζ, v),y = h(x),что для i = 1, p выход yi и все его производные не зависят от w, ẇ, .

. . , w(j) , . . . .(9.8)379. ПРИМЕНЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ СИСТЕМПример 9.2.ẋ1ẋ2ẋ3ẋ4====u1x4 + u1x4 − x3 + wu2−→˙ξ = ϑ1u1 = ξu 2 = ϑ2 − ϑ1y1 = x1y2 = x2ẋ1 = ξ ẋ2 = x4 + ξẋ3 = x4 − x3 + wẋ4 = ϑ2 − ϑ1 ˙ξ = ϑ1 ÿ1 = ϑ1ÿ2 = ϑ2η̇ = ẏ2 − ẏ1 − η + wОбозначимE0 = spanF {dx},U = spanF {du(j) : j ≥ 0},Y = spanF {dy (j) : j ≥ 0}.Теорема 9.2. Задача изоляции возмущений разрешима ⇔ производная в силу системы каждого элемента модуля E0 ∩Y лежит в E0 +U, а значит, не зависит от возмущенийw.Алгоритм решения задачи изоляции возмущений.1. Для системы Σ с входом u и выходом y строим нормальную форму(j)y(j) = v(j) ,j = 1, κ,η̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, .

. . , v (κ−1) , w, ẇ, . . . , w(κ−1) ),а также преобразование системы в нормальную форму.2. Если функции(i)v(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(i−1) ), i = 1, κ,не зависят от w, то соответствующая динамическая обратная связь решает задачу изоляции возмущений.Пример 9.3. Модель тележки с фиксированной задней осью ẋ = u1 cos(θ + ϕ)ż = u1 sin(θ + ϕ)y1 = xy2 = zθ̇ = u1 sin ϕ − wϕ̇ = u2 + w .10. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯИДЕНТИФИКАЦИЯ10.1. Задача параметрической идентификациии классический подход к ее решениюРассмотрим задачу построения математических моделей технических, физических, биологических и т.п. систем или процессов по данным наблюдениz.

Предположим известно,что модель есть динамическая система с выходом, но неизвестны значения некоторых параметров θ = (θ1 , . . . , θk ) этой системы:ẋ = f (t, x, θ), x ∈ Rn ,y = h(x), y ∈ Rp ,(10.1)(10.2)где t — время, x = (x1 , . . . , xn ) — состояние системы, y = (y1 , . . . , yp ) — измеряемый выход,а ẋ ≡ dx/dt. Для достоверности математической модели необходимо, что бы результаты, полученные с ее помощью, совпадали с результатами полученными из эксперимента.Задача параметрической идентификации заключается в нахождение таких численныхзначений параметров θ, что значения функций выхода y(t), полученные из модели (10.1)–(10.2) с данными θ и из эксперимента, были максимально близки.Точного совпадения этихзначений получить обычно не удается из-за неточности модели и из-за неточности вычислений.Система (10.1)–(10.2) называется идентифицируемой, если по измерениям выходов yсистемы можно определить ее параметры θ.Один из хорошо известных подходов к решению этой задачи основан на нахожденияминимума некоторого целевого функционала, относительно невязки ε(t, θ̂) = y(t) − ŷ(t, θ̂),вычисляемой как разность наблюдаемых значений объекта (y(t)) и значений (ŷ(t, θ̂)) выходов математической модели при наборе параметров θ̂, например:ZTθ = arg minθ̂kŷ(t, θ̂) − y(t)k2 dt,0где T — длительность эксперимента.

Минимум данного функционала означает, что соответствующие значения параметров подобраны наиболее точно для выбранной модели.Схема этого процесса параметрической идентификации представлена на рисунке 10.1.Данный подход имеет несколько существенных недостатков. Одним из них являетсянеобходимость на каждом шаге процесса оптимизации решать систему уравнений (10.1)для определения значения выхода (10.2) на определенном наборе параметров θ̂.3910.

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯРис. 10.1. Классический подходРис. 10.2. Метод обращения10.2. Параметрическая идентификацияс использованием обратимых системСистема (10.1)–(10.2) не имеет входов. Ее нормальная форма также не имеет входов, азначит, есть вида (см.

(5.1))(j)y[j]= Gj (ỹ, θ),j = 0, κ + 1,(10.3)η̇ = ϕ(η, ỹ, θ).(1)(κ)где ỹ = (y[1] , . . . , y[κ+1] , y[2] , . . . , y[κ+1] ). Правые части уравнений зависят от выбора параметров θ, так как от θ зависит исходная система (10.1)–(10.2). Вводя входы как v[j] =(j)y[j] − Gj (ỹ), j = 1, κ + 1, получаем обратимую систему (см. теорему 5.3). Если параметрыθ таковы, что выход ŷ(t, θ) системы (10.1)–(10.2) совпадает с наблюдаемыми значениямиy(t), то функция y(t) удовлетворяет системе (10.3). Поэтому решаем задачу параметрической идентификации, минимизируя функционал отклонения входов v = (v[1] , . . .

