Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Предложеннаяфункция должна удовлетворять кинематическим граничным условиями условиям непрерывности нормальных составляющих на границахмежду зонами.Интегрированием закона постоянства объема находят недостающиекомпоненты поля скоростей.Используя поле скоростей, определяют компоненты тензора скоростейдеформаций в каждой зоне.254По значениям компонент тензора скоростей деформаций определяютвыражения для интенсивности скоростей деформаций, а по полюскоростей – выражения для величин разрыва скоростей.Составляют неравенство теоремы о верхней оценке, выполняютинтегрирование и определяют верхнюю оценку удельной силыдеформирования в функции неизвестного параметра.Определяют размеры очага деформации (неизвестный параметр)минимизацией выражения для удельной силы деформирования.4.6.2 Решение задачи об обратном выдавливании цилиндрическимпуансоном методом верхней оценки.Принципиальная схема технологического процесса изображена нарисунке.
Цилиндрический пуансон, калибрующий поясок которого имеетнаружный диаметр 2r , движется со скоростью vo . Цилиндрическийконтейнер с внутренним диаметром 2R - неподвижен. Материалвыдавливается в зазор между пуансоном и контейнером.Примем следующую расчетную схему:Очаг деформации охватывает цилиндрическую область высотой h ирадиусом R под торцом пуансона.
Выше этой области (в стенках стакана) иниже этой области (вблизи дна контейнера) материал не деформируется.Заметим, что величина h очага деформации заранее неизвестна.Сам очаг деформации разделим на две зоны:цилиндрическая зона 1 радиусом r , находящаяся под торцом пуансона,кольцевая зона 2, ограниченная внутренним радиусом r и наружным R .Жесткую кольцевую зону в стенке стакана обозначим номером 3, ажесткую кольцевую зону вблизи дна – номером 4.Воспользуемся цилиндрической системой координат, начало которойсовместим с точкой очага деформации, расположенной на оси заготовки нарасстоянии h от торца пуансона.255zv0Rr3hτk2τkτk14vρ1vz2τkvρ2vz1ρЗададимся следующей схемой движения металла в выделенных зонах:в зоне 1 металл движется вниз и в сторону, а в зоне 2 – вверх и в сторону.Силы трения существуют на контактных поверхностях пуансон –заготовка и контейнер – заготовка.Принятая нами расчетная схема предопределяет существованиечетырех границ разрыва скоростей56:между зоной 1 и зоной 2 – разрыв в скоростях v zмежду зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях v ρмежду зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρмежду зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρИсходя из расчетной схемы, определим граничные кинематическиеусловия:на границе между зонами 1 и 2 терпит разрыв только касательная кгранице составляющая скорости - v z , нормальная же составляющаядолжна быть непрерывна:v ρ1ρ =r= vρ2ρ =rна границе между зоной 2 и зоной 3 непрерывна составляющая v z :v z2z =h= v z3на границе между зоной 1 и пуансоном:v z1= −v 0z =hна границе между зоной 2 и контейнером:56В дальнейших выкладках для простоты опустим значок *, обозначающий,что мы имеем дело с кинематически возможными скоростями.256vρ2ρ =R=0на границе между зонами 1, 2 и зоной 4:v z1= v z2=0z =0z =0Сконструированное поле скоростей должно удовлетворять этимграничным условиям.
Поле скоростей должно быть относительно простым,чтобы облегчить последующее интегрирование, а с другой стороныдостаточно хорошо описывать реальное. Одним и тем же граничнымусловиям соответствует бесконечное множество кинематически возможныхполей скоростей. В любом случае поле скоростей задается исследователем.Для учебных целей предложим следующее простейшее поле скоростей.Будем считать, что в зоне 1 осевая скорость пропорциональна координате zи не зависит от координаты ρ :zv z1 = −v0hТакой закон удовлетворяет всем граничным условиям. Закон дляскорости v ρ мы не можем выбирать произвольно, т.к. поле скоростей должноудовлетворять условию неразрывности:ε ρ + εθ + ε z = 0ερ =∂v ρ; εθ =vρ; εz =v∂v z=− 0 .∂zh∂ρρТогда∂v ρ v ρ ∂v z++=0∂ρ∂zρпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:1 ∂(v ρ ρ ) − v0 = 0hρ ∂ρИнтегрируя, получим:1vv ρ ρ = 0 ρ 2 + f ( z ) , при ρ = 0, v ρ = 0 → f ( z ) = 02 hОкончательно:1v1vv ρ = 0 ρ , тогда ε ρ = 0 = ε θ2 h2 hПоскольку напряженное состояние осесимметричное, то скоростисдвиговых деформаций γ ρθ = γ θz = 0 .
