DGM_FN12 (1172052), страница 2
Текст из файла (страница 2)
h1 не зависит от переменных состояния, то k1 = 0, иначе k1 равноЕсли ∂h∂xнаименьшему значению j при котором(j−1)rang∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1∂x)(j−1)= rang∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1∂x(j), h1 ).Аналогично, последовательно для i = 2, . . . , p, если(k −1)rang∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1 1(k−1)i−1, . . . , hi−1 , ḣi−1 , . . .
, hi−1)=∂x(ki−1 −1)(k −1)∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1 1 , . . . , hi−1 , ḣi−1 , . . . , hi−1, hi )= rang,∂xто ki = 0, иначе ki равно наименьшему значению j, при котором(k −1)(k∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1 1−1)(j−1)i−1, . . . , hi−1 , ḣi−1 , . . . , hi−1, hi , ḣi , . . . , hi)rang=∂x(ki−1 −1)(k −1)(j−1)(j)∂(h1 , ḣ1 , . . . , h1 1 , . .
. , hi−1 , ḣi−1 , . . . , hi−1, hi , ḣi , . . . , hi, hi )= rang. (2.10)∂xПри вычислении производных по времени функций hi могут появляться производныеуправлений до порядка S > s. Эти производные управлений рассматриваются как новыепеременные. Равенства рангов матриц Якоби предполагаются выполненными в некоторомоткрытом подмножестве Ũ изменения всех переменных x, u, u̇, . . .
, u(S) ∈ RN , N = n+m(S+1). В результате получаем вектор – функцию(k −1)H = (h1 , ḣ1 , . . . , h1 1тp −1), . . . , hp , ḣp , . . . , h(k)p72. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПИСАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМразмерности k = k1 + . . . + kp , координатными функциями который являются только те hiи их производные, для которых ki > 0.В множестве Ũ ранг матрицы Якоби ∂H/∂x равен k. Если k < n, то существуют n − kтаких гладких функций h̃k+1 (x), .
. . , h̃n (x), что в некотором открытом множестве U ⊂ Ũранг матрицы Якоби n-мерной вектор – функции(k −1)H̃ = (h1 , ḣ1 , . . . , h1 1p −1), h̃k+1 (x), . . . , h̃n (x)), . . . , hp , ḣp , . . . , h(kpотносительно переменных x равен n. Следовательно, в некоторой окрестности любой точки из множества U для системы(k −1)(k −1)y1 = h1 (x, u · · ·), ẏ1 = ḣ1 (x, u · · ·), . . . , y1 1= h1 1 (x, u · · ·),(k −1)(k −1)y2 = h2 (x, u · · ·), ẏ2 = ḣ2 (x, u · · ·), . . . , y2 2= h2 2 (x, u · · ·),..............................,(k −1)(k −1)yp = hp (x, u · · ·), ẏp = ḣp (x, u · · ·), . . .
, yp p= hp p (x, u · · ·),zk+1 = h̃k+1 (x), . . . , zn = h̃n (x),(2.11)где через u · · · обозначены конечные наборы переменных из u, u̇, u(2) , . . ., выполнены условия теоремы о неявной функции относительно переменных состояния x. Согласно этойтеореме для любой точки из множества U в некоторой ее окрестности W существуетгладкое решение системы (2.11) относительно переменных x:x = ψ(y, ẏ, .
. . , y (k−1) , z, u · · ·),тz = (zk+1 , . . . , zn ) .Перейдя в (2.4) к переменным (2.11), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно yi , i = 1, p, порядка k ≤ n(k )(k )(k −1)y1 1 = h1 1 (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , u · · ·)...........................(k )(k )(k −1)(k −1)yi i = hi i (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , . .
. , yi , ẏi , . . . , yi i , u · · ·)...........................(k )(k )(k −1)(k −1)yp p = hp p (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , . . . , yp , ẏp , . . . , yp p , u · · ·),(2.12)в которой отсутствуют переменные zk+1 , . . . , zn . Докажем это. Равенство (2.10) означает,что строка(k )(k )(k )∂h i (x, u · · ·) ∂hi i (x, u · · ·) ∂hi i (x, u · · ·)=,..., i∂x∂x1∂xnявляется линейной комбинацией первых k(i) = k1 + . . .
+ ki строк матрицы Якоби ∂ H̃/∂xс гладкими коэффициентами cs (x, u · · ·), s = 1, k(i). Поэтому(k )(k )∂hi i (ϕ(z, u · · ·), u · · ·)∂hi i (x, u · · ·) ∂ϕ(z, u · · ·)==∂z∂x∂zx=ϕ(z,u···)∂ H̃ ∂ϕ(z, u · · ·)= (c1 (x, u · · ·), . . . , ck(i) (x, u · · ·), 0, .
