DGM_FN12 (1172052), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вычисляем выражения (2.5).6. Дифференцируем замену переменных (3.1) в силу системы (2.3) и исключаем из полученных выражений выходы y с помощью соотношений (2.5). Получаем реализацию (2.4).Пример 3. Рассмотрим отображение входа в выход, заданное системойÿ1 = y1 y22 +ü,y2ẏ2 = y22 .(3.5)В обозначениях (2.3) имеем: k1 = 2, k2 = 1, s = 2. Найдем последовательно модули H1 , H2и H3 .

Произвольный элемент из H1 имеет видΩ = a1 dt + a2 dy1 + a3 dy2 + a4 dẏ1 + a5 du + a6 du̇,a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈ F(E).ОтсюдаDΩ = Da1 dt + Da2 dy1 + Da3 dy2 + Da4 dẏ1 + Da5 du + Da6 du̇+113. ПОСТРОЕНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ+ a2 dẏ1 + a3 2y2 dy2 + a4 (y22 dy1 + 2y1 y2 dy2 +ü1dü − 2 dy2 ) + a5 du̇ + a6 dü. (3.6)y2y2Если DΩ ∈ H1 , то коэффициент при dü в (3.6) равен нулю. Поэтому a4 /y2 + a6 = 0.

Такимобразом, модуль H2 порождается 1-формамиdt,dy1 ,dy2 ,du,du̇ − y2 dẏ1 .(3.7)Все эти 1-формы, кроме последней, точные. Дифференциал последней 1-формы есть−dy2 ∧ dẏ1 = d(ẏ1 dy2 ). Следовательно, добавив к последней 1-форме набора (3.7) слагаемое−ẏ1 dy2 , мы получим точную 1-форму d(u̇ − y2 ẏ1 ). Полученный набор останется базисоммодуля H2 , так как добавок выражается через остальные 1-формы базиса. Таким образом,произвольный элемент из H2 имеет видΩ = a1 dt + a2 dy1 + a3 dy2 + a4 du + a5 d(u̇ − y2 ẏ1 ),a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ F(E).Повторяя наши рассуждения, получаемDΩ = Da1 dt + Da2 dy1 + Da3 dy2 + Da4 du + Da5 d(u̇ − y2 ẏ1 )++ a2 dẏ1 + a3 2y2 dy2 + a4 du̇ − a5 (y23 dy1 + 3y1 y22 dy2 + 2ẏ1 y2 dy2 + y22 dẏ1 ).Если DΩ ∈ H2 , то найдется такая функция g ∈ F(E), что a4 du̇ + (a2 − a5 y22 )dẏ1 = g(du̇ −y2 dẏ1 ).

Отсюда g = a4 и a2 − a5 y22 + a4 y2 = 0. Чтобы найти фундаментальную системурешений последнего уравнения, полагаем a4 = 1, a5 = 0, тогда a2 = −y2 , и a4 = 0, a5 = 1,тогда a2 = y22 . Следовательно, модуль H3 порождается 1-формамиdt,du − y2 dy1 ,dy2 ,d(u̇ − y2 ẏ1 ) + y22 dy1 .Как и выше, добавляя к последним двум 1-формам слагаемые с dy2 , получаем базис H3 източных 1-форм:dt, dy2 , d(u − y2 y1 ), d(u̇ − y2 ẏ1 + y22 y1 ).По теореме 3.1 для системы уравнений (3.5) отображения вход – выход существуетреализация вида (2.1)–(2.5). Для построения такой реализации введем переменныеx1 = y2 ,Тогдаy1 =x2 = u − y 2 y 1 ,u − x2,x1y2 = x 1 ,x3 = u̇ − y2 ẏ1 + y22 y1 .ẏ1 =u̇ − x3 + x1 u − x1 x2.x1(3.8)Подставляя полученные выражения для y1 , y2 , ẏ1 в производные в силу системы (3.5) переменных x1 , x2 , x3 , получаем уравнения состояния:ẋ1 = x21 ,ẋ2 = x3 − 2x1 u + 2x1 x2 ,ẋ3 = x21 (u − x2 ) ,а функции выхода определяются первыми двумя уравнениями системы (3.8).Отметим, что вычисления для системы (3.5) показывают, что κ1 = 2, κ2 = ∞, но этоникак не используется для построения реализации.Замечание.

