DGM_FN12 (1172052), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда в случае отсутствия внешних воздействий приt > t0 функция состояний x(t) вместе с функцией ξ(t) образуют решение системы (8.1),которое в случае близости x(t0 ) к x∗ (t0 ) стремится к решению x∗ (t), ξ∗ (t) при t → ∞ ввиду устойчивости последнего. А значит, x(t) стремится к x∗ (t).Пусть система (7.1) линеаризуема динамической обратной связью (7.2) и для нее поставлена задача терминального управления:x(tн ) = xн ,x(tк ) = xк .(8.2)Покажем как решаются поставленные задачи для таких систем.
Рассмотрим системуẋ = f t, x, b(t, x, ξ, v) ,ξ˙ = a(t, x, ξ, v),(8.3)318. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИв которую преобразуется система (7.1) после применения динамической обратной связи (7.2). Для вектора ξ дополнительных переменных зададим произвольные (например,нулевые) начальное (ξн ) и конечное (ξк ) значения и рассмотрим для системы (8.3) задачутерминального управления:x(tн ) = xн ,ξ(tн ) = ξн ,x(tк ) = xк ,ξ(tк ) = ξк .(8.4)По определению динамической линеаризуемости система (8.3) обратимой заменой переменных видаt = t, ỹ = Ỹ (t, x, ξ), v = v(8.5)преобразуется в эквивалентную систему(ni )yi= vi ,i = 1, .
. . , m.(8.6)Применяя преобразование (8.5), получаем для системы (8.6) задачуỹ(tн ) = Ỹ (tн , xн , ξн ),ỹ(tк ) = Ỹ (tк , xк , ξк ).(8.7)Решение этой задачи и соответствующейзадачи стабилизации хорошо известно. Например, существует решение y∗ (t), v∗ (t) системы (8.6), удовлетворяющее условиям (8.7),в виде многочленов по t:yi,∗ (t) =2ni −1Xai,s ts ,vi,∗ (t) = (y∗,i (t))(ni ) ,i = 1, .
. . , m,(8.8)s=0где коэффициенты {ai,s } находятся из системы уравнений (8.7). Эта система состоитиз линейных уравнений на {ai,s }, и в случае tк 6= tн матрица системы невырожденна.Поэтому система имеет единственное решение.Применяя замену переменныхt = t,x = X(t, ỹ),ξ = Ξ(t, ỹ),v = v,(8.9)обратную к замене (8.5), получаем из решения y∗ (t), v∗ (t) решение x∗ (t), ξ∗ (t), v∗ (t)системы (8.3). Это решение удовлетворяет условиям (8.4) в виду взаимной обратимостизамен (8.5) и (8.9).
Таким образом, зависимостьu∗ (t) = b t, ξ∗ (t), x∗ (t), v∗ (t) , t ∈ [tн , tк ],решает задачу терминального управления (8.2).Для решения соответствующей задачи стабилизации построим обратную связьi −1(ni ) nX(j) (j)vi = y∗,i (t)+γi,j yi − y∗,i (t),i = 1, . . . , m,(8.10)j=0где постоянные коэффициенты γi,j находятся из условия асимптотической устойчивостиследующей линейной системы дифферениальных уравнений(n )ei i=ni −1Xj=0(j)γi,j ei ,i = 1, . . .
, m.328. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИОбратная связь (8.10) дает решение задачи стабилизации системы (8.6), так как получающаяся с помощью нее система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид(ni )yii −1(n ) nX(j) (j)= y∗,i (t) i +γi,j yi − y∗,i (t),i = 1, . . . , m,(8.11)j=0а значит, y∗ (t) есть асимптотически устойчивое решение этой системы.Обозначим через v = V (t, ỹ) функцию (8.10). Замена переменныхt = t,x = X(t, ỹ),ξ = Ξ(t, ỹ),полученная из замены(8.9) удалением v, преобразует решение y∗ (t) системы (8.11) в решение x∗ (t), ξ∗ (t) системыẋ = f t, x, b t, x, ξ, V (t, Y (t, x, ξ)) ,ξ˙ = a t, x, ξ, V t, Y (t, x, ξ) .Примеры показывают (см. [13] и ссылки там), что очень часто решение x∗ (t), ξ∗ (t) последней системы тоже асимптотически устойчиво.
