Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Подкинематически возможным полем понимают такое поле скоростей(перемещений), которое удовлетворяет граничным условиям и условиямнеразрывности.Наиболее простые аналитические зависимости могут быть полученыпри следующих допущениях:Деформируемый материал однороден и изотропен. Модельматериала – жестко-пластическая.Справедливы физические уравнения деформационной теории3 εiпластичности в виде, предложенным А.А.Ильюшиным ε ij =sij2σiили теории течения в виде уравнений Сен-Венана – Леви – Мизеса3 εiε ij =sij2σiВ кинематически возможном поле перемещений (скоростей)допускается разрывы касательных к поверхностям разрывакомпонент, если сохраняется непрерывность нормальных кповерхностям разрыва компонент полей.Силы контактного трения не зависят от нормальных напряжений иопределяются законом трения Прандля-Зибеля.Температурные напряжения и деформации, а также силы инерциисчитают пренебрежимо малыми.Основноеэнергетическоеуравнениесправедливодлякинематически возможного поля скоростей.4.5.

Метод баланса работ (мощностей).4.5.1 Общие положения метода баланса работ (мощностей).Метод баланса работ применяли многие исследователи, в том числе,например С.Н.Петров (1914), Э.Зибель и А.Ф.Головин (30-е годы XX-го века)и др. Изначально использовали простейшую запись основногоэнергетического уравнения в виде уравнения баланса работAp = Aσ + Aτ(здесь Ap - работа активных внешних сил, Aσ - работа сил сопротивлениядеформации, Aτ - работа сил трения на контактных поверхностях), идостаточно простые поля перемещений.

Работа трения бралаВ настоящее время большее распространение получили решения,основанные на разрывных полях скоростей и использовании основного229энергетического уравнения в виде баланса мощностей. Иногда этот методназывают методом баланса мощностей, хотя принципиальных различий сметодом баланса работ он не имеет.Метод баланса мощностей основан на использовании основногоэнергетического уравнения.W p = Wσ + Wτ + WkЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Мощность внешних сил, в том случае, когда действуетсосредоточенная внешняя сила P , приложенная к инструменту (например, кпуансону), движущемуся с постоянной скоростью v0 , определяется как:W p = Pv0 = qFП v0 ,где q - удельная сила, FП - площадь пуансона.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ijε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля действительного поля скоростей справедливо равенство:σ ij ε ij = σ ιεiДействительно, воспользуемся уравнениями Сен-Венана – Леви –Мизеса:3 εi3 εi(σ ij − σ cp )ε ij =sij =2σi2σiВ главных площадках:3 εi(σ 1 − σ cp ) = 3 ε i ⎛⎜σ 1 − σ 1 + σ 2 + σ 3 ⎞⎟ = ε i ⎛⎜σ 1 − σ 2 + σ 3 ⎞⎟;ε1 =2σi2σi ⎝32 ⎠⎠ σi ⎝ε ⎛σ +σ3 ⎞ε ⎛σ +σ2 ⎞ε 2 = i ⎜σ 2 − 1⎟; ε 3 = i ⎜ σ 3 − 1⎟;σi ⎝σi ⎝2 ⎠2 ⎠Дальнейшие преобразования:εi 2(σ 1 + σ 22 + σ 32 − σ 1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ 1 ) =σi1 εi(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = ε i σ i2 = σ iε i=2σiσiСогласно энергетическому условию пластичности σ i = σ s .

