Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Радиальные напряжения σ ρ во всех зонах сжимающие из-завзаимногонадавливанияматериальныхслоев.Изуравненийдеформационной теории пластичности для плоского деформированногосостояния следует:для зоны растяжения: εθ > 0 ⇒ σ θ > σ ρ ,для зоны сжатия: εθ < 0 ⇒ σ θ < σ ρ .Второе условие при σ ρ < 0 дает в зоне сжатия σ θ < 0 . Для зонырастяжения однозначного вывода о знаке тангенциального напряжениясделать на основании знака деформации нельзя, однако в дальнейшем будетпоказано, что для зоны растяжения σ θ > 0Для плоского деформированного состоянияσ + σθ.σz = ρ2r> 5 справедливоДля гибки на относительно большой радиусs0σ ρ < σθ. Поэтому знак напряжения σ θ для зоны растяжения определяет53знак напряжения σ z .Касательные напряженияотсутствуют:всхеменапряженногосостояния53В теории упругости принимают гипотезу о не надавливании слоев, т.е.σρ =0216Поскольку принята схема плоского деформированного состояния, тоτ zρ = τ zθ = 0 .Перерезывающих сил при гибке моментом нет, поэтому τ ρθ = τθρ = 0 .Таким образом, в принятой схеме напряженно-деформированногосостояния напряжения координатные оси являются главными.
Главнымиявляются и напряжения в координатных площадках: σ ρ ,σ θ ,σ z .Уравнение равновесия:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρПредположим, что весь деформируемый объем заготовки находится впластическом состоянии, т.е. зоной упругих деформаций пренебрегаем.В первом приближении будем анализировать пластический изгиб безучета влияния упрочнения. Энергетическое условие пластичности вупрощенном виде:σ11 − σ 33 = βσ s ,Здесь β - коэффициент Лоде (для плоского деформированногосостояния β = 1.155 ). Для плоского деформированного состояния σ z = σ 22 ,поэтому σ 11,σ 33 для нашего случая принимают значения либо σ ρ , либо σ θ .Исследуем вид условия пластичности в различных зонах. Для зонырастяжения σ θ > σ ρ .
Следовательно, σ θ > σ z > σ ρ и для зоны растяжениясправедливо: σ θ = σ 11 , σ ρ = σ 33 . В этом случае условие пластичностипринимает вид:σ θ − σ ρ = βσ sДля зоны сжатия: σ θ < σ ρ , следовательно σ θ < σ z < σ ρ , и для зонысжатия σ θ = σ 33 , σ ρ = σ11 . В этом случае условие пластичности принимаетвид:σ ρ − σ θ = βσ sРешаем совместно уравнение равновесия с условием пластичностираздельно для каждой зоны.Для зоны растяжения:− βσ sdσ ρ+σ ρ − σθdρ= 0 , или dσ ρ = βσ sρρdρОткудаσ ρ = βσ s ln ρ + CГраничные условия: σ ρσ ρ = βσ s lnρRρ =R= 0 , тогда C = − βσ s ln R . Окончательно:, или σ ρ = − βσ s lnRρ,217с учетом условия пластичности σ θ − σ ρ = βσ s⎛R⎞σ θ = βσ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝Для зоны сжатия уравнение равновесия будет иметь вид:dσ ρ βσ s+=0dρρЕго решение с учетом граничных условий σ ρ= 0 дает:ρ =rρ⎞⎛, σ θ = − βσ s ⎜1 + ln ⎟rr⎠⎝Из анализа формул для обеих зон видно, что радиальные напряженияотрицательны во всех зонах, а тангенциальные меняют знак.
Введем понятиенейтральной поверхности напряжений – поверхности радиусом ρнσ , накоторой тангенциальные напряжения меняют знак – и определим положениенейтральной поверхности напряжений. Для этой поверхности напряженияσ ρ должны быть равны как по формулам для зоны растяжения, так и поσ ρ = − βσ s lnρформулам для зоны сжатия.ρRσρ= − βσ s ln= − βσ s ln нσρ нσrρ=ρнσотсюда радиус нейтральной поверхности напряженийρ нσ = RrЭта формула впервые получена И.П.Ренне и Р.Хиллом.βσsσθσρsσθ−βσsrρнσ ρcR4.3.18Влияниеотносительногорадиусаизгиба на величину радиальных напряжений и взаимноеположение характерных поверхностей.Рассмотрим взаимное положение характерных поверхностей при гибкемоментом. Сведем полученные ранее формулы в общую таблицуR+rρc =Срединная поверхность2218Нейтральная поверхность деформацийρ нε =R+r s×2s0Нейтральная поверхность напряженийρ нσ = RrРанее мы показали, что радиус нейтральной поверхности деформацийменьше радиуса срединной поверхности.
Нейтральная поверхностьнапряжений представляет собой среднее геометрическое радиусоввнутренней и внешней поверхности, а срединная поверхности – среднееарифметическое. Известно, что среднее геометрическое всегда меньшесреднего арифметического. Таким образом, нейтральная поверхностьнапряжений лежит всегда ближе к внутреннему радиусу, чем срединнаяповерхность.С уменьшением радиуса внутренней поверхности радиус нейтральнойповерхности напряжений стремится к радиусу внутренней поверхности, апри увеличении радиуса внутренней поверхности – к радиусу срединнойповерхности.Соотношение между радиусом нейтральной поверхности напряжений идеформаций зависит от изменения толщины заготовки.
