DGM_FN12 (1172052), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕИ ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ7.1. Понятие динамической обратной связиРассмотрим систему с управлением видаẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn , u ∈ Rm .(7.1)Динамической обратной связью системы (7.1) называют обратную связь видаξ˙ = a(t, x, ξ, v),u = b(t, x, ξ, v),ξ ∈ Rd , v ∈ Rm ,(7.2)с состоянием ξ, входом (x, v) и выходом u. Область пространства с координатами t, x, ξ, v,где определены функции a и b, называют областью определения, а число d — размерностью динамической обратной связи (7.2).Динамическую обратную связь (7.2) можно понимать как преобразование системы (7.1)в системуẋ = f t, x, b(t, x, ξ, v) ,ξ˙ = a(t, x, ξ, v)(7.3)с состоянием (x, ξ) ∈ Rn+d и управлением (входом) v.
Второе равенство в (7.2) определяетотображение из множества решений системы (7.3) в множество решений системы (7.1).Алгоритм построения динамической обратной связи, преобразующей систему в нормальную форму.1. Для системы Σ с m = p = ρ строим нормальную форму(j)y(j) = v(j) ,j = 1, κ,η̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, . . .
, v (κ−1) )(7.4)и обратимое преобразование(j)(j)y = h(x), y(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(j−1) ),(i)η = η(x), v(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(i−1) ), i = 1, κ,j = 1, i − 1,(7.5)преобразующее систему Σ в нормальную форму (7.4).2. Находим обратное преобразование к преобразованию (7.5). Можно показать, чтофункция ϕ из системы (7.4) зависит только от η, ŷ = (y, ẏ, . . . , y (κ−1) ) и w = y (κ) , при этомỹ, v(1) , . . . , v(κ−1) — подмножества набора ŷ, v(κ) — подмножество набора w, а обратноепреобразование имеет видx = X(η, ŷ),u = U (η, ŷ, w).(7.6)3. Выбираем функции ξ1 , .
. . , ξd переменных η, ŷ так, чтобы матрица Якоби ∂(ξ, x)/∂(η, ŷ)была квадратной и невырожденной.4. Выражаем производные ξ˙1 , . . . , ξ˙d этих функций в силу системы (7.4) через η, ŷ и w.7. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ265. В полученных выражениях для ξ˙1 , . . . , ξ˙d и u1 , . . . , um переходим от переменныхη, ŷ, w к переменным ξ, x, w. Получаем динамическую обратную связьξ˙ = a(x, ξ, w),u = b(x, ξ, w),(7.7)которая в совокупности с (7.6) преобразует систему Σ в нормальную формуy (κ) = w,η̇ = ϕ(η, ŷ, w).Говорят, что система (7.1) линеаризуема динамической обратной связью (7.2) (илипросто динамически линеаризуема), если получающаяся с помощью этой связи система (7.3) преобразуется в эквивалентную систему вида(ni )yi= vi ,i = 1, .
. . , m,(7.8)обратимой заменой переменных видаt = t,(n −1)ỹ = Ỹ (t, x, ξ),v = v,(n −1)где ỹ = (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym m ) — состояние системы (7.8). В случае d = 0, т.е.когда ξ отсутствует, определение динамической линеаризуемости эквивалентно определению статической линеаризуемости.Теорема 7.1.1. Если система приводится к каноническому виду, то она динамически линеаризуема.2.
В случае одномерного управления (m = 1) система динамически линеаризуема тогда итолько тогда, когда она приводится к каноническому виду.В случае m > 1 существуют системы, которые динамически линеаризуемы, но неприводятся к каноническому виду.Пример 7.1. Системаẋ = u cos θ,ẏ = u sin θ,utg ϕθ̇ =l(7.9)не приводится к каноническому виду. Однако она динамически линеаризуема динамической обратной связьюξ˙ = v1 cos θ + v2 sin θ,u = ξ,l(v2 cos θ − v1 sin θ)ϕ = arctg.ξ2Получающаяся с помощью этой динамической обратной связи система вида (7.3) заменойпеременных y1 = x, y2 = y преобразуется в эквивалентную систему ÿ1 = v1 , ÿ2 = v2 . .Задача 7.1 Докажите, что система (7.9) не приводится к каноническому виду.7.
ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ277.2. Плоские системыПусть l — некоторое неотрицательное целое. Считая переменныеt, x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um , u̇1 , . . . , u̇m , ü1 , . . . , u(l)mнезависимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. Пусть O(l) — областьэтого пространства. Система (7.1) называется плоской в области O(l) , если на O(l) определены такие функцииy1 = h1 (t, x, u, u̇, .