Вэтом случае динамическая обратнаясвязь (7.2) и векторная функция v = V t, Y (t, x, ξ) решают задачу стабилизации длясистемы (7.1). При этом подбор коэффициентов γi,j в (8.11) позволяет регулировать скорость возвращения системы на заданную траекторию x∗ (t).8.2. Управление движениемсамолета вертикального взлетаРассмотрим движение самолета вертикального взлета на этапе выполнения предпосадочных маневров. Используем упрощенную модель [13], которая учитывает только движение в вертикальной плоскости, перпендикулярной продольной оси.
Это движение описывает система уравненийẍ = u1 sin θ − εu2 cos θ,z̈ = u1 cos θ + εu2 sin θ − 1,θ̈ = u2 ,(8.12)где x и z — нормированные координаты самолета по горизонтальной и вертикальной осямсоответственно, θ — угол крена, vx , vz , vθ — соответствующие скорости, u1 — управление,пропорциональное общей тяге двигателей, u2 — управление, пропорциональное разноститяг двух двигателей, ε — малая константа. Вектор с координатамиx, vx = ẋ, z, vz = ż, θ, vθ = θ̇задает состояние системы, вектор (u1 , u2 ) — ее управление.Система (8.12) регулярна во всем пространстве, а в точках, где vθ 6= 0 и u1 − εvθ2 6= 0,она плоская, и функцииy1 = x + ε sin θ,y2 = z + ε cos θ338.
МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИобразуют ее плоский выход. Действительно, в указанных точках имеемÿ1x = y1 − ε p(ÿ1z = y2 − ε p)2+ (ÿ2 + 1)2ÿ2 + 1(ÿ1 )2 + (ÿ2 + 1)2ÿ1.θ = arctgÿ2 + 1,,Так как vx , vz , vθ — производные в силу системы (8.12) функций x, z, θ соответственно,то переменные vx , vz , vθ также выражаются через y1 , y2 и их производные. Плоскостностьсистемы (8.12) следует из теоремы 7.5.Итак, переменные состояния системы (8.12) выражаются через t, ỹ = (y1 , y2 , ẏ1 , ẏ2 , ÿ1 ,... ...ÿ2 , y 1 , y 2 ). Выберем такие две функции ξ1 , ξ2 переменных t, ỹ, чтобы переход от переменных t, x, z, θ, vx , vz , vθ , ξ1 , ξ2 к переменным t, ỹ был обратим.
Положим:pξ1 = (ÿ1 )2 + (ÿ2 + 1)2 ,ξ2 = ξ˙1 .Тогда ÿ1 и ÿ2 выражаются через θ и ξ1 :ÿ1 = ξ1 sin θ,ÿ2 = −1 + ξ1 cos θ,... ...и, значит, y1 , y2 выражаются через x, z, θ, ξ1 , а ẏ1 , ẏ2 , y 1 , y 2 — через производные полу(4)(4)ченных выражений для y1 , y2 , ÿ1 и ÿ2 . Выражая ξ˙1 , ξ˙2 , u1 , u2 через t, ỹ, v1 = y1 , v2 = y2 , апотом переходя к переменным t, ξ, x, v, получаем динамическую обратную связьξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = v1 sin θ + v2 cos θ + vθ2 ξ1 ,u1 = ξ1 + εvθ2 ,1u2 =(v1 cos θ − v2 sin θ − 2vθ ξ2 ) ,ξ1которая линеаризует систему (8.12).С целью демонстрации изложенного выше метода положим ε = 1 и решим следующуюзадачу терминального управления для системы (8.12):x(0) = 10, z(0) = 5,θ(0) = 0,vx (0) = −10,vz (0) = −5, vθ (0) = 0,x(1) = 0,z(1) = 0,θ(1) = 0,vx (1) = −10, vz (1) = −5, vθ (1) = 0.(8.13)Начальные и конечные значения дополнительных переменных ξ1 , ξ2 зададим следующимобразом:ξ1 (0) = 1 = ξ1 (1),ξ2 (0) = 0 = ξ2 (1).Тогда соответствующая задачавид:y1 (0) = 10,ÿ1 (0) = 0,y1 (1) = 0,ÿ1 (1) = 0,терминального управления для линейной системы имеетy2 (0) = 6,ÿ2 (0) = 0,y2 (1) = 1,ÿ2 (1) = 0,ẏ1 (0) = −10,...y 1 (0) = 0,ẏ1 (1) = −10,...y 1 (1) = 0,ẏ2 (0) = −5,...y 2 (0) = 0,ẏ2 (1) = −5,...y 2 (1) = 0.348.
МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИРешение этой задачи в пространстве многочленов порядка 7 естьy∗,1 (t) = −10t + 10,y∗,2 (t) = −5t + 6.Для решения соответствующей задачи стабилизации рассмотрим следующую устойчивуюсистему дифферениальных уравнений...(4)ei = −4 e i − 6ëi − 4ėi − ei ,i = 1, 2.Соответствующая стабилизирующая обратная связь имеет вид...v1 = −4 y 1 − 6ÿ1 − 4(ẏ1 + 10) − (y1 + 10t − 10),...v2 = −4 y 2 − 6ÿ2 − 4(ẏ2 + 5) − (y2 + 5t − 6).Возвращаясь к системе (8.12) с ε = 1, получаем решение u1 = 1, u2 = 0 задачи (8.13) ирешение задачи стабилизации:ξ˙1 = ξ2 ,ξ˙2 = ξ1 vθ2 − 6 − 4ξ2 − 1 − sin θ(4vx + x + 10t + 30) −− cos θ(4vz + z + 5t + 8),2u1 = ξ1 + vθ ,vθξ2 vθ cos θu2 = −4vθ − 4 − 2−(4vx + x + 10t + 30) +ξ1ξ1ξ1sin θ+(4vz + z + 5t + 8).ξ1При этом желаемая траектория естьx∗ (t) = −10t + 10,z∗ (t) = −5t + 5,θ∗ (t) = 0.9. ПРИМЕНЕНИЯНОРМАЛЬНЫХ ФОРМ СИСТЕМ9.1.
Построение динамической обратной связиРассмотрим системуẋ = f (x, u), x ∈ Rn , u ∈ Rm ,y = h(x), y ∈ Rm ,(9.1)размерноость входа (u) и выхода (y) которой равны рангу системы: ρ = m = p. Применяяалгоритм из п. 5.2, построим для системы (9.1) нормальную форму. Так как размерностьвхода и выхода совпадают с рангом системы, то переменные y[0] , . .
. , y[κ+1] , v# (см. п. 5.2)отсутствуют, нормальная форма имеет вид(j)y(j) = v(j) ,j = 1, κ,η̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, . . . , v (κ−1) ),(9.2)а соответствующее обратимое преобразование системы (9.1) в нормальную форму (9.2) —вид(j)(j)y = h(x), y(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(j−1) ),(i)η = η(x), v(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(i−1) ),i = 1, κ,j = 1, i − 1.(9.3)Можно показать, что функция ϕ из системы (9.2) зависит только от η, ŷ = (y, ẏ, .
. .,y) и ϑ = y (k) , наборы ỹ, v(1) , . . . , v(k−1) есть части набора ŷ, v(k) — часть набора ϑ, аобратное преобразование к преобразованию (9.3) имеет вид(k−1)x = X(η, ŷ),u = U (η, ŷ, ϑ).(9.4)Алгоритм построения динамической обратной связи, преобразующей системув нормальную форму при ρ = p = m.1. Для системы (9.1) строим нормальную форму (9.2).2. Выбираем векторную функцию ξ переменных η, ŷ так, чтобы матрица Якоби∂(ξ, X)/∂(η, ŷ) была квадратной и невырожденной. Тогда функции ξ и X определяютобратимую замену переменных (η, ŷ) → (x, ξ), обратная к которой имеет видη = η(x),ŷ = Y (x, ξ).(9.5)3.
Выражаем производную ξ˙ функции ξ в силу системы (9.2) через η, ŷ и ϑ.4. В полученных выражениях для ξ˙ и u переходим от переменных η, ŷ, ϑ к переменнымξ, x, ϑ. Получаем динамическую обратную связьξ˙ = a(x, ξ, ϑ),u = b(x, ξ, ϑ),(9.6)которая в композиции с (9.5) преобразует систему (9.1) в нормальную формуy (k) = ϑ,η̇ = g(η, ŷ, ϑ).(9.7)369.
ПРИМЕНЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ СИСТЕМ9.2. Задача автономного регулированияДля системы с входом (u) и выходом (y)ẋ = f (x, u), x ∈ Rn , u ∈ Rm ,Σ:y = h(x), y ∈ Rp ,требуется найти динамическую обратную связьζ̇ = a(x, ζ, v),u = b(x, ζ, v),которая преобразует Σ в такую системуẋ = f x, b(x, ζ, v) ,ζ ∈ Rd , v ∈ Rp ,ξ˙ = a(x, ζ, v),y = h(x),(j)что для всех i = 1, p выход yi и все его производные зависят только от x, ζ, vi , v̇i , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
