Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Исходя иззакона постоянства объема, можно заключить, что деформация ε ρ положительная и в два раза больше ε θ , ε ϕ по абсолютной величине:ε ρ + εθ + ε ϕ = 0, εθ = ε ϕ⇒ε ρ = −2εθ = −2ε ϕПоскольку мы имеем дело с осесимметричной деформацией, то в схемедеформированного состояния присутствует только одна сдвиговаядеформация γ ρϕ (рис.3). Таким образом, площадки θ являются площадкамиглавных деформаций.Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для скоростейдеформации, тогда:vρ∂vρ1, εθ = ε ϕ =ερ == − ερ2∂ρρСхема напряженного состояния в очаге деформации является схемойвсестороннего неравномерного сжатия.Задачу будем решать методом баланса мощностей, для чегорассмотрим следующее кинематически возможное поле скоростей:в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси выдавливания;в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении вершины конической матрицы с некоторойпеременной скоростью v ρ .Из условия постоянства объема следует:D2b2v1 = v0 2 = v0 2daОпределим скорость v ρ в очаге деформации:ε ρ + εθ + ε ϕ = 0∂v ρvρ=0ρ∂ρ∂vρ ρ 2 = 0∂ρ(+2)vρ ρ 2 = f ( ϕ )Неизвестную функцию f (ϕ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (рис.1).

Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точекпри переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,237что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага. В нашемслучае на границе очага ρ = b справедливо:v ρ = −v0 cos ϕ;vτ = −v0 sin ϕЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:−b 2v0 cos ϕ = f ( ϕ )Откудаb2v ρ = −v0 2 cos ϕρЗапишем уравнение баланса мощностей:W p = Wσ + Wτ + WkЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ijε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε ϕ )2 + (ε ϕ − ε ρ )2 + 3 γ ρ2ϕεi =32с учетом∂v ρb2= 2v0 3 cos ϕερ =∂ρρvρb2= −v0 3 cos ϕε ϕ = εθ =ρρ1 ∂v ρb2γ ρϕ == v0 3 sin ϕρ ∂ϕρполучим22⎞⎞b2b23 ⎛ b22 ⎛⎜⎟εi =2⎜ 2v0 3 cos ϕ + v0 3 cos ϕ ⎟ + ⎜⎜ v0 3 sin ϕ ⎟⎟ =2⎝ ρ3ρρ⎝⎠⎠b213 22 b22=v0 3 18 cos ϕ + sin ϕ =v0 3 11cos 2 ϕ + 123ρ3 ρМощность пластической деформации:238γb1b2v0 3 11cos 2 ϕ + 1 × 2πρ sin ϕ × ρ d ρ d ϕ =3 ρWσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫∫V0adVεibγ2dρ=σ s v0π b 2 ∫11cos 2 ϕ + 1 × sin ϕd ϕ∫ρ 03aВторой интеграл является табличным:122∫ 11cos ϕ + 1 sin ϕdϕ = − 2 cos γ 11cos γ + 1 −0γ)(()1111ln 11 + 2 3ln 11 cos γ + 11cos 2 γ + 1 + 3 +2222Полученное выражение достаточно сложно.

Нетрудно заметить, что в−интервале углов конусности матрицы γ = 0…π3с точностью до 2.5%полученное выражение можно заменить на:γ∫11cos 2 ϕ + 1 sin ϕdϕ ≈ 3 sin 2 γ0Физический смысл такой замены можно прояснить, рассмотреввыражение для интенсивности скоростей деформаций, в которомпренебрежем скоростями деформации сдвига: γ ρϕ ≈ 0 . Тогда онопреобразуется к виду:b2ε i = 2v0 3 cos ϕ = ε ρρВ этом случае второй интеграл будет иметь вид:γ∫12 cos ϕ sin ϕdϕ = 3 sin 2 γ0Таким образом, для относительно малых углов конусности матрицысдвиговыми деформациями в очаге пластических деформаций можнопренебречь. Поскольку в реальных условиях центральный угол 2γ непревышает 110…130 градусов, то подобное допущение правомерно.

