DGM_FN12 (1172052), страница 9
Текст из файла (страница 9)
§ 7), такая система эквивалентна системе y (2) = v, а граничные условиядля плоской системы преобразуются в условияy(tн ) = yн ,ẏ(tн ) = ẏн ,y(tк ) = yк ,ẏ(tк ) = ẏк .(11.1)Будем искать решение в пространстве многочленов. Так как данная задача включаетчетыре граничных условия, то рассмотрим многочлены не выше третьего порядка, т.е.искомое решение удовлетворяет уравнениюy (4) = 0.(11.2)Таким образом, задача терминального управления переформулируется в краевую задачу (11.2), (11.1).Для решения краевой задачи (11.2), (11.1) рассмотрим функцию11p = y − (tк − t)2 y (2) − (tк − t)3 y (3) .23(11.3)Для любого решения y уравнения (11.2) имеем1ṗ = ẏ + (tк − t)y (2) + (tк − t)2 y (3) ,2p̈ = 0.(11.4)(11.5)Функция p такова, что значения p(tк ), ṗ(tк ) однозначно определяются значениями y(tк ),ẏ(tк ), а значения y (2) (tн ), y (3) (tн ) — значениями p(tн ), ṗ(tн ), y(tн ), ẏ(tн ).
Поэтому задача (11.2)–(11.1) может быть решена следующим образом. Из конечных условий (11.1)находятся значения p(tк ), ṗ(tк ). Эти значения однозначно определяют решение p(t) уравнения (11.5), как решение задачи Коши в сторону уменьшения времени: от tк до tн . Находим p(tн ), ṗ(tн ), а из уравнений (11.3)–(11.4) — значения y (2) (tн ), y (3) (tн ).
Наконец, решаязадачу Коши для уравнения (11.2) с известными значениями y(tн ), ẏ(tн ), y (2) (tн ), y (3) (tн ),находим зависимость y(t). Данная функция есть решение задачи (11.2), (11.1), так как онаудовлетворяет начальным условиям (11.1) по построению, а конечным условиям (11.1) —из уравнений (11.3), (11.4).Отметим, что соотношение (11.3) определяет отображение из решений уравнения (11.2)в решения уравнения (11.5). Отображения такого вида в геометрии дифференциальныхуравнений [9] называют накрытиями. Точное определение следующее.11.
МЕТОД НАКРЫТИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ43Пусть E и Y — две системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Накрытиемиз системы E в систему Y называют сюръективное регулярное отображение ν расширенного фазового пространства системы E в расширенное фазовое пространство системы Y,при котором любая траектория системы E регулярно отображается в траекторию системыY. Регулярность отображения ν означает, что в каждой точке ранг дифференциала dν равен размерности образа. Регулярность отображения траекторий означает, что в каждойточке касательный вектор к траектории не лежит в ядре dν.Из этого определения следует, что прообраз любой траектории системы Y состоит източек траекторий некоторой подсистемы системы E.
Этот факт используется далее.Рассмотрим теперь общий случай задачи терминального управления для системыx ∈ X ⊂ Rn ,ẋ = f (t, x, u),u ∈ U ⊂ Rm ,(11.6)c граничными условиямиx(tн ) = xн ,x(tк ) = xк .(11.7)Предположим, что мы нашли функции Ui , ϕj , i = 1, m, j = 1, n, переменных(k −1)t, x1 , . . . , xn , u1 , u̇1 , . . . , u1 1m −1), u2 , . .
. , u(k,mk1 + . . . + km = n,удовлетворяющие следующим условиям.(A) Соотношения pj = ϕj , j = 1, n, определяют накрытие из системыẋj(ki )ui= fj (t, x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um ),=j = 1, n,(k −1)m −1)Ui (t, x1 , . . . , xn , u1 , u̇1 , . . . , u1 1 , u2 , . .
. , u(k),mв систему вида(11.8)i = 1, m,p ∈ Rn .ṗ = P (t, p),(11.9)(11.10)(B) Заданные конечные значения x(tк ) однозначно определяют значения pк = p(tк ) и наоборот значения p(tк ) однозначно определяют значения x(tк ).(C) Если pн — значение в точке tн решения p(t) системы (11.10), удовлетворяющего условию p(tк ) = pк , то система нелинейных уравнений(k −1)pн = ϕ(tн , x1,н , . . . , xn,н , u1 (tн ), u̇1 (tн ), . . . , u1 1(km −1)(tн ), u2 (tн ), . . .
, um(tн ))(k −1)имеет решение относительно u1 (tн ), u̇1 (tн ), . . . , u1 1(k −1)(tн ), u2 (tн ), . . . , umm(11.11)(tн ).В случае выполнения условий (A), (B), (C) задача (11.6), (11.7) может быть решенаследующим образом.1. Из конечных условий (11.7) вычисляем значение p(tк ).2. Находим решение p(t) системы (11.10), удовлетворяющее условию p(tк ) = pк (решение задачи Коши в сторону уменьшения времени: от tк до tн ).3.