Теорема 3.1 может быть обощена на случай реализации вида (2.4)–(2.5).А именно, такая реализация локально существует тогда и только тогда, когда модульHs−r0 +1 имеет базис из точных 1-форм.123. ПОСТРОЕНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙПример 4. Рассмотрим системуÿ1 = y1 y22 +ü,y2ẏ2 = u .(3.9)Рассуждая аналогично предыдущему примеру, находим базис из точных 1-формdt,dy1 ,dy2 ,du,d(u̇ − y2 ẏ1 )модуля H2 и базисdt,dy2 ,d(u − y2 y1 ),d(u̇ − y2 ẏ1 ) + udẏ1 .модуля H3 .

Модуль H3 не имеет базис из точных 1-форм, так как он не удовлетворяетусловию Фробениуса: дифференциал последней 1-формы du ∧ dẏ1 не лежит в идеале, порожденном модулем H3 . Поэтому отображение входа в выход, заданное системой (3.9),имеет реализацию вида (2.4)–(2.5), где r0 = 1. Для построения такой реализации введемпеременныеx1 = y2 , x2 = u − y2 y1 , x3 = u̇ − y2 ẏ1 − uy1 .Тогда уравнения состояния естьẋ1 = u ,ẋ2 = x3 ,ẋ3 = (x2 − u)(x21 +а функции выхода —y1 =u − x2,x1u2uu̇− 2 2 ) + 2 (x3 − u̇) ,x1x1x1y2 = x 1 .4. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬИ НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ4.1.

Определения достижимости и управляемостиЗадача терминального управления для системыẋ = f (x, u),x ∈ D ⊂ Rn ,u ∈ U ⊂ Rm ,(4.1)c граничными условиямиx|t=tн = xн(4.2)x|t=tк = xк(4.3)состоит в нахождении такого управления u = u(t), t ∈ [tн , tк ], при котором решение задачиКоши (4.1)–(4.2) удовлетворяет условию (4.3).Состояние xк ∈ D называют достижимым из состояния xн ∈ D в области D, если существует решение (x(t), u(t)), t ∈ [tн , tк ], системы (4.1), удовлетворяющее условиям (4.2), (4.3) иx(t) ∈ D, u(t) ∈ U при t ∈ [tн , tк ].Систему (4.1) называют управляемой в области D, если любое состояние xк ∈ D достижимо из любого состояния xн ∈ D в области D.4.2.

Первые интегралы систем и H∞Для описания минимальных реализаций уравнений отображения вход – выход необходимо получить описание первых интегралов этих уравнений.Функцию g(t, y, ẏ, . . . , y (l) , u, u̇, . . . , u(r) ) называют первым интегралом системы (2.3),если производная этой функции в силу системы (2.3) тождественно равна нулю. В данномпункте мы покажем, что дифференциалы первых интегралов системы (2.3) лежат в H∞ .Системы вида (4.1) есть частный случай систем (2.3): при p = n, s = 0, yi = xi , ki = 1для любого i = 1, p.

Поэтому все понятия и результаты этого пункта распространяются ина системы вида (4.1).Отметим сначала, что соотношения (2.3) позволяют удалить из первого интеграласистемы (2.3) производные переменной yi порядка ki и выше для любого i = 1, p. Послетакой замены первый интеграл g не может зависеть от производных u порядка выше, чемs−1. Действительно, если s0 — максимальный порядок производной u, от которой зависитg, и s0 > s − 1, то производная g в силу системы (2.3) равнаp kα −2ps0m XXX∂g X X∂g(k+1) ∂g(lα +1) ∂guk+yα+ϕ+αβ(l)(k−1)(k)∂t α=1 l =0∂yα α∂yα α∂uβα=1β=1 k=0α(s +1)и зависит от uβ 0для некоторого β = 1, . . .

, m, а значит, не может быть тождественноравной нулю. Таким образом, первый интеграл системы (2.3) может зависеть только отпеременных(k1 −1)t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(s−1), y2 , ẏ2 , . . . , yp(kp −1) , u1 , . . . , u1, u2 , . . . , u(s−1).m(4.4)144. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМВ частности, отсюда следует, что dg ∈ H1 .Пусть k ∗ = s + k1 + . . . + kp + 2. Пространство с координатами(k1 −1)t, y1 , ẏ1 , . .

