DGM_FN12 (1172052), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Такое уравнение имеет реализацию, которая является управляемой и наблюдаемой линейной стационарной системой. Ее называют минимальной реализацией уравнения (6.1) отображения вход – выход.Определения редукции и минимальной реализации в нелинейном случае мотивируютсяследующими соображениями. Пусть введенные выше многочлены имеют видE(q) = q α + eα−1 q α−1 + . . .
+ e0 ,ОбозначимA0 (q) = q β + a0β−1 q β−1 + . . . + a00 ,B0 (q) = b0γ q γ + . . . + b00 .g = y (β) + a0β−1 y (β−1) + . . . + a00 y − b0γ u(γ) − . . . − b00 u.Тогда редукция уравнения (6.1) представляется в виде g = 0, а само уравнение (6.1) — ввиде αdα−1d+ eα−1 α−1 + . . . + e0 (g) = 0.(6.2)dtαdtОтметим, что уравнение (6.1) и его минимальная реализация не эквивалентны. Действительно, редукция g = 0 уравнения (6.1) не эквивалентна уравнению (6.2), так каксреди решений уравнения (6.2) есть решения, для которых g 6≡ 0. С другой стороны,редукция эквивалентна минимальной реализации, а уравнение (6.2) — уравнению (6.1).Уравнение (6.1) и его редукция g = 0 вместе с нулевыми начальными условиямиy(0) = ẏ(0) = . .
. = y (k−1) (0) = 0(6.3)определяют отображения входа в выход. Эти отображения различны, так как существуюттакие решения уравнения (6.2), которые удовлетворяют начальным условиям (6.3), но неудовлетворяют уравнению g = 0.226. МИНИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯОднако если рассматривать уравнение (6.1) и его редукцию g = 0 вместе с нулевыминачальными условиями и на y, и на u:y(0) = ẏ(0) = . . . = y (k−1) (0) = 0,u(0) = .
. . = u(s−1) (0) = 0.(6.4)то их множество решений будет совпадать, так как для всех таких решений g ≡ 0. Действительно, пусть (y(t), u(t)) — какое–либо решение уравнения (6.1), удовлетворяющееначальным условиям (6.4), g(t) — значение функции g на этом решении. Уравнение (6.1)представляется в виде (6.2), а значит, g — решение этого уравнения, причем g(0) = 0, таккак решение (y(t), u(t)) удовлетворяет начальным условиям (6.4). Из теоремы единственности решения задачи Коши для линейного уравнения получаем g ≡ 0.Таким образом, уравнение (6.1) и его минимальная реализация задают разные отображения вход – выход, если расматривать начальные условия только на y, и одинаковыеотображения вход – выход, если расматривать нулевые начальные условия и на y, и на u(для уравнения (6.1) — условия (6.4), для минимальной реализации — им соответствующие).
Кроме того, если уравнение (6.1) имеет редукцию, то α > 0 в (6.2), и тогда dg ∈ H∞по определению H∞ . В случае α = 0 реализация уравнения (6.1) является минимальной,для такого уравнения H∞ = spanF {dt}, и по теореме 4.1 оно не имеет первых интегралов.6.2. Минимальные реализации нелинейных системПерейдем к общему (нелинейному) случаю. Напомним, что система (2.3) и ее реализация (2.4)–(2.5) определяют выход по входу при условии задании начальных значений выхода и переменных состояния соответственно. Обычно система (2.3) и ее реализация (2.4)–(2.5) рассматривается в окрестности какого–либо решения. В этом случае начальныезначения выхода и переменных состояния определяются этим решением (в линейном случае — это нулевое положение равновесия).Рассмотрим отображение вход – выход, заданное системой (2.3) и начальными условиями(l)yα(l) (t0 ) = yα,0 ,(k)(k)uβ (t0 ) = uβ,0 ,α = 1, p,l = 0, kα − 1,β = 1, m,k = 0, s − 1.
