Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

При монотонной деформации (гибка моментомпроисходит при монотонной деформации) накопленная пластическаядеформация пропорциональна логарифмической деформации. Е.А.Поповпредложил использовать в качестве меры упрочнения логарифмическуюдеформацию δ θ .δ θ = ln(1 + εθ ) = lnρρнТангенциальная логарифмическая деформация в зоне растяженияположительна, а в зоне сжатия отрицательна.

Таким образом, с учетом 2-годопущения об одинаковом упрочнении материала при растяжении и сжатииможно использовать единый закон упрочнения:σ s = σ s 0 + Πδ θ , где П – модуль упрочнения.Тогда:для зоны растяжения ( εθ > 0 ): σ s = σ s 0 + Π lnдля зоны сжатия ( εθ < 0 ): σ s = σ s 0 − Π lnρ;ρнρ;ρнТогда условие пластичности иметь вид:для зоны растяжения:σ θ − σ ρ = βσ s = β (σ s 0 + Πδ θ )для зоны сжатия:σ θ − σ ρ = − βσ s = − β (σ s 0 − Πδ θ ) .222Знак перед коэффициентом Лоде обсуждался ранее при анализе гибкибез упрочнения, а знак перед показателем упрочнения необходимо ввести взоне сжатия, поскольку там знак δθ < 0 .Воспользуемся тем же уравнением равновесия, что и при анализе гибкибез упрочнения:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρТогда для зоны растяжения имеем:⎛dρln ρρ ⎞ dρ⎟⎟dσ ρ = β ⎜⎜ σ s 0 + Π ln= β (σ s 0 − Π ln ρ н )+ βΠdρρρρρн⎠⎝Интегрируя, получим:ln 2 ρ+C2Произвольную постоянную определим из граничных условий:σρ= 0 , тогдаσ ρ = β (σ s 0 − Π ln ρ н )ln ρ + βΠρ =Rln 2 RC = − β (σ s 0 − Π ln ρ н )ln R − βΠ, подставив которую придем к:2βΠ 2σ ρ = β (σ s 0 − Π ln ρ н )(ln ρ − ln R ) +ln ρ − ln 2 R =2Π⎛⎞ ρ= β ⎜ σ s 0 − Π ln ρ н + ln ρR ⎟ ln =2⎝⎠ R()ΠΠ⎛⎞ ρ= β ⎜ σ s 0 − ln ρ н2 + ln ρR ⎟ ln =22⎝⎠ R⎛⎛Π ρR ⎞⎟ ρΠ ρR ⎞⎟ R= β ⎜ σ s 0 + lnln = − β ⎜ σ s 0 + lnln2⎟ R2⎟ ρ⎜⎜22ρρн⎠н⎠⎝⎝Для зоны сжатия:⎛dρln ρρ ⎞ dρ⎟⎟dσ ρ = − β ⎜⎜ σ s 0 − Π ln= − β (σ s 0 + Π ln ρ н )+ βΠdρρρρн ⎠ ρ⎝Интегрируя, получим:ln 2 ρσ ρ = − β (σ s 0 + Π ln ρ н )ln ρ + βΠ+C2Произвольную постоянную определим из граничных условий:σρ= 0 , тогдаρ =rC = β (σ s 0 + Π ln ρ н )ln r − βΠln 2 r, подставив которую придем к:2223σ ρ = − β (σ s 0 + Π ln ρ н )(ln ρ − ln r ) +(ln 2 ρ − ln 2 r ) =2βΠΠ⎛⎞ ρ= − β ⎜ σ s 0 + Π ln ρ н − ln ρr ⎟ ln =2⎝⎠ rΠΠ⎛⎞ ρ= − β ⎜ σ s 0 + ln ρ н2 − ln ρR ⎟ ln =22⎝⎠ r⎛Π ρ н2 ⎞⎟ ρ⎜= − β σ s 0 + lnln⎜⎟ rρr2⎝⎠Величину радиуса нейтральной поверхности определим исходя изравенства радиальных напряжений на границе зон растяжения и сжатия:⎛⎛Π ρR ⎞⎟ RΠ ρ н2 ⎞⎟ ρ⎜⎜− β σ s 0 + ln= − β σ s 0 + lnlnln2 ⎟ ρ ρ=ρ⎜⎜⎟ρ=ρr22ρρн ⎠нн⎝⎝⎠ r⎛⎛Π ρ н2 ⎞⎟ ρ нΠ ρ н R ⎞⎟ R⎜⎜lnln= − β σ s 0 + ln− β σ s 0 + ln2 ⎟ ρ⎟ r⎜⎜ρr22ρннн ⎠⎠⎝⎝⎛ Rρ ⎞ Π⎛ρ ⎞R− ln н ⎟⎟ + ⎜⎜ ln 2− ln 2 н ⎟⎟ = 0σ s 0 ⎜⎜ lnr ⎠ 2⎝r ⎠ρн⎝ ρн⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎢σ + Π ⎛⎜ ln R + ln ρ н ⎞⎟⎥⎛⎜ ln R − ln ρ н ⎞⎟ = 0⎢ s 0 2 ⎜⎝ ρ нr ⎟⎠⎥⎜⎝ ρ нr ⎟⎠⎥⎢RRr⎥⎢lnln 2⎥⎢⎣⎦rρнВыражение в квадратных скобках всегда положительно, поэтомуRrln= 0 , откуда ρ н = Rr .ρ н2Таким образом, при учете упрочнения радиус нейтральнойповерхности можно определить по той же формуле, что и для гибки безупрочнения.

