Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 42
Текст из файла (страница 42)
функцию) измножества кривых, проходящих через две точки, мы можем поставить всоответствие этой кривой ее длину (т.е. число). Тем самым мы определяемфункционал длины кривой, проходящей через две точки. Таким образом,функционал – это оператор, ставящий в соответствие каждой функции изопределенного класса функций, некоторое число.Основная задача вариационного исчисления – нахождение функций,сообщающих экстремальное значение функционалу. Такие функцииназываются экстремалями. Ясно, что для функционала длины кривойвариационной задачей будет являться нахождение минимальной длиныкривой, соединяющей две точки, а экстремалью будет являться прямая,соединяющая эти точки.4.7.2 Вариационный метод как частный случай энергетическогометода.Теперь можно ответить на вопрос, каким образом используетсявариационное исчисление в теории обработки давлением.Как известно, краевая задача теории пластичности – отысканиерешения системы дифференциальных уравнений (уравнения равновесия илидвижения) при заданных граничных условиях.
Решением являются функцииизменения напряжений и деформаций по объему деформируемого тела.В вариационном исчислении доказывается, что задачу о нахождениифункции, являющейся решением дифференциального уравнения, можнозаменить равнозначной ей задачей определения функции, которая сообщаетминимальное значение некоторому функционалу.С одним из таких функционалов мы уже встречались ранее – этофункционал полной мощности кинематически возможного поля скоростейидеально жестко-пластичного тела.J = σ s ∫ ε i* dV + k ∫ ∆vτ* df − ∫ pi vi* dFVfFpЭто выражение полностью удовлетворяет определению функционала.Функцией, от которой зависит функционал полной мощности, являетсяфункция изменения скорости v по объему деформируемого тела277(интенсивность скоростей деформации ε i может быть определена поизвестному полю скоростей), независимой переменной – координатыматериальных точек.
Класс функций также переделен – они должныудовлетворять граничным условиям и условиям непрерывности – т.е. бытькинематически возможными.Мы формулировали принцип минимума полной мощностикинематически возможного поля скоростей идеального жесткопластического тела, который гласит, что полная мощность достигаетабсолютного минимума на действительном поле скоростей.Таким образом, задача отыскания поля скоростей являетсявариационной задачей и может быть сформулирована следующим образом:Найти поле скоростей деформированного тела, удовлетворяющееграничным условиям и условиям неразрывности, которое сообщаетминимальное значение функционалу полной мощности идеально жесткопластического тела.Метод решения задач математической физики, который состоит втом, что интегрирование дифференциальных уравнений при заданныхкраевых условиях заменяется отысканием функции реализующей минимумсоответствующего функционала называется энергетическим методом.Таким образом, метод верхней оценки, рассмотренный нами ранее,является частным случаем энергетического метода.
Вариационный метод –также вариант энергетического метода. Принципиальной разницы междуними нет, поскольку и в том и в другом случае ищут решение задачи путемминимизации функционала полной мощности.Однако в методе верхней оценки конфигурацию поля скоростей задаютизначально, а варьируют размерами очага пластической деформации. Т.е.обычно ставится задача отыскания таких размеров очага пластическойдеформации, при которых функционал полной мощности стационарен.В вариационном методе варьируют самим полем скоростей.
Здесьставится задача отыскания поля скоростей, при котором функционал полноймощности получает стационарное значение. Правомерна и комбинированнаяпостановка, при которой можно искать совместно и размеры очага и полескоростей.Дляопределениянапряженно-деформированногосостояниявариационными методами используют также и другие функционалы.Для упругой деформации справедлив принцип минимума полнойэнергии. Он гласит, что среди кинематически возможных перемещенийточное решение соответствует абсолютному минимуму функционала полнойэнергии:Π = 0.5∫ σ ij ε ij dV − ∫ pi ui dFVFPЗдесь Fp - это часть поверхности деформируемого тела объемом V , накотором заданы удельные внешние силы pi (i = x, y, z ) ; ui - кинематическивозможное поле перемещений, ε ij- поле деформаций Коши,278соответствующее кинематически возможному полю перемещений; σ ij - поленапряжений, удовлетворяющее обобщенному закону Гука.
Этот принциписпользуют для вариационной формулировки метода конечных элементов.Используют также функционал Маркова для жестко-пластическоготела (с учетом упрочнения), определяющий полную мощность длянепрерывного поля скоростей59:J = ∫ σ s ε i dV − ∫ pi vi dFVFPЗдесь vi - кинематически возможное поле скоростей, ε ij - полескоростей деформаций, соответствующее кинематически возможному полюскоростей; σ ij - поле напряжений, удовлетворяющее физическим уравнениямсвязи напряженного и деформированного состояний для кинематическивозможного поля скоростей.4.7.3 Вариация функционала и ее свойстваРассмотрим вариационную задачу отыскания экстремума функционалаJ [ y ( x )] = ∫ F [x, y ( x ), y ' ( x )]dxbaдля которого класс функций определен граничными условиямиy (a ) = A, y (b) = B .Напомним, что экстремалью называют функцию, сообщающуюэкстремум функционалу.