(6.5)Предположим, это же отображение задается другой системой вида (2.3) с теми же начальными условиями, но меньшего порядка. Тогда вторую систему называют редуцированнойсистемой или редукцией системы (2.3) отображения вход – выход с данными начальнымиусловиями.Минимальной реализацией системы (2.3) отображения вход – выход с начальными условиями (6.5) называют систему вида (2.4)–(2.5), которая не имеет первых интегралов и задает с учетом начальных условий на переменные x, u, u̇, .
. . , u(s−1) то же самое отображениевход – выход.Отметим, что минимальная реализация системы может не быть ее реализацией, таккак в случае реализации эквивалентны множества всех решений систем (2.3) и (2.4), ав случае минимальной реализации эквивалентны множества только тех решений этихсистем, которые удовлетворяют заданным начальным условиям.Минимальная реализация системы строится методом удаления первых интегралов.Алгоритм вычисления минимальной реализации.1.
Среди чисел от 1 до s + 1 находим максимальное k, для которого модуль Hk имеет базисиз точных 1-форм.2. Выбираем базис модуля Hk вида {dt, dg1 , . . . , dgρ , dx1 , . . . , dxn }, где g1 , . . . , gρ — максимальный набор функционально независимых первых интегралов системы (2.3).236. МИНИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ3.
Находим систему вида (2.4)–(2.5), которой удовлетворяют функции x1 , . . . , xn . Дляэтого производные в силу системы (2.3) этих функций и переменные выхода y1 , . . . , yp выражаются через t, x, g, u, u̇, . . . , u(r0 ) . После этого в полученных выражениях переменныеg = (g1 , . . . , gρ ) заменяются на те значения соответствующих первых интегралов, которыеопределяются начальными условиями (6.5).4. Если посторенная система вида (2.4) не обладает первыми интегралами, то в совокупности с выражениями (2.5) и начальными условиями на переменные x, которые определяются начальными условиями (6.5), она представляет собой искомую минимальнуюреализацию.
Если же посторенная система имеет первые интегралы, то повторяем шаги1–3 применительно к этой системе. Для вычисления первых интегралов системы (2.4)можно применить теорему 4.1. Шаги 1–3 могут повторяться только конечное число раз,так как каждое повторение уменьшает порядок системы.Необходимо дать теоретическое обоснование этого алгоритма, т.е. показать, что каждый его шаг разрешим и результатом применения алгоритма является минимальная реализация системы.
Мы сделаем это в случае существования реализации вида (2.1)–(2.5).Теорема 6.1.Пусть в окрестности H–регулярной точки θ ∈ E уравнения (2.3)отображения вход – выход имеют реализацию вида (2.1)–(2.5), а(l)(k)t0 , yα,0 , uβ,0 ,α = 1, p,l = 0, kα − 1,β = 1, m,k = 0, k ∗ + s − 1,— координаты точки θ. Предположим также, что системы вида (2.4), которые получаются в процессе применения приведенного алгоритма, обладают свойством H–регулярностив точках, соответствующих θ. Тогда в некоторой окрестности точки θ каждый шаг приведенного алгоритма разрешим и результатом его применения является минимальная реализация системы (2.3) с начальными условиями (6.5).Доказательство. Из п. (a) теоремы 3.1 следует, что модуль Hs+1 в окрестности точкиθ имеет базис вида {dξ0 , .
. . , dξd }. А значит, шаг 1 алгоритма дает k = s + 1.Из п. (b) теоремы 4.1 следует, что в окрестности точки θ модуль H∞ имеет базис вида{dt, dg1 , . . . , dgρ }, где g1 , . . . , gρ — максимальный набор функционально независимых первых интегралов системы (2.3). Так как H∞ ⊂ Hs+1 (см. этап 1◦ доказательства п. (b)теоремы 4.1), то dg = Adξ, где dg и dξ — столбцы наборов 1–форм dt, dg1 , . . . , dgρ иdξ0 , . . . , dξd соответственно, а A — матрица функций. Ранг матрицы A в окрестноститочки θ максимален и равен ρ + 1, так как 1–формы dt, dg1 , .