Т.к. v ρ = f ( ρ ), а v z = f ( z ) , то γ ρz = 0 .Таким образом оси ρ ,θ , z - главные, следовательно, интенсивность скоростейдеформаций в 1 зоне можно определить по формуле:2εi =3(ε ρ − εθ ) + (εθ − ε z ) + (ε ρ − ε z )2=02222v2 ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞=⎜ εz ⎟ + ⎜ εz ⎟ = εz = 03 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠h257Для области 2 мы также не можем независимо выбирать v z и v ρ . Еслимы зададимся полем v ρ , удовлетворяющим граничным условиям, то изусловия неразрывности необходимо будет определять выражение для v z , инаоборот.Рассмотрим условие непрерывности в целом для всего материала:v z 3 ⋅ π R 2 − r 2 = vo ⋅ πr 2 ,отсюда:r2.v z 3 = v0 2R − r2Ранее мы показали, чтоv z 3 = v z 2 z =hследовательно:r2v z 2 z = h = v0 2R − r2Зададимся в зоне 2 также линейным полем осевых скоростей.Граничным кинематическим условиям будет удовлетворять поле:r2z×v z 2 = v0 22hR −rИз условия неразрывности ε ρ + ε θ + ε z = 0 следует:()v01 ∂r2(v ρ ) + × 2 2 = 0h R −rρ ∂ρ ρИнтегрируя, получим:r21 v0vρ ρ = −× 2 2 ρ 2 + f (z )2 h R −rДля нахождения произвольной постоянной необходимо использоватькинематические граничные условия либо на внешней, либо на внутреннейгранице зоны.
Так при ρ = R, v ρ = 0 :v0r2R2× 2f ( z ) = const =22h R − rОкончательно:⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟vρ 2 =× 2−ρ2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠Проверим удовлетворяет ли полученное поле условиям на внутреннейгранице зоны, подставив в полученную формулу значение ρ = r :vρ 2ρ =r⎞ vv0r 2 ⎛ R2⎜=× 2− r ⎟⎟ = 0 r = v ρ12 ⎜ρ =r2h R − r ⎝ r⎠ 2h258v0r/(2h)vρ-v02h12v0r2/(R2-r2)vz1vz2По прежнему γ ρθ = γ θz = 0 , v ρ = f ( ρ ), v z = f ( z ) и γ ρz = 0 .∂v z v0r2= × 2∂zh R − r2∂v ρ⎞v0r 2 ⎛ R2⎜ερ ==− × 2+ 1⎟⎟2 ⎜ 2∂ρ2h R − r ⎝ ρ⎠22v⎞⎛Rvr⎟⎜εθ = ρ = 0 × 2−1ρ 2h R − r 2 ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠εz =Aεi =23(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε ρ − ε z )2 =222⎛ R2⎞ ⎛ R2⎞ ⎛⎞2R2R2=A ⎜⎜ − 2 − 1 − 2 + 1⎟⎟ + ⎜⎜ 2 − 1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 + 2 + 1⎟⎟ =3ρρ⎝ ρ⎠ ⎝ρ⎠ ⎝⎠2222⎛ R2 ⎞ ⎛ R2⎞ ⎛ R2⎞⎛ R2 ⎞22⎜⎟⎜⎟⎜⎟=A ⎜ 2 2 ⎟ + ⎜ 2 − 3⎟ + ⎜ 2 + 3⎟ =A 6⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 18 =33⎝ ρ ⎠ ⎝ρ⎠ ⎝ρ⎠⎝ρ ⎠vo r 2R42A 4 +3==ρ33h R 2 − r 2()R4ρ4+3BОпределим величины разрывов скоростей на поверхностях разрыва.разрыв в скоростях v z между зоной 1 и зоной 2:z r2zz ⎛ R2 ⎞⎟∆v z = v z 2 − v z1 = v0+ v0 = v0 ⎜⎜ 2h R2 − r 2hh ⎝ R − r 2 ⎟⎠между зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях v ρ⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟ρ∆v ρ =× 2−2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠между зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρv∆v ρ = 0 ρ2hмежду зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρ259⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟ρ∆v ρ =× 2−2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠Кроме того, необходимо определить величины скоростей наповерхностях, где заданы внешние силы, т.е.
