Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, суммарная мощность сил трениясдвига принимает вид:2γWk =σ s v1s1 tan23Используя уравнение баланса мощностей, окончательно получимвыражение осевых напряжений в нижней части стакана:⎡ 2ss ⎛ 1 s ⎞ 1 µs ⎤2γµσ z = σ s ⎢ ln 0 +tan +ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟ −ln 2 0 ⎥2 tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠ 2 sin γs1 ⎦3⎣ 3 s1=Ранее мы использовали свойство малых углов γ < 20 o , тогдаокончательно:⎡ ss ⎞⎤2γ3 µ s0 ⎛σ z = σ s ⎢ln 0 + +ln ⎜1 − ln 0 ⎟ ⎥s1 ⎠ ⎦3 ⎣ s1 2 2 γ s1 ⎝Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:sln 0 - работа деформации в очаге деформацииs1s ⎞3 µ s0 ⎛ln ⎜1 − ln 0 ⎟ - трение по поверхности конической матрицы и2 γ s1 ⎝s1 ⎠пуансонаγ2- трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что, с увеличением угла наклонаобразующей матрицы, силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.
Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформирования248является минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.4.5.5 Осадка прямоугольной заготовки в щелевом контейнере.Расчетная схема приведена на Рис. Заготовку, имеющую формупрямоугольного параллелепипеда с ребрами L,B,H деформируют в щелевомконтейнере. Стенки контейнера препятствуют изменению ширины заготовкиB в процессе деформации.vvyyxLzOHHτk2τk3OvyL xτk1vxτk4-vvyBВоспользуемся следующей декартовой системой координат:начало координат O поместим в середине нижнего ребра заготовки;ось x направим вдоль ребра заготовки;ось y направимвверхпротивнаправлениядвижениядеформирующего инструмента;ось z направим перпендикулярно стенке контейнера.Примем, что очаг деформации охватывает весь объем заготовки. Впроцессе деформации материальные частицы не могут перемещаться внаправлении оси z , поэтому можно принять схему плоскогодеформированного состояния.Задачу решаем методом баланса работ (мощностей).
Для определениякинематически возможного поля скоростей предположим линейноераспределение скоростей вдоль оси y. С учетом граничных условий получим:yv y = −vHЗакон изменения скорости вдоль оси x определим из условиянесжимаемости:εx + ε y + εz = 0Для плоского деформированного состояния ε z = 0 . Зная компоненту v yполя скоростей, определим скорость деформации:249∂v yv∂yHТогда из условия несжимаемости∂vvxεx = x =→ vx = v + f ( y )∂x HHС учетом граничных условийvx x =0 = 0 → f ( y ) = 0εy ==−Окончательноxvx = vHЗапишем уравнение баланса мощностей:W`p = Wσ + Wk + WτЗдесь по-прежнему: W p - мощность внешних сил, Wσпластической деформации,Wτ- мощность- мощность трения на контакте синструментом, Wk - мощность сдвиговых деформаций на поверхностяхразрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Мощность внешних сил, действующих на пуансон:W p = qFП v = qBLvМощность пластических деформаций:Wσ = σ s ∫ ε i dVVИнтенсивность скоростей деформаций в очаге пластическойдеформации определим по кинематически возможному полю скоростей.Поскольку компоненты предложенного кинематически возможного поляскоростей зависят только от соответствующих координат, то скоростидеформаций сдвига будут отсутствовать, тогда, с учетом ε x = −ε y = v Hполучим232=3Тогдаεi =(ε x − ε y ) + (ε y − ε z )222+ (ε z − ε x ) =( 2ε x )2 + (ε x )2 + (ε x )2 =2 v3H2 v2 v2dV = σ sBLH = σ svFП∫HH333VVПоскольку очаг деформации занимает весь объем заготовки, топоверхности разрыва скоростей в данном примере отсутствуют,следовательно:Wσ = σ s ∫ ε i dV = σ s250Wk = k ∫ ∆vτ l dF = 0flПри перемещении материальных частиц в процессе деформациивозникают силы трения τ k1 между заготовкой и пуансоном; τ k 2 ,τ k 3 ,τ k 4между заготовкой и контейнером.
Фактор трения µ s на всех поверхностяхсчитаем постоянным, поэтому τ k1 = τ k 4 .Мощность сил трения между материалом и инструментом определимсуммированием по поверхностям трения:Поверхность контакта пуансона и заготовки:v 0.5 Lv L2Wτ 1 = 2 µ sσ s ∫ vx Bdx = 2µ sσ s B ∫ xdx = 2 µ sσ s B=HH8000.5 LL1= µ sσ s vFП4HМощность сил трения по поверхности контакта между заготовкой инижней поверхностью контейнера равна мощности сил трения поповерхности контакта заготовки с пуансоном:1LWτ 4 = Wτ 1 = µ sσ s vFПH4Мощность сил трения по боковым поверхностям контейнера отгоризонтальной составляющей скорости материальных частиц:0.5 LWτ 2 = 4 µ sσ s ∫ vx Hdx = 4 µ sσ s0v 0.5 LvL2H ∫ xdx = 4 µ sσ s H=HH80L1= µ sσ s vFПB2Мощность сил трения по боковым поверхностям контейнера отвертикальной составляющей скорости материальных частиц:v Hv H2Wτ 3 = 2 µ sσ s ∫ v y Ldy = 2 µ sσ s L ∫ ydy = 2µ sσ s L=HH200HHBПодставив полученные выражения в уравнение баланса мощностей исократив, окончательно получим:⎡LL H ⎞⎤⎛q = σ s ⎢1 + µ s ⎜ 0.5 + 0.5 + ⎟ ⎥HB B ⎠⎦⎝⎣= µ sσ s vFП2514.6.