. . , dgρ линейно независимы.Рассмотрим матрицу A в точке θ и какой–либо ее базисный минор в этой точке. Обозначимчерез x1 , . . . , xµ те функции набора ξ0 , . . . , ξd , которые соответствуют небазисным столбцам. Тогда 1–формы dt, dg1 , . . . , dgρ , dx1 , . . . , dxµ линейно независимы в точке θ, а значит,и в некоторой окрестности θ. Так как размерность модуля Hs+1 постоянна в окрестности точки θ и равна µ + ρ + 1, то указанный набор 1–форм образует базис модуля Hs+1 .Поэтому шаг 2 также разрешим.В качестве компонент векторной функции (3.1), которая определяет переход к реализации вида (2.1)–(2.5), можно взять функции, дифференциалы которых вместе с dt образуютбазис Hs+1 . В данном случае это функции g1 , .
. . , gρ , x1 , . . . , xµ . Так как g1 , . . . , gρ — первыеинтегралы, то(6.6)ġj = 0, j = 1, ρ.Остальные уравнения системы (2.1) имеют видẋi = fi (t, g, x, u),i = 1, µ.(6.7)246. МИНИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯТак как любой элемент Hs+1 по определению лежит в H1 , а значит, есть линейная комбинация базисных для H1 1–форм, то функции g1 , . . . , gρ , x1 , . . . , xµ зависят только от переменных (4.4). Поэтому начальные условия (6.5) преобразуются в начальные условияgj (t0 ) = gj,0 ,j = 1, ρ,xi (t0 ) = xi,0 ,uβ (t0 ) = uβ,0 ,(k)(6.8)(k)i = 1, µ,β = 1, m,k = 0, s − 1,(6.9)где gj,0 , xi,0 — значения функций gj , xi в точке θ. Из уравнений (6.6) следует, что функцииg1 , . .
. , gρ постоянны вдоль каждого решения системы (2.3). Поэтому на всех решенияхсистемы (2.3), удовлетворяющих начальным условиям (6.5), функции gj принимают значения (6.8). А значит, для описания всех таких решений достаточно рассмотреть систему,которая получается из системы (6.7) заменой g1 , . . . , gρ на их значения в точке θ. В выражениях (2.5) переменные g1 , . . . , gρ также заменяются на эти значения. Это доказываетразрешимость шага 3.Так как система (6.6)–(6.7) является реализацией системы (2.3), то она ей эквивалентна. А значит полученная из нее система задает с учетом начальных условий (6.9) то жесамое отображение вход – выход, что и система (2.3) с начальными условиями (6.5).
Поэтому если система (6.7) с постояными g не имеет первых интегралов, то она в совокупностис выражениями (2.5) и начальными условиями (6.9) является минимальной реализацией.Если же система (6.7) с постояными g имеет первые интегралы, то она в совокупностис выражениями (2.5) представляет собой свою реализацию требуемого вида, а значит,условия теоремы выполняются и для этой системы. Как только что мы доказали, шаги1–3 могут быть повторены. Это завершает доказательство теоремы.Пример 1. Найдем минимальную реализацию отображения входа в выход, заданногосистемойÿ1 = y2 + u1 y2 + u2 , ÿ2 = 2y2 ẏ1 + 2u1 y2 ẏ1 − 2u̇2 y1 .Имеем k1 = k2 = 2, s = 1, а g = ẏ12 − ẏ2 − 2u2 y1 — первый интеграл системы. Минимальнаяреализация есть системаẋ1 = x2 ,ẋ2 = x3 + u1 x3 + u2 ,ẋ3 = x22 − 2u2 x1с выходомy1 = x1 ,y2 = x 3 .7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