. . , 0)=∂x x=ϕ(z,u···)∂z∂ H̃ = (c1 (x, u · · ·), . . . , ck(i) (x, u · · ·), 0, . . . , 0)= 0,∂z x=ϕ(z,u···)(2.13)так как от zk+1 , . . . , zn зависят только последние n − k компонент векторной функции H̃.Если все числа ki , i = 1, p, оказались положительными, то в окрестности W система(2.12) является уравнениями отображения вход – выход.82. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПИСАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМЕсли среди чисел ki , i = 1, p окажутся равные нулю, например, kir = 0, r = 1, r1 , тосистема (2.12) не содержит переменных yir , r = 1, r1 и их производных.
В этом случаедля получения уравнений отображения вход – выход достаточно к системе (2.12) добавитьсоотношения yir = hir (x, u · · ·)|x=ψ(z,u···) , r = 1, r1 , правые части которых будут функциямитолько переменных из системы уравнений (2.12).Пример 2.2. Для системыẋ1 = x2 + x1 u1ẋ2 = x2 + u1ẋ3 = x3 u2y1 = x1 + x2y2 = x3 x2метод исключения переменных состояния реализуется в виде следующих вычислений.Ранг матрицы Якоби относительно x = (x1 , x2 , x3 ) функцийz1 = y1 = x1 + x2z2 = ẏ1 = x2 + x1 u1 + x2 + u1при u1 6= 2 равен 2 и не возрастает при добавлении функцииÿ1 = x2 (2 + u1 ) + x1 (u21 + u̇1 ) + 2u1 + u̇1 .Поэтому k1 = 2 и надо рассмотривать возможность добавления к функциям z1 , z2 функцииz3 = y2 = x3 x2 .
Ранг матрицы Якоби относительно x функцийz1 = y1 = x1 + x2z2 = ẏ1 = x2 + x1 u1 + x2 + u1z3 = y2 = x3 x2(2.14)приu1 6= 2,x2 6= 0(2.15)равен 3 и, следовательно, при выполнении этого условия система (2.14) по теореме о неявной функции локально разрешима относительно переменных x. Это решение можнонайтиẏ1 − 2y1 − u1x1 =u1 − 2ẏ1 − u1 y1 − u1x2 =(2.16)2 − u12 − u1x3 = y2ẏ1 − u1 y1 − u1и записать уравнения отображения вход – выход при выполнении условия (2.15) в видесистемыÿ1 = x2 (2 + u1 ) + x1 (u21 + u̇1 ) + 2u1 + u̇1(2.17)ẏ2 = x2 x3 u2 + x3 (x2 + u1 ),где x1 , x2 и x3 из (2.16).Отметим, что: 1) действительно правая часть первого уравнения в(2.17) не содержитвторой переменной выхода и ее производных; 2) условия (2.15) можно записать в видеu1 6= 2,ẏ1 − u1 y1 − u1 6= 0и сделать вывод о том, что хотя исходное описание системы в переменных состоянияопределено для всех (гладких) управлений, для полученных уравнений отображения вход– выход это неверно; 3) если поменять в исходной системе порядок выходов, то аналогичныевычисления приведут к другим уравнениям отображения вход – выход.3.
ПОСТРОЕНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙПод задачей реализации понимают проблему нахождения по уравнениям отображениявход – выход описания системы в переменных пространства состояний. Систему (2.4)–(2.5)(в частном случае (2.1), (2.2)) называют реализацией уравнений (2.3) отображения вход– выход, если при подстановке функций (2.5) в систему (2.3) с учетом (2.4) получаютсятождества, и существует такая векторная функцияx = X(t, y, ẏ, . . . , y (k0 −1) , u, u̇, .
. . , u(s1 ) ),(3.1)подстановка которой в систему (2.4)–(2.5) с учетом (2.3) также дает тождества.Данное определение означает, что системы (2.3) и (2.4) эквивалентны, причем замены переменных задаются уравнениями (2.5) и (3.1) соответственно. Отметим также, чтосоотношения (2.3) позволяют удалить из выражений (3.1) производные переменной yi порядка ki и выше для любого i = 1, p.В случае реализации вида (2.1) выражение (3.1) не может содержать производные uпорядка выше, чем s − 1, поскольку иначе при его подстановке в дифференциальную частьуравнений состояния (2.1) тождество получиться не может, так как левая часть (ẋ) зависитот производных u более высокого порядка, чем правая часть этих уравнений.