Если телосчитать идеально жестко-пластическим (без упрочнения), то σ s = const .σ ij ε ij = σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 =[]Мощность сил трения на контакте с инструментом:Wτ = ∫ τ k ∆vτ dffτ230Здесь τ k - удельные контактные силы трения, определяемые по законуПрандля-Зибеля, ∆vτ - величина скорости относительного скольжения наконтактных поверхностях, fτ - площадь контакта с инструментом. Дляжестко-пластического тела интеграл может быть преобразован к виду:Wτ = ∫ τ k ∆vτ df = µ sσ s ∫ ∆vτ dffτfτВ выражении для мощности сдвига по поверхностям f l разрываскоростей обычно полагают, что величина касательного напряжения наповерхности разрыва равна максимально возможному значению τ l = k =σs3.Тогда:Wk = ∫ τ l ∆vτ l df = k ∫ ∆vτ l dfflflЗдесь ∆vτl - разрыв скоростей. Напомним, что разрыв могутпретерпевать только касательные составляющие скоростей к любойповерхности.Окончательно:⎞1⎛P = ⎜ σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ ∆vτ df + k ∫ ∆vτ l df ⎟v0 ⎜ V⎟fτfl⎝⎠Если заменить поле скоростей полем перемещений, то основноеэнергетическое уравнение примет вид, в котором баланс мощностейзаменится на баланс работ:P ⋅ ∆h = σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ ∆uτ df + k ∫ ∆uτ l dfVfτflЗдесь ∆h - малое приращение перемещения деформирующегоинструмента, ε i - интенсивность деформаций, ∆uτ - относительноеперемещение материальных частиц деформируемого тела вдоль контактныхповерхностей инструмента, ∆uτ l - разрыв поля перемещений вдольповерхностей разрыва.Последовательность шагов при использовании метода баланса работследующая:Выделяют очаг пластической деформации.Задаютсякинематическивозможнымполемскоростей(перемещений) внутри очага пластических деформаций.Вычисляют компоненты тензора скоростей деформаций (тензорадеформаций) и определяют интенсивность деформаций, величиныскоростей (перемещений) на контактных поверхностях и величиныразрывов скоростей (перемещений) на поверхностях разрыва.Составляют уравнение баланса мощностей (работ) и определяютзначение деформирующей силы.231Отличительной особенность метода баланса работ (мощностей)является то, что кинематически возможное поле скоростей (перемещений)фактически считают действительным и не пытаются улучшить решениепутем варьирования поля.4.5.2 Решение задачи осадки цилиндрического образца с помощьюметода баланса работ.В качестве примера рассмотрим уже решавшуюся нами задачуопределения удельной деформирующей силы при осадке цилиндрическогообразца.Допущения при решении задачи: материал – жестко-пластический,контактное трение – постоянно по всей контактной поверхности, придеформации пренебрегаем бочкообразностью.Пусть заготовка под действием внешней силы P сдеформировалась навеличину ∆h .

Примем, что перемещения в заготовке распределены линейновдоль оси z .zPτkτk∆h∆huzz=hρdТогда для произвольного сечения справедливо:∆huz = −zhОчевидно, что граничные кинематические условия по перемещениямвыполняются.Напряженное состояние при осадке цилиндрической заготовки –осесимметричное. Компонентами тензора деформаций являются величиныε ρ , εθ , ε z , γ ρθ , γ θz , γ ρzВеличину осевой деформации можно определить непосредственно:∂u∆hεz = z = −h∂zОстальные деформации определим из условия несжимаемости:232∂u ρuρ∂u z=0∂ρ∂zρпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:1 ∂(u ρ ρ ) − ∆h = 0ρ ∂ρhИнтегрируя, получим:1 ∆h 2ρ + f ( z ) , при ρ = 0, u ρ = 0 → f ( z ) = 0uρ ρ =2 hОкончательно:1 ∆h1 ∆hρ , тогда ε ρ == εθuρ =2 h2 hСдвиговые деформации в площадках θ отсутствуют, посколькунапряженное состояние – осесимметричное, следовательно: γ ρθ = γ θz = 0 .