, v[κ+1] ) от0:ZT Xκ+1 2 (j)(10.4)y[j] (t) − Gj (ỹ(t), θ̂) dt,0j=1(j)где y[j] (t) — производная порядка j функции y[j] (t), полученной экспериментально. Схемаэтого метода решения задачи идентификации параметров представляется рисунком 10.2.Для случая системы с входом, выходом и параметрами:ẋ = f (t, x, u, θ), x ∈ Rn ,y = h(x), y ∈ Rp ,u ∈ Rm ,(10.5)(10.6)задача параметрической идентификации заключается в нахождение численных значенийпараметров θ по значениям выходов y и входов u.Эта задача также может быть решена методом обращения.

А именно, преобразуемсистему (10.5) к видуẋ = f (t, x, u, θ),u̇ = w,(10.7)где (x, u) — состояние системы, w — вход. Применяя приведенный в разделе 5.2 алгоритмк системе (10.7) с выходом (y, u), где y = h(x), находим ее нормальный вид (5.1) с функциями ϕ и Gj , j = 1, κ + 1, зависящими от параметров θ. Минимизируемый функционалв этом случае имеет вид!ZT Xκ+1 κ 2 X2 (j) (j)(10.8)y[j] (t) − Gj (ỹ(t), θ̂) +y(j) (t) − v(j) dt,0j=1j=110. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ40где v(j) — функции от ỹ(t), u(t), u̇(t), .

. . , u(κ−1) (t), θ̂, полученные из преобразования (5.2) иобратного преобразования к (5.2).Отметим, что и в случае системы (10.1)–(10.2), и в случае системы (10.5)–(10.6) функционалы (10.4) и (10.8) характеризуют невязку уравнений, которым должны удовлетворять функции выхода y(t) (в случае системы (10.5)–(10.6) — это часть набора функций(y(t), u(t))). Остальные уравнения системы (5.1) не учитываются функционалом, так какони не дают никаких ограничений на полученные экспериментально данные, посколькузначения η определяются только этими уравнениями.Задача.

Найдите функционал вида (10.8) для системы вход–выход с положительнымипараметрами θ1 , . . . , θ6 :C − [x1 + x2 ]x 1 − θ1 x 1 x 3 ,Cθ1 x1 x3 − θ2 x2 − u,θ3 x 2 − θ4 x 3 − θ1 x 1 x 3 ,θ5 x 2 + θ4 x 3 ,x3 ,x4 .ẋ1 = θ6ẋ2ẋ3ẋ4y1y2=====Новый подход лишен упомянутого недостатка классического подхода, т.е. решать систему нелинейных дифференциальных уравнений на каждом шаге оптимизации нет необходимости. Однако он имеет свои недостатки. Основным из них является необходимостьнахождения производных от выходов системы и дальнейшее оперирование с найденнымипроизводными.10.3.

Численное дифференцированиеВыходы системы y(t) определяются экспериментально, а значит, с ограниченной точностью. Векторную функцию y(t) можно представить себе как сумму точного значения ислучайного шума ω(t), вызванного неточностью эксперимента. Хорошо известно [4], чтозадача численного нахождения производных является некорректно поставленной. Так жеизвестны оценки, позволяющие судить о влиянии шума в изначальных данных на результаты операции численного дифференцирования разностными методами: эксперименты показывают, что ошибка (шум) возрастает приблизительно в 100 раз.В качестве примера рассмотрим численное нахождение производной от функции y =sin(t), искаженной аддитивным гауссовым шумом с нулевым средним значением и дисперсией σ = 0.01. Пусть функция задана на сетке t ∈ [0, 6π] с шагом h = 0.01.

Исходнаяфункция и найденная по разностной формуле производная, вместе с точным значениемпроизводной изображены на рисунке 10.3.Хорошо видно, что применение разностных формул значительно усиливает искажениеданных. Таким образом, даже небольшой шум ω(t) может сделать невозможным нахождение производных y(t), не говоря уже о дальнейшем использовании этих данных.В последние годы был предложен метод [16, 17], позволяющий восстанавливать численное значение производных и подавлять шум любого характера.

Новый подход основан наоперационном исчислении и дает следующие оценки для производных по наблюдаемымзначений функций#Z1 "Xqn d1nγknl ,µl λl n ωk,µx(t − T1 τ )dτx(n) (t, k, µ, q) = nT1dτl=004110. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯРис. 10.3. Усиление шума при применении разностных формул.где T1 — продолжительность наблюдений, k, µ, q ∈ N0 — параметры метода (хорошиерезультаты получаются при k = 1, µ = 1, q = 0 или q = 1),kl = k + q − l, µl = µ + l,γknl ,µl =(2n + 1 + kl + µl )!,(kl + n)!(µl + n)!nωk,µ= τ k+n (1 − τ )µ+n ,λ0 , . .

. , λq — вычисляемые коэффициенты: λ0 = 1 при q = 0, и λ0 = −n−k −1, λ1 = n+k +2при q = 1 (подробности см. в [16]). Приведенная формула дает хорошие результаты вслучае оценки производных первого и второго порядка.11. МЕТОД НАКРЫТИЙДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ11.1. Описание метода накрытийДля демонстрации идеи метода рассмотрим плоскую системуẋ = f (t, x, u),x ∈ X ⊂ R2 ,u ∈ U ⊂ R.Как известно (см.

Характеристики

Список файлов лекций