С учетом полученного выражения для радиуса нейтральнойповерхности формулы для радиальных напряжений преобразуются к виду:для зоны растяжения:Π ρ⎞ R⎛σ ρ = − β ⎜ σ s 0 + ln ⎟ ln2 r⎠ ρ⎝для зоны сжатия:⎛Π R⎞ ρσ ρ = − β ⎜⎜ σ s 0 + ln ⎟⎟ ln2 ρ⎠ r⎝224Выражения для тангенциальных напряжений определим из условияпластичности:для зоны растяжения:⎛ρ ⎞σ θ = σ ρ + β ⎜⎜ σ s 0 + Π ln ⎟⎟ρн ⎠⎝Π ρ⎞ Rρ ⎞⎛⎛σ θ = − β ⎜ σ s 0 + ln ⎟ ln + β ⎜ σ s 0 + Π ln⎟=2 r⎠ ρRr ⎠⎝⎝⎡⎛R⎞ Π⎛ρρ R ⎞⎤= β ⎢σ s 0 ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ln− ln ln ⎟⎟⎥ =r ρ ⎠⎦ρ⎠ 2⎝Rr⎝⎣⎡⎛R ⎞ Π ⎛⎜ ρ 2ρ ρ ⎞⎟⎤= β ⎢σ s 0 ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ ++ ln ln ⎥lnr R ⎟⎠⎥ρ ⎠ 2 ⎜⎝ Rr⎢⎣⎝⎦для зоны сжатия:⎛ρ ⎞σ θ = σ ρ − β ⎜⎜ σ s 0 − Π ln ⎟⎟ρн ⎠⎝⎛Π R⎞ ρρ ⎞⎛σ θ = − β ⎜⎜ σ s 0 + ln ⎟⎟ ln − β ⎜ σ s 0 − Π ln⎟=2 ρ⎠ rRr ⎠⎝⎝⎡ρ⎞ Π⎛ρρ R ⎞⎤⎛− ln ln ⎟⎟⎥ == − β ⎢σ s 0 ⎜1 + ln ⎟ − ⎜⎜ 2 lnr⎠ 2⎝r ρ ⎠⎦Rr⎝⎣⎡ρ ⎞ Π⎛ ρ2ρ ρ ⎞⎤⎛= − β ⎢σ s 0 ⎜1 + ln ⎟ − ⎜ ln+ ln ln ⎟⎥r ⎠ 2 ⎜⎝ Rrr R ⎟⎠⎥⎝⎢⎣⎦Естественно, что при Π = 0 выражения для напряжений приводятся квиду, полученному ранее без учета упрочнения.

Эпюры напряжений с учетомупрочнения примут вид (в расчетах Π = 5σ s ):β[σs+Пln(R/ρн)]σθσρsσθσθρн ρс2254.3.21Минимальнаявнутреннего радиуса изгиба.допустимаявеличинаМинимально допустимая величина внутреннего радиуса изгибаограничивается отсутствием разрушения. При изгибе трещины появляютсяна внешнем радиусе изогнутой заготовки. По теории Колмогороваразрушение проявляется при достижении накопленной деформацией сдвиганекоторого предельного значения, зависящего от схемы напряженногоttсостояния.

Накопленная деформация сдвига Λ = ∫0 Ηdτ = ∫0 3ε i dτ . Примонотонной деформации в первом приближении интенсивность скоростидеформации пропорциональна интенсивности деформации ε i ∝ ε i . Для гибкиε i = 1.15 εθ . Таким образом, при гибке накопленная деформация сдвигапропорциональна тангенциальным деформациям.

Тогда зона разрушенийопределяется максимальным значением εθ и схемой напряженногосостояния. Если пренебречь зоной немонотонной деформации и считатьρ н = ρ c = 0.5(R + r ) = r + 0.5s , то максимальные деформации с точностью дознака будут равны на внутреннем и внешнем радиусах:(r + s ) − (r + 0.5s ) = sRεθR =−1=ρcr + 0.5s2r + srr − (r + 0.5s )sεθr ==−−1=ρcr + 0.5s2r + sИз приведенных формул видно, что максимальная величинадеформации εθ max = ±1 при r = 0 . Таким образом, тангенциальнаядеформация при гибке – деформация 2-го рода.Поскольку на внешней поверхности напряженное состояниехарактеризуется двумя растягивающим напряжениями σ z ,σ θ и однимсжимающим σ ρ , а на внутреннем слое все три напряжения сжимающие(всестороннее неравномерное сжатие), то пластичность материала навнешнем слое меньше, следовательно, там и появится первая трещина.Величина допустимой деформации наружного слоя приближенносоответствует величине максимальной деформации при испытании нарастяжение ψ p .Тогда:1=ψ p⎛r⎞+12⎜ ⎟⎝ s ⎠minПосле несложных преобразований получаем1 −ψ p⎛r⎞=,⎜ ⎟2ψ p⎝ s ⎠minεθ max =226F0 − Fmin- относительное сужение в момент разрушения приF0испытании на растяжение.Из формулы видно, что чем пластичнее металл, т.е.

