Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

ОткудаC = 0 . Тогда66:⎛z 3 ⎞⎤ ρ 3 ⎛z 3 ⎞ ερ ⎛z 3 ⎞⎛ a1 ρ a2 ρ 3 ⎞ρ⎡⎟++ ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜a ⎜1 − 4 3 ⎟⎟ =u ρ = ⎢ε + a1 ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥ +2 ⎟2 2⎜2⎣22h4Rhh4R⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎦⎝⎠∂u ρ ε ⎛z 3 ⎞⎛ a1 3a2 ρ 2 ⎞⎟⎜= + 1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜ +ερ =∂ρ 2 ⎜⎝h ⎠⎝ 24 R 2 ⎟⎠⎛z 3 ⎞⎛ a1 a2 ρ 2 ⎞⎟= + ⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜ +εθ =2 ⎟2ρ 2 ⎜⎝h ⎠⎝4R ⎠Поскольку перемещения u z , u ρ зависят и от координаты ρ и откоординаты z , то тензор деформаций будет содержать отличную от нуляугловую деформацию γ ρz 67:uργ ρzε∂u ρ∂u z ⎛ a1 ρ a2 ρ 3 ⎞⎛ρz2 ⎞ ⎛z3 ⎞⎜⎟⎟⎟⎜⎜1212az=+=⎜++−−2∂z∂ρ ⎝ 24 R 2 ⎟⎠⎜⎝h 3 ⎟⎠ ⎜⎝ h 3 ⎟⎠R24.7.6.4 Составление функционалаПри использовании кинематически возможного поля перемещенийищут стационарное значение функционала полной энергии, который дляслучая идеального жесткопластического тела и непрерывном полеперемещений имеет вид:Следует отметить, что ε ρ = εθ при a2 = 0 , т.е.

в том случае, когда u zзависит только от z .67Угловые деформации γ ρθ = γ zθ = 0 из условий симметрии.66288Π = ∫ σ i ε i dV −V∫ pi ui dF = σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ u ρ ρ =h dF*FpVFkЗдесьучтеноσ i = σ s = const ,площадьповерхностиFpдеформируемого тела, на которой заданы известные внешние удельные силытрения pi* = τ k = − µ sσ s , равна площади контактной поверхности инструментас заготовкой Fp = Fk = πR 2 . Перемещения ui в направлении действияизвестных сил равны радиальным перемещениям материальных частицдеформируемого тела на контактных поверхностях с инструментомui = u ρ.z =hПервое слагаемое функционала представляет работу внутренних сил, авторое – работу сил трения.В нашем случае:2(ε ρ − ε z )2 + (ε z − εθ )2 + (εθ − ε ρ )2 + 3 γ ρ2zεi =32Опуская промежуточные преобразования, приведем окончательноевыражение68:ε i2 = ε 2 +24⎛z3 ⎞ 1 ⎛ 2z3 ⎞ρ 2 ⎞⎛ρ22 ρ ⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜+ 3ε ⎜ a1 + a2 2 ⎟⎜1 − 4 3 ⎟ + ⎜ 3a1 + 6a1a2 2 + 3.25a2 4 ⎟⎜1 − 4 3 ⎟⎟ +R ⎠⎝h ⎠ 3⎝RR ⎠⎝h ⎠⎝+3h6224 2 ρ 2z2 ⎛z3 ⎞⎜1 − 3 ⎟⎟ +⎜⎜ 2a1 + a2 2 ⎟⎟ + a24 ⎜3RR⎠⎝ h ⎠⎝ρ2 ⎞ρ 2z4 ⎛ρ 2 ⎞⎛ z 3 ⎞⎟⎜1 − ⎟⎜aa2+12R 2 h 3 ⎜⎝R 2 ⎟⎠⎜⎝ h 3 ⎟⎠Относительное смещение на контактных поверхностях:3 ρ2 ⎞ρ ⎛1uk = u ρ= ⎜⎜ ε − 3a1 − a2 2 ⎟⎟z =h2⎝22 R ⎠В этом случае функционал становится функцией двух переменных –неизвестных коэффициентов a1 , a2 .+ 4a 2ρ 2 z3 ⎛hRR000Π (a1 , a2 ) = σ s ∫ ∫ ε i (a1 , a2 )2πρdρdz + µ sσ s ∫ u k (a1 , a2 )2πρdρУсловие стационарности этой функции есть система алгебраическихуравнений:68Используем выражение Тарновского с учетом Γ = ε 3289hRR⎧ ∂Π∂u∂ε i2πρdρdz + µ sσ s ∫ k 2πρdρ = 0=σs∫∫⎪∂a1∂a1⎪ ∂a1000⎨hRR∂u k∂ε i⎪ ∂Π = σ+2πρdρdzµσsss∫ ∫ ∂a2∫ ∂a2 2πρdρ = 0⎪ ∂a000⎩ 2Первые интегралы с учетом вида функции ε i невозможно точнопроинтегрировать в квадратурах.