Сε ρ + εθ + ε z = 0;→∂u ρ++∂u z= 0 . Таким образом, деформации ε ρ , εθ , ε z ∂z∂ρглавные. Попутно заметим, что, поскольку все деформации постоянны, тонапряженное состояние – однородное.Интенсивность деформаций определим следующим образом:другой стороны γ ρz =2εi =3+(ε ρ − εθ ) + (εθ − ε z ) + (ε ρ − ε z )222=022∆h2 ⎛ 3 ∆h ⎞ ⎛ 3 ∆h ⎞=⎜⎟ +⎜⎟ =3 ⎝2 h ⎠ ⎝2 h ⎠hСоставляющие уравнения баланса работ55:Ap = P ⋅ ∆hdh2dh2∆h2πρdρdz =h00Aσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ∫ ε i 2πρdρdz = σ s ∫ ∫00Vd2 2∆h ρ2π=σs2hhz 0 =σs0πd 24d2∆hAτ = 2τ k ∫ ∆udf = 2τ k ∫ u ρ 2πρdρ = τ k0fτd3 2∆h ρ2π=τkh30=τkd2∆h2πρ 2 dρ =∫h 0πd 3 ∆h12 hили55Коэффициент 2 в формуле для Aτ присутствует т.к. существует двеповерхности, трение на которых одинаково.233P∆h = σ sπd 2πd 3 ∆h∆h + τ k412 hприняв трение по Прандтлю τ k = µ sσ s , окончательно получимπd 2 ⎛1 d⎞⎜1 + µ s ⎟ - уже известная нам формула Зибеля.4 ⎝ 3 h⎠Эту формулу мы получали ранее с помощью инженерного метода,предположив, что касательные напряжения по высоте заготовки изменяютсялинейно.P =σs4.5.3 Определение удельной силы прямого выдавливания методомбаланса работ.Считаем, что очаг деформации ограничен двумя сферами, радиусамисоответственно a, b (см.

рис.1). Выше и ниже этих сфер металл находится вабсолютно жестком состоянии. Используем сферическую систему координатρ ,θ , ϕ (рис.2).Напомним, что в сферической системе координат положение точки впространстве определяется радиус- вектором точки ρ и двумя углами θ , ϕ .Угол ϕ отсчитывается от оси z и аналогичен географической широте, а уголθ - от некоторой оси в плоскости, перпендикулярной оси z и аналогиченгеографической долготе.Элементарный объем выделяем двумя меридиональными сечениями(плоскости, проходящие через ось z ), развернутыми друг относительно другана угол dθ , двумя коническими сечениями, образующие которых выходят изначала координат и составляют между собой угол dϕ , и двумя сферическимисечениями с центрами сфер, расположенными в начале координат иотстоящими друг от друга на расстояние dρ .234v0ПуансонКонтейнерЗаготовкаzDvbρv0Mkϕ∆vbµsσs∆vabθϕv1γρadv1Рис.1Рис.2В нашем случае, исходя из физического смысла задачи, мы имеем делос осесимметричным напряженным состоянием.

При осесимметричномнапряженном состоянии, рассмотренном в сферической системе координат,напряжения и деформации не зависят от координаты θ , а касательныенапряжения и сдвиговые деформации, содержащие в индексе эту координату,равны нулю. (Рис. 3).235ερσρdθτρϕϕσθγρϕσϕεϕεθdϕРис.3Для определения деформированного состояния рассмотрим изменениеположения дуги AB радиусом ρ и углом dϕ , расположенной вмеридиональном сечении в общем случае осесимметричного состояния.Пусть за некоторый промежуток времени dt дуга переместится из положенияAB в положение A' B' .УВид УA'uρB'Aϕ ρAA'BdϕРис. 4Перемещение дуги в направлении координаты ρ обозначим через u ρ .Тогдаερ =∂u ρ∂ρ,()ρ + uρ d ϕ − ρ d ϕ uρA ' B '− AB==.ABρdϕρДеформацию εθ можно представить как изменение длин окружностей,проходящих через точки A и A' в сечениях, перпендикулярных оси z :2π rA ' − 2π rA ( ρ + u ρ )sin ϕ − ρ sin ϕ u ρεθ ==== εϕ2π rAρ sin ϕρεϕ =236В нашем случае деформации ε θ , ε ϕ - отрицательные, посколькуразмеры соответствующих дуг при выдавливании уменьшаются.

Характеристики

Список файлов книги