Функции, из которых выбирается экстремаль,называются функциями сравнения.Пусть:yf(x)f ( x) - экстремаль функционала J ,BδydxAadyf ( x) - функция сравнения, бесконечноблизкая к экстремали.Тогда разность между функциейсравнения и экстремалью при одном итом же значении аргументаxназывается вариацией δy функции f ( x) :f(x)bxδy = f ( x ) − f ( x )Вариацию δy не следует путать сдифференциалом dy . Дифференциал dy - бесконечно малое приращениефункции, обусловленное бесконечно малым приращением аргумента dx .Вариация же – бесконечно малое приращение функции f ( x) , котороесоздает новую функцию f ( x ) = y + δy .Очевидно, что вариация сама является функцией.59В зарубежной литературе часто вместо терминов «полная мощность» и«полная энергия» используют термины «дополнительная энергия (работа)» и«дополнительная мощность».279Выделим однопараметрическое семейство функций сравнения,бесконечно близких к экстремали.y ( x , α ) = f ( x ) + α ⋅ δyВ это семейство входи и сама экстремаль: при α = 0 → y ( x,0 ) = f ( x )Будем рассматривать значение функционала только на семействекривых y ( x,α ) .
В этом случае функционал превращается в функциюпараметра α 60.J [ y ( x,α )] = ϕ (α ) = ∫ F [x, y ( x,α ), y ' ( x,α )]dxbaПри α = 0 функция ϕ (α ) достигает экстремума, поскольку y ( x,α )становится экстремалью f ( x) .Необходимым условием экстремума функции является равенство нулюее первой производной:dϕ∂J [ f ( x ) + α ⋅ δy ] = 0=dα ∂αПроизводная ϕ ' в точке α = 0 называется первой вариациейфункционала δJdϕδJ =dα α = 0Таким образом, необходимым условием экстремали является равенствонулю первой вариации функционала61y ( x ) = f ( x ) → δJ = 0Эйлер показал, что первая вариация функционалаJ [ y ( x )] = ∫ F [x, y ( x ), y ' ( x )]dxbaПриводится к видуb⎛ ∂Fd ∂F ⎞⎟⎟δydx−δJ = ∫a ⎜⎜⎝ ∂y dx ∂y ' ⎠Тогда необходимое условие стационарности функционала δJ = 0эквивалентно уравнению:∂F d ∂F−=0∂y dx ∂y 'Это уравнение впервые получено Эйлером и носит его имя.Рассмотрим справедливость этого утверждения для частного случаянахождения кривой минимальной длины, проходящей через две точки.Решение этой задачи тривиально – это прямая, поэтому можно легкопроверить правильность полученного результата.Действительно, если считать уравнение функционали y = f ( x ) известным,то функция F зависит от x,α61Можно увидеть определенную аналогию между дифференциалом функциии первой вариацией функционала.60280Как было показано ранее, эта задача сводится к отысканию экстремалифункционала:J = ∫ 1 + ( y ') dxb2aЗдесь F ( x, y, y ' ) = 1 + ( y ') ,2∂F∂Fy'.== 0,2∂y '∂y1 + ( y ')⎤d ⎡y'⎥ = 0.Уравнение Эйлера: ⎢dx ⎢ 1 + ( y ')2 ⎥⎣⎦y'Откуда= C = const .
Решение этого обыкновенного21 + ( y ')дифференциального уравнения получим следующим образом:( y ')221 + ( y ')C2= C , y' =, y = C1 x + C21− C2Произвольные постоянные найдем из краевых условий y = A → x = a ,y = B → x = b . Тогда⎧ A = C1a + C 2A− BA− B, C2 = A − a ⋅⇒ C1 =⎨a−ba−b⎩ B = C1b + C2Окончательно получим уравнение экстремалиA− BA− BA− B(x − a )y=x+ A−a= A−a−ba−ba−bОчевидно, что это уравнение прямой, проходящей через точки (a, A) и(b, B ) , что и требовалось доказать.В общем случае функционал может быть определен для несколькихфункций:2J ( y1 , y 2 ,…, y n ) = ∫ F ( x, y1 , y 2 ,…, y n , y1 ' , y 2 ' ,…, y n ')dxДля получения необходимых условий экстремума варьируютпоочередно одну функцию yi , оставляя остальные неизменными. Тогдафункционал становится зависящим только от одной варьируемой функции,следовательно, функция, реализующая экстремум должна удовлетворятьуравнению Эйлера∂F d ∂F−=0∂yi dx ∂yi 'Поскольку рассуждения приемлемы для любой функции, тонеобходимым условием экстремума функционала будет системадифференциальных уравненийdFy'i − Fy' ' = 0, i = 1,2,…, ndx iопределяющая систему экстремалей.2814.7.4 Метод РитцаВозникает вопрос, в чем же преимущества вариационных методов,еслиихиспользованиеприводиткнеобходимостирешениядифференциальных уравнений?В вариационном методе обоснованы приближенные методы решениязадач поиска экстремалей функционалов.
Одним из таких методов,нашедшим наибольшее применение в теории обработки давлением являетсяметод Ритца.Идея метода состоит в том, чтобы разложить искомые функции62 в ряди искать неизвестные компоненты этого ряда. Пусть неизвестная функцияy ( x ) , являющаяся экстремалью функционала J имеет вид:∞y ( x ) = ∑ aiϕ i ( x )i =1Здесь ϕ i (x) - некоторые заранее заданные, т.е. известные функции(Ритц назвал их координатными), ai - неизвестные коэффициенты,подлежащие определению.Координатные функции ϕ i ( x) должны удовлетворять следующимусловиям:Принадлежать классу допустимых, т.е. быть кривыми сравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