Это традиционная сложность прииспользовании вариационного метода и метода верхней оценки. Одним изспособов ее преодоления является использование методов приближенногоинтегрирования интегралов вида:∂ε i∫ ∂a dVДля функции ε = ε (a ) справедливо:∂ 2∂ε = 2ε (ε )∂a∂aотсюда:∂ε 1 ∂ 2=ε∂a 2ε ∂aРаспределение интенсивности деформации по объему тела во многихпроцессах обработки давлением мало отличается от некоторого среднегозначения, вычисленного в предположении равномерной деформации.

Тогда2∂ε i1 ∂ (ε i )∫ ∂a dV = 2ε icp ∫ ∂a dVVV( )( )В нашем случае∆hε icp = ε =hТогда первые слагаемые вариационных уравнений (вариации работывнутренних сил по параметрам a1 ,a2 ):σ∂εσ s ∫ ∫ i 2πρdρdz = s2ε∂a100hR∂ (ε i )∫ ∫ ∂a1 2πρdρdz =002hR⎛πR 2 h ⎡⎛R2 ⎞R2 ⎞ ⎤⎟⎜⎜=σs⎢ 3.86 + 3.6 2 ⎟a1 + ⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟a2 ⎥6ε ⎣⎜⎝h ⎠h ⎠ ⎦⎝σ∂ (ε )σ s ∫ ∫ i 2πρdρdz = s2ε∂a200hR2=σs∂ (ε i )∫ ∫ ∂a2 2πρdρdz =00hR2⎛R2h2 ⎞R2 ⎞ ⎤πR 2 h ⎡⎛⎟a⎜⎟⎜a1.820.450.2222.561.2++++⎢22 ⎟ 1⎥⎜6ε ⎣⎜⎝h2R 2 ⎟⎠h⎠ ⎦⎝Вариацию работы трения по параметрам с учетом:290∂u ρ∂u ρ33 ρ3z =h=− ρ,=−∂a1∂a224 R2определим по следующим выражениям:R∂uµ sσ s ∫ k 2πρdρ = − µ sσ sπR 3∂a10z =hR∂u k2πρdρ = −0.3µ sσ sπR 3∂a20В результате получим два линейных алгебраических уравненияотносительно варьируемых коэффициентов. И.Я.Тарновский получил их вследующем виде:⎛R 2 ⎞ a1 ⎛R 2 ⎞ a2R⎜⎜ 3.86 + 3.6 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ − 3ψ = 0hh ⎠ε ⎝h ⎠ε⎝µ sσ s ∫⎛R2h2 ⎞ a ⎛R2 ⎞ aR⎜⎜1.82 + 0.45 2 + 0.222 2 ⎟⎟ 2 + ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ 1 − 0.3 3ψ = 0 ,hhR ⎠ε ⎝h ⎠ε⎝где ψ = µ s 3И.Я.Тарновский приводит следующее решение этих уравнений:R22.44 + 0.208 2a2Rh= −ψ2εhRR4h21.23 + 2.12 2 + 0.18 4 + 0.853 2hhRR ⎛R2 ⎞ a1.732ψ − ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ 2h ⎝h ⎠εa1=,εR23.84 + 3.6 2hДля конкретных R, h, µ s эти коэффициенты могут быть легковычислены.Работа внешних силAD = P∆h = q × πR 2 × εhПриравнивая функционал полной энергии работе неизвестных внешнихсил:Π = ADи определив интегралы в выражении для функционала с использованиемнайденных значений коэффициентовhRRΠ = σ s ∫ ∫ ε i (a1 , a2 )2πρdρdz + µ sσ s ∫ u ρ000z =h(a1 , a2 )2πρdρможно найти выражения для удельной силы деформирования.291В этом выражении величина ε сократится, в результате удельная силадеформирования будет зависеть от R, h, µ s .И.Я.Тарновский приводит полученную им формулу в следующем виде:a ⎞qB ψ D ⎛ 1 a1=1+ +⎜ − − 0.3 2 ⎟σsε ⎠33 H ⎝3 εЗдесь22⎛D 2 ⎞⎛ a1 ⎞ ⎛D2H 2 ⎞⎛ a2 ⎞B = ⎜⎜1.92 + 1.8 2 ⎟⎟⎜ ⎟ + ⎜⎜ 0.909 + 0.225 2 + 0.111 2 ⎟⎟⎜ ⎟ +H ⎠⎝ ε ⎠ ⎝HD ⎠⎝ ε ⎠⎝⎛D 2 ⎞ a1 a2⎜+ ⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟H ⎠ε ε⎝При однородной деформации ε z = const , a1 = a2 = 0 .