. , y1(j+s−2), y2 , ẏ2 , . . . , yp(kp −1) , u1 , . . . , u1, u2 , . . . , u(j+s−2),mj = k ∗ + 1,обозначим через E. Можно показать, что для любого j = 1, k ∗ + 1 базис модуля Hj можновыбрать из 1–форм ω1j , . . . , ωkj j , зависящих только от координат на E. Отождествим этиформы с соответствующими 1–формами на E. Отметим, что хотя эти формы образуютбазис модуля Hj , но в некоторых точках E они могут быть линейно зависимыми. Подразмерностью модуля Hj , j = 1, k ∗ + 1, в точке θ ∈ E мы понимаем размерность линейнойjоболочки, натянутой на ковекторы ω1,θ, .

. . , ωkj j ,θ . Обозначим ее через dim Hj |θ .Точку θ ∈ E будем называть H–регулярной, если в некоторой окрестности этой точкидля любого j = s + 1, k ∗ + 1 модуль Hj имеет постоянную размерность.Теорема 4.1. В окрестности H–регулярной точки(a) существует такое натуральное j ∗ ≤ k ∗ , что Hj ∗ +1 = Hj ∗ ;(b) H∞ = Hj ∗ = spanF {dt, dg1 , . . .

, dgρ },где g1 , . . . , gρ — максимальный набор функционально независимых первых интегралов системы (2.3).Доказательство (a). Так как для всех j = 1, k ∗ + 1 мы имеем вложение Hj+1 ⊂ Hj ,то в каждой точке θ ∈ E размерность модуля Hj не возрастает с ростом j. Обозначимчерез i такое максимальное натуральное число, что dim Hj+1 |θ < dim Hj |θ при j = s + 1, i.Тогда dim Hs+1 |θ − dim Hi+1 |θ ≥ i − s.

С другой стороны, в работе [7] (см. лемму 1 там)для j = 1, s было доказано равенство(s−j)Hj = Hj+1 ⊕ spanF {du1, . . . , du(s−j)}.mПоэтому dim Hs+1 |θ = dim H1 |θ − ms. Количество элементов базиса модуля H1 , а значит,и его размерность в любой точке равна 1 + k1 + . . . + kp + ms = k ∗ + (m − 1)s − 1. Такимобразом,k ∗ − s − 1 = dim Hs+1 |θ ≥ dim Hs+1 |θ − dim Hi+1 |θ ≥ i − s,откуда i ≤ k ∗ − 1. Следовательно, для любой точки θ ∈ E существует такой номер j ∗ ≤ k ∗ ,что модули Hj ∗ +1 и Hj ∗ имеют одинаковую размерность. В окрестности H–регулярнойточки θ модули Hj ∗ +1 и Hj ∗ имеют постоянную размерность, а значит, Hj ∗ +1 = Hj ∗ вокрестности этой точки.Доказательство (b) можно найти в [8].Система (4.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости, если H∞ = spanF {dt}.Теорема 4.2.

Если система (4.1) управляема на множестве D, то она не имеет первых интегралов и удовлетворяет ранговому условию управляемости. Если система (4.1)не удовлетворяет ранговому условию управляемости, то она имеет первые интегралы вокрестности любой H–регулярной точки.Пример 4.1.ẋ1 = x2 ,ẋ2 = ln(x32 + 2x1 ) + x22 u.154. УПРАВЛЯЕМОСТЬ, ДОСТИЖИМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ4.3. Достаточные условиядостижимости и управляемостиТеорема 4.3. Если в точке x0 система (4.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости, а (x∗ (t), u∗ (t)) — решение этой системы и x∗ (t0 ) = x0 , то существует такое∆ > 0 и окресность V ⊂ M точки x∗ (t0 + ∆), что V достижимо из точки x0 .Теорема 4.4.