Метод верхней оценки.4.6.1 Основные положения метода верхней оценки.Метод верхней оценки основан на использовании теоремы о верхнейоценке (кинематической теоремы) и принципа минимума полной мощности.Как и в других энергетических методах в методе верхней оценки используюткинематически возможное поле скоростей.Существуют два различных подхода для задания поля скоростей вметоде верхней оценки.
В одном из них течение металла моделируется припомощи деформируемых областей, в которых задается некоторое полескоростей. Второй вариант основан на моделировании течения металла спомощью недеформируемых («жестких» областей или блоков).Поскольку в обоих случаях используют теорему о верхней оценке, то втехнической литературе часто оба варианта называют методом верхнейоценки.Ранее мы получили неравенство теоремы о верхней оценке вследующем виде:** ****∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ε ij dV − ∫ p0i vi dFFvVFpЗдесь V - объем деформируемого тела.
На части поверхности тела Fpзаданы внешние поверхностные силы pi , i = x, y, z . В теле задано некотороекинематически возможное поле скоростей vi** , удовлетворяющее граничнымусловиям на части поверхности Fv и условиям непрерывности v0**i = v0i .Площадь поверхности тела F такова, что F = Fp + Fv . Полю скоростей vi**соответствуют скорости деформаций ε ij** ; σ ij**соответствующее полю скоростей деформаций- поле напряжений,ε ij**и определяемоеуравнением Сен-Венана – Леви – Мизеса.Распространим теорему о верхней оценке на разрывные поляскоростей.
Пусть поле скоростей таково, что в нем допускаются разрывыскоростей ∆vτ**S вдоль некоторой поверхности f S .fSτS∆vτS252Условие непрерывности требует, чтобы разрывы претерпевали толькокасательные составляющие скорости вдоль поверхности разрыва.Нормальные составляющие скорости к поверхности разрыва должны бытьнепрерывны.В каждой из областей, ограниченных поверхностями разрыва, поляскоростей и напряжений непрерывны, следовательно, справедливо основноеэнергетическое уравнение. При составлении энергетического уравнения длявсего тела в целом следует дополнительно учесть мощность сил трения наповерхностях разрыва скоростей**∫ τ S ∆vτ S df , где τ S - касательныеfSнапряжения, действующие вдоль поверхности разрыва. Мощность трения наповерхностях разрыва является мощностью внутренних сил, поэтому должнадобавляться в правую часть неравенства теоремы о верхней оценке.Тогда справедливо:** ******∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ε ij dV + ∫ τ S ∆vτ S df − ∫ p0i vi dFFvVfSFpРанее мы показали, что для действительных полей скоростей инапряженийсправедливовозможногополяσ ijε ij = σ i ε i = σ sε i .скоростейДляσ ij**ε ij** ≤ σ i**ε i** = σ sε i** .кинематическиКрометого,касательные напряжения на поверхностях разрыва не могут быть большепостоянной пластичности τ S ≤ τ k max = k =σs3.Ужесточая неравенство, считаем:σ ij**ε ij** = σ sε i** , τ S = kОкончательно******∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ p0i vi dFFvVfSFpЭто неравенство используется в методе верхней оценки сиспользованием деформируемых областей.Составляющие неравенства метода верхней оценки имеют следующийфизический смысл:∫ pi v0i dF - мощность неизвестных внешних силFvσ s ∫ ε i**dV - мощность внутренних сил в очаге пластической деформацииV**∫ p0i vi dF - мощность известных внешних силFp253k ∫ ∆vτ**S df - мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрываfSскоростей.Правая часть неравенства носит название полной мощностикинематически возможного поля скоростей.
Принцип минимума полноймощности гласит, что полная мощность достигает абсолютного минимума надействительном поле скоростей.Иными словами, для действительного поля скоростей справедливо:⎛⎞****** ⎟⎜δ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ p0i vi dF = 0⎜⎟fSFp⎝ V⎠Принцип минимума полной мощности позволяет «улучшить» верхнююоценку удельной деформирующей силы. Пусть очаг деформациихарактеризуется некоторым заранее неизвестным варьируемым параметромa .
Примером такого неизвестного варьируемого параметра может служитьвысота очага деформации при обратном выдавливании a = h . Пусть такжефункцияq (a )определяет значение верхней оценки удельнойдеформирующей силы, зависящее от неизвестного параметра a . Тогда изпринципа полной мощности следует, что наилучшее приближение кистинному значению удельной силы деформирования может быть полученодля такого значения неизвестного параметра a , которое сообщаетминимальное значение функции q (a ) .a : q (a ) → minОчевидно, что нахождения минимума функции необходимо приравнятьнулю ее частную производную, найти решение полученного уравнения ипроанализировать его на минимум.Последовательность решения задачи методом верхней оценки сиспользованием деформируемых областей следующая:Выделяют очаг пластической деформации, который разделяют на зоны.Конфигурацию очага пластической деформации выбирают зависящейот некоторого переменного параметра.Для плоских и осесимметричных задач в каждой зоне задают функциюизменения одной из компонент поля скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