Тогда B = 0 и сучетом ψ = µ s 3 формула Тарновского переходит в известную формулуЗибеля:⎛ 1 D⎞q = σ s ⎜1 + µ s ⎟⎝ 3 H⎠2924.8. Метод линий скольжения.4.8.1 Общие положенияОсновы метода линий скольжения заложены в 20-х годах XX веканемецкими учеными Г.Генки и Л.Прандтлем. В дальнейшем этот методактивно развивался и использовался как зарубежными, так и отечественнымиучеными. До возникновения метода конечных элементов (70-е годы XX века)метод линий скольжения был единственным теоретическим методом,который позволял определить не только напряженное, но и деформированноесостояние.Метод линий скольжения основан на построении поля линийскольжения в деформируемом теле и использовании свойств линийскольжения для определения напряженного и деформированного состояний.Математическаяосновойметодаявляетсяинтегрированиедифференциальных уравнений равновесия сплошной среды вдоль линийскольженияЛиниямискольженияназываются линии, касательные влюбой точке которых совпадают снаправлениеммаксимальныхкасательныхнапряжений.Следовательно, это линии, вдолькоторых происходят максимальныесдвиговые деформации.Особуюпритягательностьэтому методу придает то, что линиискольжения были обнаружены иэкпериментально(т.н.линииЛюдерса-Чернова которые заметны,например, на покрытой пленкойЛинии Людерса-Черноваокисловповерхностифланцазаготовки в начальной стадиивытяжки).

Т.о. метод имеет под собой физическое обоснование.Еще одно преимущество метода - строгое решение в рамках принятыхдопущений. Интегрируемые уравнения представляют собой специальный видуравненийравновесия,тождественноудовлетворяющихусловиюпластичностиПрименение метода линий скольжения ограничивается следующимидопущениями:Металл однороден и изотропен.Модель среды – идеальная жесткопластическая, σ s = const .293Кроме того, строгое математическое обоснование метод имеет толькодля плоского деформированного состояния69.

