DGM_FN12 (1172052), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Производные порядка выше n функций xi , uj , yl мы не будем далее рассматривать.Для функции (дифференциальной 1–формы) g через g (j) будем обозначать ее производнуюпорядка j вдоль векторного поля D: g (j) = Dj (g). В частности, g (0) = g, g (1) = ġ и т.д.Рассмотрим следующие модули дифференциальных 1–форм на E:E0 = spanF {dx}, E1 = spanF {dx, dẏ}, . . . , En = spanF {dx, dẏ, .

. . , dy (n) },Y0 = spanF {dy}, Y1 = spanF {dy, dẏ}, . . . , Yn = spanF {dy, dẏ, . . . , dy (n) }.Здесь и далее через dx, dy и т.д. мы обозначаем наборы dx = (dx1 , . . . , dxn ), dy = (dy1 , . . . , dyp )и т.д. Рассматриваемые наборы форм (или функций) мы понимаем, в зависимости от ситуации, или как множества, или как столбцы.Точку θ ∈ E будем называть регулярной точкой системы Σ, если в некоторой окрестности этой точки det (∂f /∂u) 6= 0 и для k = 0, n модули Ek и Yk имеют постояннуюразмерность.

В окрестности регулярной точки числаσk = dim Ek − dim Ek−1 ,k = 1, n,называют структурными коэффициентами, а ρ = σn — рангом системы Σ.На используемом нами геометрическом языке критерий обратимости справа системформулируется следующим образом.Теорема 5.1. В окрестности регулярной точки система Σ обратима справа тогда итолько тогда, когда ее ранг равен размерности модуля Y0 .185. ОБРАТИМЫЕ СИСТЕМЫКак правило, рассматривают случай, когда функции выхода h1 (x), . . . , hp (x) функционально независимы. В этом случае условие обратимости справа из теоремы 5.1 выглядит,как ρ = p.Cтруктурные коэффициенты системы и обратная система для нее могут быть вычислены с помощью, так называемого, структурного алгоритма.

Приведенный ниже вариантэтого алгоритма позволяет вычислять нормальные формы систем, а затем их обращать.5.2. Системы нормального видаВ случае m ≤ p системой нормального вида отображения вход–выход будем называтьсистему вида(ni )yi(nm+j )ym+ji = 1, m,= fi (ỹ, u),= gj (ỹ),j = 1, p − m,η̇l = ϕl (ỹ, η, u),l = 1, n1 ,где y = (y1 , . . . , yp ) — выход, η = (η1 , . .

. , ηn1 ) — ненаблюдаемая часть переменных состо(n −1)(n −1)яния, ỹ = (y1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , yp p ), det (∂f /∂u) 6= 0.Алгоритм построения нормальной формы для системы Σ с m ≤ p состоит из 3этапов.На этапе 1 множество функций выхода y в окрестности регулярной точки ϑ ∈ E последовательно разбивается на непересекающиеся подмножества y[0] , y(1) , y[1] , . . . , y(κ) , y[κ+1]следующим образом.Шаг 0: Из множества функций y выбираем такое подмножество ζ0 , что dζ0 — базисмодуля Y0 = spanF {dy}. Остальные функции y включаем в набор y[0] .

Тогда y[0] = G0 (ζ0 ) —набор функций от ζ0 .Шаг 1: Из множества функций ζ̇0 выбираем такие подмножества v(1) и ζ1 , что:a) (dx, dv(1) ) — базис модуля E1 = spanF {dx, dẏ};b) (dv(1) , dζ0 , dζ1 ) — базис модуля Y1 = spanF {dy, dẏ}.Обозначаем через y(1) такое подмножество функций y, что ẏ(1) = v(1) , а набор y[1] составляем из тех компонент ζ0 , производные которых не входят ни в ζ1 , ни в v(1) . Тогда(1)y[1] = G1 (ζ0 , ζ1 , v(1) ) — функции от ζ0 , ζ1 , v(1) .Шаг k: Из множества функций ζ̇k−1 выбираем такие подмножества v(k) и ζk , что:(j)a) (dx, dv(i) , i = 1, k, j = 0, k − i) — базис модуля Ek = spanF {dx, dẏ, .

. . , dy (k) };(j)b) (dv(i) , dζl , i = 1, k, j = 0, k − i, l = 0, k) — базис модуля Yk = spanF {dy, dẏ, . . . , dy (k) }.Обозначаем через y(k) такое подмножество функций y, что k-ая производная y(k) совпадаетс v(k) , а набор y[k] составляем из тех компонент y, k-ые производные которых входят в ζ̇k−1 ,(k)(j)но не входят ни в ζk , ни в v(k) . Тогда y[k] = Gk (ζl , v(i) ), где i = 1, k, j = 0, k − i, l = 0, k.(κ)Этап 1 останавливаем на шаге κ, если наборы v(κ+1) и ζκ+1 пустые.