. . , u(l) ),...,yr = hr (t, x, u, u̇, . . . , u(l) ),(7.10)что переменные x и u выражаются через t, функции (7.10) и их производные в силу системы (7.1) до какого–то конечного порядка, а любой конечный набор функций (7.10), ихпроизводных в силу системы (7.1) и функции t функционально независим. При этом наборфункций (7.10) называется плоским (или линеаризующим) выходом системы (7.1).Задача 7.2 Докажите, что система (7.8) плоская с плоским выходом (y1 , . . . , ym ).Теорема 7.2.
Линейная система плоская тогда и только тогда, когда она управляема.Доказательство этой теоремы следует из теоремы Бруновского, задачи 7.2 и инвариантности понятия плоской системы.Теорема 7.3. Регулярная система (7.1), приводящаяся к каноническому виду(ni )yi= gi (t, ỹ, u),i = 1, . .
. , m,заменой переменныхt = t,yi = Yi (t, x),ui = u i ,i = 1, . . . , m,является плоской с плоским выходом y1 = Y1 (t, x), . . . , ym = Ym (t, x)Задача 7.3 Докажите теорему 7.3, используя определения.Теорема 7.4. Если регулярная система (7.1) плоская, то ее управление и плоскийвыход имеют одинаковую размерность (r = m), а для любого i = 1, . . .
, m порядок старшей производной функции yi , входящей в выражение для u, на единицу больше порядкастаршей производной yi из выражения для x:(n1 −1)x = X(t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(n1 )u = U (t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(nm −1), y2 , . . . , y m),(nm ), y2 , . . . , y m).(7.11)(7.12)Задачу проверки, является ли заданный набор функций плоским выходом, решает следующаяТеорема 7.5. Пусть система (7.1) регулярная.1) Если в области O(l) существуют такие r = m функций (7.10), что переменные состояния x1 , .
. . , xn выражаются через t, функции y1 , . . . , ym и их производные в силу системы (7.1) до какого-то конечного порядка, то система (7.1) плоская в области O(l) , афункции y1 , . . . , ym образуют ее плоский выход.287. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫ2) Если векторная функция y = (y1 , . . . , ym ) вида (7.10) такова, что переменные x состояния системы (7.1) не выражаются через t, y, ẏ, . . . , y (K) при K = n + (m − 1)l − 1, то xнельзя выразить через t, y, ẏ, . .
. , y (k) ни для какого k, т.е. y не является плоским выходомсистемы (7.1).Полученную в теореме оценку для K нельзя улучшить. А именно, для любых n, m, lможно построить примеры плоских систем и плоских выходов, для которых K будет равенуказанной в теореме оценке.Пример 7.2.Система (7.9) регулярная и плоская в области {u 6= 0} с плоскимвыходом y1 = x, y2 = z. Плоскостность следует из утверждения 1) теоремы 7.5, так какu2 = ẏ12 + ẏ22 , а при ẏ12 + ẏ22 6= 0 имеемx = y1 ,z = y2 ,θ = arctgẏ2,ẏ1когда ẏ1 6= 0,и θ = arcctgẏ1,ẏ2когда ẏ2 6= 0.Теорема 7.6.
Система плоская тогда и только тогда, когда существует такой выходy, что1) y зависит от x, u и конечного числа производных u;2) система наблюдаема относительно y;3) соответствующая система вход-выход обратима справа и слева.7.3. Построение динамической обратнойсвязи, линеаризующей плоскую системуКаждое решение системы вида (7.8) однозначно определяется функциями y1 (t), . . . ,(n )ym (t), которые могут быть выбраны произвольными (vi (t) = yi i (t)).
Таким образом, соотношения (7.10) при r = m определяют отображение из множества решений системы (7.1)во множество решений системы (7.8). Это отображение есть биекция, если (7.10) – плоский выход системы (7.1). Действительно, сюръективность этого отображения следует изфункциональной независимости любого конечного набора функций (7.10), их производныхи t, а соотношения (7.11) и (7.12) задают обратное отображение.Теорема 7.7.Пусть в области O(l) регулярная система (7.1) плоская с плоскимвыходом (7.10) и имеет место равенство (7.11). Тогда в окрестности любой точки θl ∈O(l) существует динамическая обратная связь размерности d = n1 + . .
. + nm − n, котораялинеаризует систему (7.1).Динамическая обратная связь, линеаризующая плоскую систему, может быть построена с помощью следующего алгоритма.Пусть функции (7.10) образуют плоский выход системы (7.1) и выполняются соотношения (7.11).(n −1)(n −1)1.