Такимобразом, в рассматриваемом случае в выражении (3.1) правая часть может зависеть толькоот переменных(k1 −1)t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(s−1), y2 , ẏ2 , . . . , yp(kp −1) , u1 , . . . , u1, u2 , . . . , u(s−1).m(3.2)Условия существования функции (3.1) удобно сформулировать на языке дифференциальных 1–форм [7, 11]. А именно, обозначим через F кольцо гладких функций, каждаяиз которых зависит от t, переменных y, u и некоторого конечного числа их производных.Отметим, что хотя количество аргументов этих функций конечно, но они могут зависетьот производных u любого порядка.
Рассмотрим модуль над F, порожденный дифференциалами переменных (3.2):H1 = spanF {dt, dy, dẏ, . . . , dy (k−1) , du, . . . , du(s−1) }.Отметим, что H1 состоит из конечных линейных комбинаций указанных дифференциаловс коэффициентами из F. Обозначим через D производную в силу системы (2.3), черезω (i) — i-ю производную 1-формы ω, в частности: ω (1) = Dω = ω̇, ω (0) = ω. ПустьHk+1 = {ω ∈ Hk : ω̇ ∈ Hk },H∞ = {ω ∈ H1 : ∀i ω (i) ∈ H1 }.При вычислении Hi , i = 2, 3, . . . , полезно учитывать, что если 1-форма ω = f τ ∈ Hk , гдеf ∈ F, а τ ∈ Hk+1 , т.е. τ̇ ∈ Hk ,то ω̇ = f˙τ + f τ̇ ∈ Hk и поэтому согласно определению Hk+11-форма ω = f τ ∈ Hk+1 .
Так как H1 — модуль над F, то из приведенного рассуждения(k)следует, что Hi , i = 2, 3, . . . , есть также модули над F. Заметим также, что D(duq ) =(k)(k+1)(l)(l+1)d(Duq ) = duqи D(dyi ) = dyi. Поэтомуdu(k)q ∈ Hjпри k ≤ s − j, q = 1, m,(l)dyi ∈ Hjпри l ≤ ki − j, i = 1, p.103. ПОСТРОЕНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙОтметим, что наличие символа u(s) в правой части уравнений (2.3) означает, что для(s)некоторых i = 1, p и q = 1, m функция ϕi зависит от uq . Для других i правая часть(k )(s)соответствующего уравнения (2.3), а значит, yi i может не зависеть от uq , q = 1, m,(k +1) (k +2)хотя какая–либо следующая производная в силу системы (2.3): yi i , yi i , . . . , может(s)зависеть от s-ой производной управления, т.е.
от какого–то uq . Для каждого i = 1, pобозначим через κi минимальный порядок производной в силу системы (2.3) переменной(s)yi , которая зависит от uq для некоторого q = 1, m, если такая производная существует, иположим κi = ∞, если такой производной нет. Отметим, что κi ≥ ki .Теорема 3.1. (a) Реализация вида (2.4)–(2.5) локально существует для уравнения (2.3)отображения вход – выход тогда и только тогда, когда модуль Hs−r0 +1 имеет базис източных 1-форм.Если такая реализация существует, то(b) n = k1 + .
. . + kp ;(c) функция yi = hi в (2.5) зависит только от t, x, u, u̇, . . . , u(r0 −1) , если κi ≥ s, и зависит отt, x, u, u̇, . . . , u(s−κi ) , если κi < s.Вместо доказательства этой теоремы приведем алгоритм построения реализаций.1. Определяем базис модуля H1 .2. Последовательно для i = 2, . . . , s + 1:2.1) находим базис модуля Hi ;2.2) проверяем условие Фробениуса существования в Hi базиса из точных 1-форм. Еслиусловие выполняется, то увеличиваем i на 1 и переходим на шаг 2.1, иначе полагаемk = i − 1 и переходим на шаг 3.3.
Находим для модуля Hk базис из точных 1-форм.4. Дополняем набор(s−k−1)dt, du1 , . . . , du1, du2 , . . . , du(s−k−1)m(3.3)до базиса модуля Hk 1-формами dX1 , . . . , dXn из предыдущего пункта. Формируем векторную функцию (3.1). Здесь n = k1 + . . . + kp .5. Обращаем замену(t, y, ẏ, . . . , y (k−1) , u, u̇, . . . , u(s̃) ) −→ (t, x, u, u̇, . . . , u(s̃) ),(3.4)которая определяется векторной функцией (3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