Тогда y[κ+1] =(κ+1)(j)ζκ , y[κ+1] = Gκ+1 (ζl , v(i) ), где l = 0, κ, i = 1, κ, j = 0, κ − i, а ранг ρ системы Σ равенколичеству элементов в наборах y(1) , . . . , y(κ) .Этап 2. Если Yκ 6= Eκ , то из множества функций x выбираем такое подмножество η,что набор ковекторов dηϑ дополняет базис пространства Yκ,ϑ до базиса пространства Eκ,ϑ .Если модуль Eκ содержит не все 1–формы набора du, то из множества функций u выбираем такое подмножество v# , что набор ковекторов dv#,ϑ дополняет базис пространстваspanR {duϑ } ∩ Eκ,ϑ до базиса пространства spanR {duϑ }.195. ОБРАТИМЫЕ СИСТЕМЫ(1)(1)(κ)Обозначаем ỹ = (ζ0 , . . .

, ζκ ) = (y[1] , y(1) , . . . , y[κ] , y(κ) , y[κ+1] , y[2] , y(2) , . . . , y[κ+1] ), v = (v(1) ,. . . , v(κ) , v# ) и строим нормальную форму(j)y(j) = v(j) ,(j)y[j]= Gj (ỹ),j = 1, κ,j = 1, κ + 1,(5.1)η̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, . . . , v (κ−1) ).Этап 3. Находим обратимое преобразование системы Σ в нормальную форму (5.1):(j)(j)(j)(j)y = h(x), y(i) = h(i) (x, u, u̇, . . . , u(j−1) ), y[i] = h[i] (x, u, u̇, . . . , u(j−1) ),(i)η = η(x), v(i) = h(i) (x, u, u̇, .

. . , u(i−1) ), v# = v# (u),i = 1, κ + 1,j = 1, i − 1, (5.2)где v(κ+1) и y(κ+1) — пустые наборы.Замечание. В случае p = ρ переменные y[1] , . . . , y[κ+1] и вторая группа уравненийсистемы (5.1) отсутствуют. В случае же p < ρ переменные выхода не произвольны, асвязаны указанными уравнениями системы (5.1).Данный алгоритм содержит несколько утверждений, требующих доказательства. Теоретическим обоснованием этого алгоритма является следующая теорема.Теорема 5.2.В окрестности регулярной точки ϑ ∈ E системы Σ каждый шагприведённого алгоритма осуществим и результатом его применения является нормальнаяформа (5.1) и обратимое преобразование (5.2).Доказательство этой теоремы и метод выделения функций v(k) , ζk основаны на следующих двух леммах.Лемма о дополнении.

Если в окрестности точки θ ∈ M многообразия M модульE = spanC ∞ (M ) {dz1 , . . . , dzα } имеет постоянную размерность, ω1 , . . . , ωs ∈ E, а ковекторыω1,θ , . . . , ωs,θ линейно независимы, то существуют такие индексы l1 , . . . , lp (1 ≤ li ≤ α), чтов некоторой окрестности точки θ ∈ M набор (ω1 , . . . , ωs , dzl1 , . . . , dzlp ) есть базис модуля E.Лемма о функциональной зависимости. Пусть g, z1 , . .

. , zs — гладкие функции намногообразии M , θ ∈ M ,(1) dg ∈ spanC ∞ (M ) (dz1 , . . . , dzs );(2) ковекторы dz1,θ , . . . , dzs,θ линейно независимы.Тогда существует такая функция Φ s переменных, что g = Φ(z1 , . . . , zs ) в окрестноститочки θ.Теорема 5.3. При p = ρ система (5.1) обратима справа, обратная к ней есть системаη̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, .

. . , v (κ−1) ),(j)v(j) = y(j) ,j = 1, κ,(1)(5.3)(κ−1)с входом y и выходом v, где ỹ = (y(1) , . . . , y(κ) , y(2) , . . . , y(κ+1) ).Для построения обратной системы для системы Σ с ρ = p достаточно1) привести ее к нормальному виду;2) применить теорему 5.3;3) используя обратное преобразование к преобразованию (5.2), найти зависимость u =U (η, ỹ, v).Тогда обратная система есть системаη̇ = ϕ(η, ỹ, v, v̇, . .

. , v (κ−1) ),u = U (η, ỹ, v),(5.4)5. ОБРАТИМЫЕ СИСТЕМЫ(1)(κ)где v = (y(1) , . . . , y(κ) , v# ).При ρ = m система (5.4) обратная слева к системе Σ.206. МИНИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ6.1. Минимальные реализации линейных системВ теории линейных стационарных систем есть понятие минимальной реализации. Приm = 1, p = 1 уравнение отображения вход – выход для таких систем имеет видy (k) + ak−1 y (k−1) + . .

. + a0 y = bs u(s) + bs−1 u(s−1) + . . . + b0 u,ak−1 , . . . , a0 , bs , . . . , b0 ∈ R, (6.1)и полностью характеризуется его передаточной функцией, которая является дробно – рациональной функцией своего аргумента:Y (q) =B(q),A(q)A(q) = q k + ak−1 q k−1 + .

. . + a0 ,B(q) = bs q s + bs−1 q s−1 + . . . + b0 .Многочлены A(q) и B(q) могут иметь совпадающие нули, а значит, общие делители:A(q) = E(q)A0 (q), B(q) = E(q)B0 (q). В этом случае, сокращая общие делители числителя и знаменателя передаточной функции, получают приведенную (редуцированную)0 (q)передаточную функцию Y0 (q) = B. Дифференциальное уравнение, соответствующееA0 (q)редуцированной передаточной функции (без общих делителей числителя и знаменателя),называют редуцированным уравнением отображения вход – выход или редукцией уравнения (6.1).

Характеристики

Список файлов лекций