Тогдаокончательно выражение для мощности пластической деформации приметвид:2bσ s v0π b 2 × ln × 3 sin 2 γWσ =a3bD2R2, πR = FП , 2 ln = ln 2 окончательно получимУчитывая b =asin γdWσ = σ s FП v0 lnD2d2239Мощность сил трения по поверхности матрицыbWτ =b2∫ τ k ∆vτ k df = µ sσ s ∫ v0 ρ 2 cos γ × 2πρ sin γ d ρ =fτadF∆v= µ sσ s v0 2π b 2 cos γ sin γ lnπ R2bb2= µ sσ s v0 2 cos γ sin γ ln 2 =asin γaµsD2σ s v0 FП ln 2=tan γdМощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = b ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации.Для верхней границы разрыва:Wkb = k ∫fs=γγ2π b 2∆vτ s df =v0 sin ϕ × 2π b sin ϕ ⋅ bd ϕ =σ s v0 ∫ sin 2ϕd ϕ =∫3030σs∆vdf2π b 211 π R2⎛1⎞σ s v0 ⎜ γ − sin 2γ ⎟ =σ s v0 ( 2γ − sin 2γ ) =43⎝2⎠ 2 3 sin 2 γ⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎟⎟22 3⎝ sin γ ⎠С ошибкой не превосходящей 2% в интервале углов используемых напрактике выражение в скобках может быть заменено более простым (см.рис.5):⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎜⎜⎟⎟ = 1.362γ2sinγ⎝⎠ТогдаWkb ≈ 0.393σ s v0 FП γВыражение для мощности трения сдвига ( ρ = a ) по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с выражением для верхнейповерхности.

Таким образом, суммарная мощность сил трения сдвига сучетом упрощений принимает вид:Wk = 0.786σ s v0 FП γМощность внешних сил, действующих на пуансон, запишем вследующем виде:W p = qFП v0=1σ s v0 FП ⎜⎜2400.80.62γsin( 2 γ )2sin γ1.362 γ0.41.289 tan( γ )0.20γ020°40°60°Рис. 5Используя уравнение баланса мощностей окончательно получимвыражение для удельной силы на пуансоне:⎤⎡⎛µs ⎞ D2⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ d⎦⎣⎝Кроме того, на металл действуют следующие удельные силы трения остенки контейнера и калибрующего пояска в жестких зонах. Предполагаядавление на стенки равным напряжению текучести, получим значенияудельных сил трения (для их определения воспользуемся законом тренияПрандтля):между стенками контейнера и верхней жесткой зоной τ k = µ s1σ sмежду калибрующим пояском и нижней жесткой зоной τ k = µ s 3σ sТогда мощность трения в контейнере и в калибрующем пояске,Wτ 1 = µ s1σ s v0π DL ;Wτ 3 = µ s3σ s v0π dlОкончательно с учетом этих слагаемых:⎡⎛µ s2 ⎞ D 2Ll ⎞⎤⎛⎟⎟ ln 2 + 0.786γ + 4⎜ µ s1 + µ s 3 ⎟⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ dDd ⎠⎦⎝⎣⎝Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:D2σ s ln 2 - работа деформации в очаге деформацииdL4σ s µ s1 - трение в контейнереD241µs2 D2σsln- трение по поверхности конической матрицыtan γ d 2l- трение в калибрующем пояскеd0.786σ s γ - трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что, с увеличением угла наклонаобразующей матрицы, силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.

Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформированияявляется минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.Для нахождения оптимального значения угла необходимо приравнятьнулю производную от удельной силы по углу.ТогдаDsin γ = 2.54 µ s 2 lndПри волочении контейнер может отсутствовать. Для определенияудельной силы при волочении очаг деформации принимается таким же, как ипри прессовании.