Если система (4.1) удовлетворяет ранговому условию управляемости,(x∗ (t), u∗ (t)) — ее периодическое решение, x∗ (t0 + T ) = x∗ (t0 ) для некоторого T > 0, тосуществует окрестность кривой x = x∗ (t), t ∈ [t0 , t0 + T ], в которой система (4.1) управляема.Задача: проверить ранговое условие управляемости для системыẋ1 = x2 ,ẋ2 = ln(x32 + 2x1 ) + x22 u.4.4. Наблюдаемость системСистема с входом и выходомẋ = f (x, u(t)), x ∈ D ⊂ Rn , u ∈ U ⊂ Rm ,y = h(x), y ∈ Rp ,(4.5)(4.6)наблюдаема, если ее функцию состояния x(t) можно восстановить по результатам измерения функции выхода y(t).Неполная наблюдаемость: можно восстановить часть компонентов вектора состояния.Пусть V — подмножество множества D допустимых состояний. Состояние a ∈ Vназывают неотличимым в V от состояния b ∈ V , если∀t ∈ [t0 , T ] x∗ (t) ∈ V, x# (t) ∈ V, u(t) ∈ Uẋ∗ (t) = f (x∗ (t), u(t)), x∗ (t0 ) = a, y∗ (t) = h(x∗ (t))ẋ# (t) = f (x# (t), u(t)), x# (t0 ) = b, y# (t) = h(x# (t))=⇒∀t ∈ [t0 , T ]y∗ (t) = y# (t).Систему (4.5)-(4.6) называют локально наблюдаемой в области M ×U, если любая точкаa ∈ M имеет окрестность, в которой нет неотличимых от a состояний.Теорема 4.5.(Локальные условия наблюдаемости.) Система (4.5)-(4.6) локально наблюдаема в области M × U ⇔ в любой точке (x, u, u(1) , .

. . , u(n−2) ) областиM × U × Rm(n−2) имеем∂Dn−1 (h)∂h ∂D(h),,...,= n,(4.7)rang∂x ∂x∂xгдеn−2D=X∂∂∂+ f (x, u)+u(i+1) (i)∂t∂x i=0∂u— производная в силу системы (4.5).5. ОБРАТИМЫЕ СИСТЕМЫ5.1. Обратимые отображения вход–выходРассмотрим систему Σ с входом (u), выходом (y) и заданным начальным значениемx(t0 ):Σ:ẋ = f (x, u), x ∈ Rn , u ∈ Rm ,y = h(x), y ∈ Rp ,x(t0 ) = x0 .СистемуR:ż = F (z, y, ẏ, . . .

, y (l) ),u = H(z, y, ẏ, . . . , y (l) )называют правой обратной для системы Σ, если существует такое z(t0 ), что выход y(t)системы Σ равен входу y(t) системы R в случае, когда вход u(t) системы Σ выбран равнымвыходу R.СистемуL:ż = F (z, y, ẏ, . . . , y (l) ),u = H(z, y, ẏ, . . . , y (l) )называют левой обратной для системы Σ, если существует такое z(t0 ), что выход u(t)системы L равен входу u(t) системы Σ в случае, когда вход y(t) системы L выбран равнымвыходу Σ.175.

ОБРАТИМЫЕ СИСТЕМЫДалее мы будем использовать геометрический язык и следующие понятия базиса иразмерности модулей дифференциальных 1–форм. Пусть U — открытое подмножествомногообразия M , E — подмодуль модуля дифференциальных 1–форм на M . Набор 1–форм ω1 , . . . , ωk называется базисом модуля E в U , если в каждой точке ϑ ∈ U ковекторыω1,ϑ , . . . , ωk,ϑ образуют базис линейного пространства Eϑ = {ωϑ ∈ Tϑ∗ M | ω ∈ E}. Подразмерностью подмодуля E в точке ϑ ∈ M мы понимаем размерность пространства ковекторов Eϑ .

Через dim E мы обозначаем целочисленную функцию на M , значение которойв точке ϑ есть размерность E в ϑ.Обозначим через E область пространства с координатами t, x, u, u(1) , . . . , u(n) , где определена система Σ, а через F — кольцо гладких функций на E. Рассмотрим на E векторноеполеm Xn−1nXX∂∂(l+1) ∂+ui.+fj (t, x, u)D=(l)∂t j=1∂xj∂uii=1 l=0Для функций (дифференциальных форм) на E, независящих от u(n) , производная Ли вдольD совпадает с производной в силу системы Σ. Переменные состояния xi , входа uj и выходаyl , а также их производные до порядка n в силу системы Σ мы понимаем как функциина E.

Характеристики

Список файлов лекций