Расчеты,выполненные Е.А.Поповым, показывают, что изменение толщины заготовкипри относительных радиусах изгибаr>2s0не превышают 1%.Таким образом, радиус нейтральной поверхности деформацийнезначительно отличается от радиуса срединной поверхности.Окончательно:ρc > ρ нε > ρ нσМаксимальное радиальное напряжение возникает на нейтральнойповерхности напряжений:RRRsσ ρ max = − βσ s ln= − βσ s ln= − βσ s ln= − βσ s ln 1 +ρ нσrrRrПолученная зависимость показывает, что чем меньше относительныйрадиус изгиба, тем больше значение радиальных напряжений.2190,5-σρmax/σs0,40,30,20,1r/s0051015При r / s > 5 максимальная величина радиального напряжения непревышает 10% от напряжения текучести, а при r / s > 10 влияниемрадиального напряжения можно пренебречь, и считать, что справедливалинейная схема напряженного состояния.
Для этого случая σ θ = βσ s , анейтральная поверхность напряжений совпадаетс нейтральнойповерхностью деформаций и проходит через срединную поверхностьзаготовки.Эпюры напряжений будут иметь вид:βσsβσssσθσθσρσθ−βσsrρнρcRРасчеты выполнены по полученным формулам для r / s > 5 при r = s .4.3.19Изгибающиймоментом широкой заготовкимоментпригибкеОпределим изгибающий момент для случая, когда радиальныминапряжениями можно пренебречь:R+r.ρн = ρc =2Тогда момент, необходимый для гибки заготовки единичной ширины:220RρнRrrρнM = ∫ σ θ ρdρ =∫ (− βσ s )ρdρ + ∫ (βσ s )ρdρПосле интегрирования получим:M = βσ sr2− ρ н2 −20 .5 s22(R − ρ н )(R +ρн + R= βσ s0 .5 sρ н ) − ( ρ н − r )( ρ н + r )2=ss2= βσ s (R − r ) = βσ s44Эта формула справедлива и при изгибе без упрочнения наотносительно большой радиус, в чем можно убедиться, выполнивинтегрирование:RρнR⎛R⎞s2ρ⎞⎛M = ∫ σ θ ρdρ = ∫ (− βσ s )⎜1 + ln ⎟ ρdρ + ∫ (βσ s )⎜⎜1 − ln ⎟⎟ ρdρ = βσ sr⎠4ρ⎠⎝⎝ρнrrПриведенные выше решения справедливы для постоянной толщинызаготовки.
В действительности толщина заготовки в очаге деформацийуменьшается за счет сжимающих радиальных напряжений. Особенно этозаметно при гибки на относительно малый радиус r / s < 2 .Кроме того, в решении не учитывали упругие деформации вблизинейтральной поверхности деформаций. В этой, незначительной по размерам,зоне тангенциальные напряжения будут менять знак по линейному закону.4.3.20широкой полосы.Учет упрочнения при гибке моментомПолученное ранее решение не учитывает упрочнение заготовки и,следовательно, пригодно в большей мере для гибки в условиях горячейдеформации. При холодной штамповке влияние упрочнения велико, поэтомупроведем анализ гибки моментом с учетом упрочнения.Сделаем следующие дополнительные допущения:Пренебрегаем зоной немонотонной деформации.Считаем, что материал заготовки одинаково упрочняется прирастяжении и сжатии (изотропное упрочнение).Используем для учета упрочнения линейную аппроксимациюкривой упрочнения в координатах напряжение – логарифмическая(истинная) деформация.Нейтральные поверхности напряжений и деформаций совпадают.Первое допущение необходимо для того, чтобы не учитывать эффектБаушингера54 в зоне немонотонной деформации.
Зона немонотоннойдеформации даже при гибке на малый радиус r = s составляет менее 10% оттолщины заготовки.54Уменьшение предела текучести предварительно нагруженного образца припоследующем нагружении его деформацией обратного знака.221Для того, чтобы выяснить необходимость третьего допущения,определим интенсивность деформаций для случая гибки моментом. Пригибке моментом имеет место простое нагружение, поскольку зонойнемонотонной деформации мы пренебрегаем. В этом случае правомерноиспользоватьдеформационнуютеориюпластичности.Согласнодеформационной теории пластичности оси главных напряжений идеформаций коллинеарны.
Следовательно, деформации ε θ , ε ρ , ε z - главные.Тогда:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε z − ε ρ )2 =εi =32(− εθ − εθ )2 + (εθ − 0)2 + (0 + εθ )2 = 2 6εθ = 2 εθ=333Таким образом упрочняющий эффект тангенциальных деформаций пригибке с точностью до 15% эквивалентен упрочняющему эффектуинтенсивности деформаций.Ранее мы показали, чтоεθ =ρ−1ρнУпрочнение согласно гипотезе единой кривой зависит от накопленнойпластической деформации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