С определеннымидопущениями его также применяют для плоского напряженного состоянияпри сжато-растянутой схеме и для осесимметричного напряженногосостояния. К недостаткам метода можно отнести необходимость достаточнотрудоемких графических построений или, при численной реализации,необходимость создания специальной программы.4.8.2 ОсновныесостояниясоотношениядляплоскогодеформированногоσzzγxyyεxγyxεyτyxσxxσyτxyРассмотрим тело, находящееся в плоском деформированномсостоянии. Напомним, что плоским деформированным состоянием называюттакое напряженно-деформированное состояние, при котором деформации внаправлении одной из осей равны нулю. В площадках, перпендикулярныхэтой оси отсутствуют как осевые, так и сдвиговые деформации.

Будем, дляопределенности считать, что деформации отсутствуют в направлении оси z .Ось z становится главной осью напряжений и главной осью деформаций.При изучении деформационной теории пластичности было показано,что в случае отсутствия упругих деформаций уравнения теории приводятся квиду, полученному Ильюшиным3 εisij2 σiВ координатной форме:ε3εε x = i σ x − σ cp = i2 σiσiε3εε y = i σ y − σ cp = i2σiσiε3εε z = i σ y − σ cp = iσi2 σiε ij =()()()εγ xy = 3 i τ xy ;σi()()⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪εγ zx = 3 i τ zx ;⎪σi⎭1⎤⎡σ−⎢⎣ x 2 σ y + σ z ⎥⎦;1⎤⎡⎢⎣σ y − 2 (σ x + σ z )⎥⎦;1⎤⎡−+σσσzxy⎥⎦;⎢⎣2εγ yz = 3 i τ yz ;σi69Следует заметить, что понятие линий скольжения не связано только сплоской деформацией.294В главных напряженияхε ⎡1⎤⎫ε1 = i ⎢σ 1 − (σ 2 + σ 3 )⎥; ⎪σi ⎣2⎦⎪ε ⎡1⎤⎪ε 2 = i ⎢σ 2 − (σ 1 + σ 3 )⎥;⎬σi ⎣2⎦⎪ε ⎡1⎤⎪ε 3 = i ⎢σ 3 − (σ 1 + σ 2 )⎥;⎪σi ⎣2⎦⎭Тогда из условияε z = ε2 = 0следует:σ x + σ y σ1 + σ 3σz ===σ222Кроме того:σx +σ y +σzσx +σ y +σx +σ y2σx +σ y=σ z =σ2332Для остальных главных напряжений справедливо:σ +σ y 1(σ x − σ y )2 + 4τ xy2σ 1,3 = x±22Максимальные касательные напряжения в общем случае:σ −σ3τ max = 12Тогда для ПДС:1(σ x − σ y )2 + 4τ xy2τ max =2Таким образом, можно записать:σ 1 = σ cp + τ maxσ cp ===σ 2 = σ cp = σ zσ 3 = σ cp − τ maxНапомним, что в площадках действия максимальных касательныхнапряжений τ 13 = τ max , наклоненных под 45° к главным осям, нормальныенапряжения равны:σ +σ3.σ 13 = 12Ранее показано для плоского деформированного состояния:σ 1 + σ 3 = σ x + σ y = 2σ z = 2σ cpПоэтому для ПДСσ +σ3σ −σ3σ 13 = 1= σ cp , τ 13 = 1= τ max22295ωπ/4σyσ3τxyσxyτxyσ1σxσ1σcpϕτmaxτmaxσ3σyxσcpσcpσcpσcp=σzσcpτmaxσcpτmaxУгол наклона главных площадок к оси x определяется из соотношения:2τ xy1ϕ = arctgσ x −σ y2Тогда угол наклона площадок, в которых действуют максимальныекасательные напряжения:ω =ϕ +π 4Таким образом, плоское деформированное состояние – этосовокупность всестороннего сжатия (растяжения) с напряжением σср ичистого сдвига с напряжением τmaxσcp=σzτmaxσcpσcp=σzσcpτmaxσcp=σcp+τmaxτmaxПоскольку всестороннее растяжение (сжатие) не может создатьпластических деформаций, то вся пластическая деформация при ПДСпроисходит за счет чистого сдвига.

Характеристики

Список файлов книги