чем большеотносительное сужение, тем меньше может быть принят внутренний радиус вучастке изгиба (радиус пуансона). При ψ = 0 (хрупкий металл) изгибневозможен (), а при ψ = 1 (абсолютно пластичный материал) теоретическиможно осуществлять гибку на нулевой радиус.где ψ p =4.3.22Пружинение при гибке. Остаточныенапряжения и деформацииПри снятии внешних деформирующих сил возникают деформацииразгрузки, которые изменяют угол изгиба, полученный при пластическойдеформации. Это явление называется пружинением. Пружинение происходитиз-за того, что всякая пластическая деформация сопровождается упругойдеформацией. При разгрузке слои заготовки, находящиеся в зонетангенциального растяжения, укорачиваются, а слои, находящиеся впроцессе деформирования в зоне сжатия, удлиняются.

В результатевозникает изгибающий момент разгрузки, направленный в сторону,противоположную моменту при нагрузке.Если тело при нагружении испытывало неоднородную деформацию, (апри гибке деформация неоднородна – в зоне растяжения материальныеволокна растягиваются, а в зоне сжатия – сжимаются) то при разгрузке в немвозникнут остаточные напряжения. Когда остаточные напряженияуравновесятся, процесс разгрузки прекратится.Для анализа пружинения воспользуемся теоремой о разгрузкеИльюшина. Согласно этой теореме связь между напряжением идеформациями при разгрузке подчиняется закону Гука.

Величина остаточныхнапряжений равна разности между напряжениями, действующими внагруженном теле и фиктивными напряжениями, которые возникли бы в телепри том же внешнем силовом воздействии, но при условии только упругогодеформирования.Рассмотрим пружинение при гибке моментом широкой полосы наотносительно большой радиус.

В этом случае влиянием напряжений σ ρ напроцесс деформирования можно пренебречь. Будем считать модельматериала идеальной жестко-пластической. Для упрощения вычисленийкоэффициент Лоде в формуле для определения изгибающего моментапримем равным 1. Условие равенства момента пластического изгиба безупрочнения и фиктивного момента упругих деформаций будет иметь вид:σ s s 2bσ ' bs 2= σ 'W =,M=64где b - ширина полосы, W - момент сопротивления изгибу, σ ' - фиктивныенапряжения, действующие во внешних слоях при упругом нагружении.227Тогда σ '= 1.5σ s , а распределение остаточных напряжений по толщинематериала:2yy⎞⎛σ ост = σ s − σ у = σ s − σ ' = σ s ⎜1 − 3 ⎟ss⎠⎝Здесь σ y - фиктивное напряжение, действующее на расстоянии y отсрединной поверхности.σ'σs/2σsσyysσостРазгрузка происходит в условиях упругого деформирования,следовательно, угол пружинения можно определить по известной формулесопротивления материалов для изгиба моментом:Mlθ== ∆αEIВ нашем случае момент инерции поперечного сечения относительноσ s s 2bbs 3, длина нейтрального слоя всрединной поверхности I =, M=124поперечном сечении l = ρ cα (здесь α - угол, на который изогнуластьзаготовка после пластической деформации).

E - модуль упругости 1-го рода.Тогда:⎛ σ s s 2b ⎞ρα⎜4 ⎟⎠ cσ s ρc⎝=3α∆α =3Es⎞⎛E ⎜ bs⎟⎝ 12 ⎠4.4. Энергетические методы решения.Изученный нами инженерный метод в своей математической основебазировался на совместном решении уравнений равновесия и условийпластичности с использованием различных упрощающих допущений.Целый ряд методов, относящихся к группе энергетических, основанына законе сохранения энергии и экстремальных и вариационных теоремахтеориипластичности.Этоосновноеэнергетическоеуравнение,кинематическая теорема (теорема о верхней оценке), принцип минимумаполной мощности.Основное достоинство энергетических методов – возможностьполучения решения, минуя интегрирование дифференциальных уравнений228равновесия. Это очень важно, поскольку без применения упрощающихдопущений технологические задачи обработки давлением приводят кнеобходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений вчастных производных.Общийподходвэнергетическихметодахиспользованиекинематически возможного поля скоростей или перемещений материальныхчастиц для определения деформированного и напряженного состояний.

Характеристики

Список файлов книги