Выберем функции ξ1 , . . . , ξd переменных t, ỹ = (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym m ) так,чтобы матрица Якоби ∂(ξ, X)/∂ ỹ была квадратной и невырожденной.2. Выразим производные ξ˙1 , . . . , ξ˙d этих функций в силу системы (7.1) и функции(n )u1 , . . . , um через t, ỹ и v = (v1 , . . .
, vm ), где vi = yi i , i = 1, m.3. В полученных выражениях для ξ˙1 , . . . , ξ˙d и u1 , . . . , um перейдем от переменных t, ỹ, vк переменным t, ξ, x, v. Получим линеаризующую динамическую обратную связь.Пример 7.3. Переменные состояния системы (7.9) выражаются через t, ỹ = (y1 , y2 , ẏ1 , ẏ2 ).Поэтому n1 = n2 = 2, d = 1. Выберем функцию ξ переменных t, ỹ так, чтобы переход от297. ДИНАМИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗУЕМЫЕ И ПЛОСКИЕ СИСТЕМЫpпеременных t, x, z, θ, ξ к переменным t, ỹ был обратим. Положим ξ = ẏ12 + ẏ22 . Тогда˙ u, ϕ через t, ỹ, ÿ1 , ÿ2 .ẏ1 и ẏ2 выражаются через θ и ξ: ẏ1 = ξ cos θ, ẏ2 = ξ sin θ. Выразим ξ,В случае u > 0 получаем:q˙ξ = ÿ1 ẏ1 + ÿ2 ẏ2 , u = ẏ 2 + ẏ 2 , ϕ = arctg l(ÿ2 ẏ1 − ÿ1 ẏ2 ) .21(ẏ12 + ẏ22 )1/2(ẏ12 + ẏ22 )3/2Переходя к переменным t, x, z, θ, ξ, v1 = ÿ1 , v2 = ÿ2 , получаем линеаризующую динамическую обратную связьu = ξ,ϕ = arctgl(v2 cos θ − v1 sin θ),ξ2ξ˙ = v1 cos θ + v2 sin θс областью определения {u 6= 0}.
Обратное отображение из множества решений системы (7.9) во множество решений линейной системы ÿ1 = v1 , ÿ2 = v2 имеет видt = t y1 = x,y2 = z,v1 = u̇ cos θ −u2tg ϕ sin θ,lv2 = u̇ sin θ +u2tg ϕ cos θ.lЗамечание 1. Из соотношений (7.11) и (7.12) следует, что состояние x плоской системы (7.1) выражается через время t и состояние ỹ линейной системы (7.8), а управление u –через t, ỹ и управление v системы (7.8). Однако обратное отображение может не обладатьэтим свойством, т.е. выражения для ỹ, v могут содержать t, x, u и производные u̇, .
. . , u(k)до некоторого порядка k. Так, в рассматриваемом выше примере управление (v1 , v2 ) линейной системы выражается через состояние θ, управление (u, ϕ) и производную u̇. Таким образом, чтобы представить преобразование плоской системы (7.1) к виду (7.8) какобратимое отображение областей пространств, необходимо рассматривать пространствабесконечной размерности, координатами которых являются время, состояния, управлениеи все производные управления.8. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙОБРАТНОЙ СВЯЗИ8.1. Решение задач терминальногоуправления и стабилизацииРассмотрим механическую систему, описываемую системой (7.1). Предположим, мынашли функцию управления u∗ (t), которая позволяет нам следовать выбранной траектории x∗ (t).
Но какие–либо случайные внешние воздействия, не учитываемые системой (7.1),изменили функцию состояния системы на x(t), причем x(t0 ) 6= x∗ (t0 ) в некоторый моментt = t0 . В этом случае для возвращения на заданную траекторию x∗ (t) управление выбирается как решение задачи стабилизации.В классической формулировке эта задача заключается в поиске такой обратной связиu = U (t, x), что x = x∗ (t) есть асимптотически устойчивоерешение системы обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f t, x, U (t, x) . Динамический вариант формулировки требует найти такую динамическую обратную связь (7.2) и векторную функциюv = V (t, x, ξ), чтобы для некоторой векторной функции ξ∗ (t) набор x∗ (t), ξ∗ (t) был асимптотически устойчивым решением системыẋ = f t, x, b t, x, ξ, V (t, x, ξ) ,ξ˙ = a t, x, ξ, V (t, x, ξ) .(8.1)Для возвращения на заданную траекторию x∗ (t) в описанной выше ситуации управление вычисляется по формулеu = b t, ξ(t), x(t), V t, x(t), ξ(t) ,где x(t) — состояние системы в момент t, а ξ(t) есть решение системы обыкновенныхдифференциальных уравненийξ˙ = a t, ξ, x(t), V t, x(t), ξс начальным условием ξ(t0 ) = ξ∗ (t0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