на поверхности Fp . В случае,если мы принимаем внешнее трение по закону Прандтля, т.е. τ k = µ sσ s , тоего можно считать внешней силой. Для определения соответствующегоинтеграла в неравенстве теоремы о внешней оценке необходимо определитьте скорости на контактных поверхностях, которые направлены вдольдействия соответствующих напряжения. Такими величинами будут:контакт между зоной 1 и пуансоном:vvρ = 0 ρ2hконтакт между зоной 2 и контейнеромr2z×v z = v0 2R − r2 hТеперь у нас есть выражения для всех составляющих, входящих всостав неравенства метода верхней оценки:******∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ pi vi dFFvVfSIIIFpIIIIVВычислим последовательно интегралы, входящие в неравенство.I: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий.
В нашем случае задана скоростьпуансона. Поверхностные силы, направленные вдоль направленияскорости пуансона – это удельные деформирующие силы. В интегралеудельные силы и скорости берутся со своими знаками. В данном случаенаправление внешних сил совпадает с направлением скорости, поэтомузнак произведения положительный.r∫ pi v0i dF = ∫ qv0 ⋅ 2πρdρ = qv0πrFv20II: Мощность в очаге пластической деформации:⎛⎞⎜σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ε i1dV1 + ∫ ε i 2 dV2 ⎟ =⎜V⎟VV2⎝1⎠R⎛ r v0⎞vr2R 4 + 3ρ 4⎟== σ s ⎜ ∫ ⋅ 2πρhdρ + ∫ 0 2⋅2hdπρρ24⎜ h⎟−Rrρ3hr⎝0⎠R⎛⎞R 4 + 3ρ 4v0πr 2122⎟⎜= σ s v0πr +dρ22 ∫⎜⎟−Rrρ23r⎝⎠2Определим интеграл с помощью замены ρ = x260R∫rR 4 + 3ρ 4ρ2dρ =2R2∫(R ) + ( 3x )22 2r2⎡= ⎢ R4 +⎢⎣x( 3x )2dx =− R 2 ln24R + R +3xR2( )⎤3x ⎥=⎥⎦ r22⎡⎤2442⎢3RR + R + 3r ⎥2Rln= ⎢2 R 2 − R 4 + 3r 4 − R 2 ln+⎥=3R 23r 2⎢⎥3⎣⎢⎦⎥⎡ 2R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤442= ⎢2 R − R + 3r + R ln⎥3r 2⎥⎦⎢⎣Окончательно⎧1R2 ⎡r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤ ⎫⎪2⎪2 − 1 + 3 4 + lnσ s ∫ ε i dV = σ s v0πr ⎨1 +⎥⎬22 ⎢2RrR3r−3⎪⎩⎥⎦ ⎪⎭⎢⎣VIII: Мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрыва скоростей.Согласно расчетной схеме существует четыре поверхности разрыва.⎛⎞*k ∫ ∆vτ df = k ⎜ ∫ ∆vz12df + ∫ ∆vρ 23df + ∫ ∆vρ 24df + ∫ ∆vρ14df ⎟ =⎜f⎟ff 23f 24f14⎝ 12⎠Rvrv⎡h v⎤⎞R2r 2 ⎛ R2000z ⋅ 2π rdz + 2 ∫= k ⎢∫− ρ ⎟ ⋅ 2πρ d ρ + ∫ ρ ⋅ 2πρ d ρ ⎥ =⎜22⎜ ρ⎟2hRr⎢⎣ 0 h R 2 − r 2−⎥⎦0 2hr⎝⎠⎡⎛R3 − r 3 ⎞ v π r 3 ⎤v0 R 2h 2 v0 r 2⎢⎥=⎜⎟+ 022π r2π R ( R − r ) −=k⎢+⎟233h ⎥h R2 − r 2h R 2 − r 2 ⎜⎜⎟⎢⎣⎥⎦⎝⎠(⎡=3((33⎛h 1 ⎜ 2R2 2 R − r⎢ R2 − r 2 r + h ⎜ R + r −3 R2 − r 2⎜⎢⎣⎝σ s v0π r 2 ⎢R2)) ⎞⎟ + r ⎤⎥) ⎟⎟⎠ 3h ⎥⎥⎦261IV: Мощность известных внешних сил.
Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s . Поскольку направление действия внешних силпротивоположно направлению возможных скоростей на контактныхповерхностях, то в произведении следует взять отрицательный знак.*∫ pi vi dF = ∫ τ k1 ( −vρ1 ) dF + ∫ τ k 2 ( −vz 2 ) dF =FpF1kF2 krhvvr2= − ∫ µ sσ s 0 ρ ⋅ 2πρ d ρ − ∫ µ sσ s 0z ⋅ 2π Rdz =222hhR −r00⎡π r3Rh ⎞π r 2 2 R h2 ⎤⎛ r= − µ sσ s v0 ⎢+= − µ sσ s v0π r 2 ⎜ +⎥⎟22⎝ 3h R 2 − r 2 ⎠⎢⎣ 3h R − r h 2 ⎥⎦Неравенство метода верхней оценки получает вид:⎧⎫1R 2 ⎡⎢r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤⎥ ⎪22⎪+ lnqv0π r ≤ σ s v0π r ⎨1 +2 − 1+ 3⎬+22⎢42⎥3−RrR3r⎪⎩⎣⎦ ⎪⎭⎡+3((33⎛h 1 ⎜ 2R2 2 R − r⎢ R2 − r 2 r + h ⎜ R + r −3 R2 − r 2⎜⎢⎣⎝σ s v0π r 2 ⎢R2) ⎞⎟ + r ⎤⎥ −) ⎟⎟⎠ 3h ⎥⎥⎦⎡Rh ⎞ ⎤⎛ r− ⎢ − µ sσ s v0π r 2 ⎜ +⎟⎥⎝ 3h R 2 − r 2 ⎠ ⎦⎣Проведя преобразования, получим:q1R2 ⎡r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤≤1+⎢2 − 1 + 3 4 + ln⎥+σsR3r 23 R 2 − r 2 ⎣⎢⎦⎥(())1 ⎡ R 2 h 1 ⎛ 2R 2 2 R3 − r 3 ⎞ r ⎤Rh ⎞⎛ r⎜⎟+−+++µ⎜⎢ 2⎥s22 ⎟3 ⎣ R − r 2 r h ⎜⎝ R + r 3 R 2 − r 2 ⎟⎠ 3h ⎦⎝ 3h R − r ⎠hRвведем обозначения = h , = Rrr2 ⎡qR 2 + R 4 + 3⎤1 R3≤1+⎢2 − 1 + 4 + ln⎥+σs3R3 R 2 − 1 ⎣⎢⎦⎥+⎛ 1 R2R ⎞ 1 ⎡1 ⎛ 11 4R 3 − 6R 2 + 2 ⎤⎞⎟⎟ + ⎢ ⎜+ h ⎜⎜+ µs 2+ µs ⎟ +⎥2h3RR−1−1333 3 R 2 −1 ⎦⎝⎠⎣⎝⎠(A)BВ приведенных выше формулах неизвестна величина очагапластической деформации h .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