Вычисляем p(tн ).(k −1)(k −1)4. Из системы (11.11) находим значения u1 (tн ), u̇1 (tн ), . . . , u1 1 (tн ), u2 (tн ), . . . , umm (tн ).5. Решая задачу Коши для системы (11.8)–(11.9) с начальными значениями(k −1)m −1)(tн ),(11.12)tн , x1,н , . . . , xn,н , u1 (tн ), u̇1 (tн ), . . . , u1 1 (tн ), u2 (tн ), . . .
, u(kmнаходим решение x(t), u(t) системы (11.6).Найденное таким образом решение есть решение задачи (11.6), (11.7), так как функция x(t) удовлетворяет начальным условиям (11.7) по построению, а конечным условиям (11.7) — из условия (B).11. МЕТОД НАКРЫТИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ44Схема метода накрытий:x(tн ) = xнx(tк ) = xк↓x(t), u(t)u(k) = U (t, x, ũ)ũ = (u, u̇, .
. . , u(k−1) )↓ũ(tн ) = ũн↓ p = p(t, x, ũ)↓↑задачаẋ = f (t, x, u)r-замыканиенакрытиебазаṗ = P (t, p)↑p(tк ) = pк → p(t), pн = p(tн )Изложенный алгоритм решения задачи терминального управления основан на построении таких функций U1 , . . . , Um , для которых соответствующая система (11.8)–(11.9) накрывает систему вида (11.10). Условие (B) устанавливает связь этого накрытия с конечными условиями поставленной задачи терминального управления, а условие (C) — сначальными условиями этой задачи.Систему вида (11.8)–(11.9), удовлетворяющую условиям (A), (B) и (C) для некоторых функций ϕj , j = 1, n, будем называть r–замыканием задачи терминального управления (11.6), (11.7). Как показано выше, r–замыкание позволяет решать задачу (11.6),(11.7).В случае, когда есть ограничения на x, u и производные u, необходимо подбирать r–замыкание так, чтобы соответствующее решение задачи терминального управления удовлетворяло этим ограничениям.
Для построения такого r–замыкания можно использоватьпонятие инвариантного множества динамической системы. Напомним, что подмножествоU расширенного фазового пространства динамической системы называют инвариантным,если для любой точки из U траектория системы, проходящая через эту точку, целикомсодержится в U. Предположим r–замыкание (11.8)–(11.9) обладает инвариантным множеством U, все точки которого удовлетворяют ограничениям задачи.
Тогда если точка (11.12) принадлежит U, то решение задачи Коши для системы (11.8)–(11.9) с начальными значениями (11.12) (а это и есть решение задачи терминального управления (11.6),(11.7)) лежит в U, а значит удовлетворяет ограничениям задачи.Отметим также, что понятие r–замыкания инвариантно относительно преобразований систем, т.е. если две системы эквивалентны, а для одной из них поставлена задачатерминального управления и построено r–замыкание, то используя соответствующее преобразование эквивалентности, получаем задачу терминального управления и r–замыканиедля второй системы. Например, любая плоская система эквивалентна системе вида (8.6)(см. [10, 13, 15]), поэтому при терминальном управлении плоской системой достаточно построить r–замыкание для системы (8.6). Кроме того, если система (11.6) регулярная, тоиз нее переменные управления u можно выразить через t, x и удалить u из системы (11.8)–(11.9).
r–Замыкания такого вида мы и будем рассматривать далее.11.2. Метод накрытий для плоских системПокажем, что для плоской системы в качестве r–замыкания можно взять любую определенную динамическую систему, порядок которой определяется количеством граничныхусловий задачи терминального управления. Для построения соответствующего накрытия будем предполагать, что известно общее решение этой системы. С целью упрощения4511. МЕТОД НАКРЫТИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯобозначений рассмотрим сначала случай m = 1, а потом обсудим обобщение приводимойконструкции на случай m > 1.Известно (см. § 7), что в случае m = 1 любая плоская система приводится к каноническому видуy (n) = v,(11.13)а значит, граничные условия для плоской системы преобразуются в 2n условий видаỹ(tн ) = ỹн ,ỹ(tк ) = ỹк ,ỹ = (y, ẏ, .
. . , y (n) ).(11.14)Следовательно, r–замыкание должно быть дифференциальным уравнением на y = y1 порядка 2n. Из свойства инвариантности r–замыкания следует, что достаточно построитьr–замыкание для задачи терминального управления (11.13), (11.14).Пусть y = χ(t, z1 , . . . , z2n ) — такая функция независимых переменных t, z1 , . . . , z2n , чтоматрица∂ iχ,i = 1, 2n, j = 1, 2n,(11.15)(aij ) =∂ti−1 ∂zjневырождена в точке (tк , z̄0 ), z̄0 = (z1,0 , . . . , z2n,0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