Силами трения в калибрующем пояске матрице можнопренебречь, тогда удельная сила деформирования определится по формуле:⎤⎡⎛µ s2 ⎞ D 2⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ d⎦⎣⎝На рис.6 представлено изменение отношения удельной силыдеформирования к напряжению текучести при различных углах конусностиматрицы для D / d = 1.1 , µ s = 0.1 по результатам полученной формулы.Согласно расчету оптимальный угол конусности для этих данных равенприблизительно 10 градусам.4σ s µ s 3q/σs0.80.60.40.2γ010°20°30°Рис.62424.5.4 Определение осевых напряжений в стенке стаканчика привытяжке с утонением методом баланса работ.Считаем, что металл в очаге пластической деформации находится вплоском деформированном состоянии.

Иными словами – пренебрегаемокружными деформациями. Проанализируем адекватность этого допущения.Пусть:s −s∆sεs = 1 0 = −- деформация стенки стаканаs0s0H − H 0 s 0 (D0 + d )∆sεh = 1=−1 ≈- деформация в направлении высотыH0s1 (D1 + d )s1стаканаиз условия постоянства объема:π D02 − d 2 H 0 = π D12 − d 2 H 1D − D1∆s=εd = 0- деформация в окружном направленииD00.5 D0()()243Поскольку s 0 , s1 << 0.5 D0 , то ε d << ε h , ε s . Таким образом окружнымидеформациями можно пренебречь и считать напряженное состояние –плоским деформированным.Осевые напряжения в стенке стакана определим из выражения длямощности активных внешних сил.

Мощность внешних сил, действующих напуансон, запишем в следующем виде:W p = qFП v1 = σ z s1v1 × π d1Примем цилиндрическую систему координат, с началом координат вточке пересечения образующей конуса с пуансоном. Очаг деформациисчитаемограниченнымдвумядугамиокружностейрадиусами,соответственно R, r .ssR = 0 ,r = 1sin γsin γРассмотрим следующее кинематически возможное поле скоростей:в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси движения пуансона. Очевидно, чтоскорость металла в нижней жесткой зоне равна скорости пуансона;в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении точки пересечения образующих коническойматрицы с некоторой переменной скоростью vρ .Из условия постоянства объема скорость металла выше очагадеформации:sv0 = v1 1s0Определим скорость vρ в очаге деформации:ε ρ + εθ + ε z = 0ερ =∂v ρ, εθ =vρ∂ρρ∂v ρ v ρ+=0∂ρρ1 ∂(v ρ ρ ) = 0ρ ∂ρv ρ ρ = f (θ )= −ε ρ , ε z = 0Неизвестную функцию f (θ ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (см.

рис.). Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точекпри переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,244что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага. В нашемслучае на границе очага ρ = r справедливо:v ρ = −v1 cosθ ;vτ = −v1 sin θЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:− rv1 cosθ = f (θ )Откудаrv ρ = −v1 cosθρЗапишем уравнение баланса мощностей:W`p = Wσ + Wk + WτЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ij ε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε z − ε ρ )2 + 3 γ ρθ2εi =32с учетом∂v ρrερ == v1 2 cosθ∂ρρvρrεθ == −v1 2 cosθρεz = 0ρ1 ∂v ρr= v1 2 sin θρ ∂θρполучимγ ρθ =22⎞⎞2 ⎛ r3⎛ rεi =6 ⎜⎜ v1 2 cosθ ⎟⎟ + ⎜⎜ v1 2 sin θ ⎟⎟ =32⎝ ρ⎝ ρ⎠⎠2r31rv1 2 6cos 2 θ + sin 2 θ =v1 2 4cos 2 θ + sin 2 θ323 ρρoПри γ < 20 сдвиговыми деформациями можно пренебречь, тогда:=24522 rεθ =v1 cosθ33 ρ2Мощность пластической деформации:εi =γR2rv1 2 cosθ × ρ d ρ dθ × 1 =3 ρ0rdVWσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ∫Vεis2R2σ s v1r sin γ ln =σ s v1s1 ln 0rs133Мощность сил трения на поверхности инструмента складывается из силтрения по поверхности матрицы и по поверхности пуансона.

СледуяЕ.А.Попову, попытаемся учесть силы трения исходя из закона АмонтонаКулона.τ k = µσ n = µσ θВ первом приближении будем считать, что тангенциальные напряженияв очаге деформации не зависят от трения на контактных поверхностях. Тогдав очаге деформации уравнение равновесия будет иметь вид:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρУсловие пластичности:σ ρ −σθ = σ sИнтегрируя уравнение равновесия совместно с условием пластичностипри граничных условиях:σρ=0=ρ =Rполучим:σ ρ = σ s lnRρ,⎛R⎞σ θ = −σ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝тогда удельные силы трения на поверхностях пуансона и матрицы:⎛R⎞τ k = µσ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝Определим направление сил трения.Трение по матрицеrrvинстр = 0 , v матер = v1 cos γ , ∆vτ = v1 cos γρρТаким образом, трение по матрице препятствует движению материала иявляется пассивным.Трение по пуансону:⎛r⎞rrvинстр = v1 , v матер = v1 , ∆vτ = v1 − v1 = v1 ⎜⎜ − 1⎟⎟ < 0ρρ⎝ρ⎠246Таким образом, трение по пуансону помогает течению материала иявляется активным.Мощность сил трения по матрицеRWτ м = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1Fr⎛R⎞cos γ × µσ s ⎜1 − ln ⎟ × d ρ × 1 =ρρ⎠⎝dFr∆vτR⎛R ⎞ dρR⎛ 1 R⎞= µσ s v1r cos γ ∫ ⎜1 − ln ⎟= µσ s v1r cos γ ln ⎜1 − ln ⎟ =ρ⎠ ρr⎝ 2 r⎠r⎝s ⎛ 1 s ⎞s1R⎛ 1 R⎞sln ⎜1 − ln ⎟ = µσ s v1 1 ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟tan γ r ⎝ 2 r ⎠tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠RR⎛R ⎞ dρdρ⎜⎟()−1ln1lnlnρ=−+=R∫ ⎜⎝⎟ ρ ∫ρρ⎠rr1= (1 − ln R )(ln R − ln r ) + ln 2 R − ln 2 r =2R 1RR= (1 − ln R )ln + ln Rr ln = ln 1 − ln R + ln Rr =rr 2r1 RR⎛r⎞R⎟ = ln ⎛⎜1 − ln ⎞⎟= ln ⎜⎜1 + lnr⎝R ⎟⎠r⎝ 2 r⎠Мощность сил трения по пуансону= µσ s v1()()R⎛r⎞⎛R⎞Wτ п = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1 ⎜ − 1⎟ × µσ s ⎜1 − ln ⎟ × d ρ × 1 =ρ ⎠ρ⎠⎝Fr ⎝dF∆vτR⎡ R⎛⎛R ⎞ dρR⎞ ⎤= µσ s v1 ⎢ r ∫ ⎜1 − ln ⎟− ∫ ⎜ 1 − ln ⎟ d ρ ⎥ =ρ⎠ ρ r⎝ρ⎠ ⎥⎢⎣ r ⎝⎦R⎛ 1 R⎞R= µσ s v1r ln ⎜1 − ln ⎟ − r ln =r⎝2 r⎠rs 1 2 s0ln= − µσ s v1 1sin γ 2s1R⎛R⎞R⎜⎟⎟dρ = [(1 − ln R )ρ + ρ ln ρ − ρ ]r =1−ln∫ ⎜⎝ρ⎠rRrМощность сил трения по пуансону имеет отрицательный знак, что ещераз подтверждает активный характер сил трения по пуансону.= (1 − ln R )(R − r ) + R ln R − R − r ln r + r = r ln247Мощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = R ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации ( ρ = r ).Для верхней границы разрыва:WkRσsγγσsrvRdv1r ∫ sinθ dθ == k ∫ ∆vτ dF =sin××1=θθ13∫ R3dF=F0σsγ3v1r ( − cosθ ) =00∆vσs3v1r (1 − cos γ ) =s2γσ s v1 1 sin 2 =sin γ231γσ s v1s1 tan23Выражение для мощности трения сдвига по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с только что полученным дляверхней поверхности.

Характеристики

Список файлов книги