Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 47
Текст из файла (страница 47)
При этом граница не является линиейскольжения.Типичный случай – внешняя граница пластически деформируемогоматериала, на которой известны нормальные и касательные напряжения. Срешения этой задачи обычно начинается решение любой задачи методомлиний скольжения.310Основным условием, позволяющим выполнить построение, являетсято, что на границе известны касательные напряжения, а, следовательно, иугол выхода линий скольжения (угол их наклона к границе).На основании свойств линий скольжения можно заключить, что взадаче Коши поле линий скольжения зависит от:значения касательных напряжений на внешней границеконфигурации внешней границынормальных напряжений на границеРешением этой задачи является треугольная область, ограниченнаяграницей MN и двумя линиями скольжения MK и NK , проходящими черезкрайние точки границы M и N и пересекающиеся в точке K .N (n,n)βαK(k,k+1)(k-1,k)(k+1,k+1)(k,k)(k-1,k-1)(0,3)(0,2)(0,1)(1,3) (2,3)(1,2)(3,3)(2,2)(1,1)M(0,0)Методика построения линий скольжения для первой краевой задачивыглядит следующим образом:Границу MN разбивают на ряд малых дуг узлами (0,0), (1,1),(2,2),…,(n,n).По величине касательного напряжения на границе определяют уголвыхода линий скольжения на границу в каждой точке (в частномслучае, когда касательное напряжение на границе постоянно, уголвыхода линий скольжения также постоянен).По координатам и значениям угла линий скольжения двух соседнихточек (k − 1, k − 1) и (k , k ) строят точки (k − 1, k ) следующего поотношению к линии MN ряда.Поскольку линии (k , k ) - (k , k + 1) и (k − 1, k ) - (k , k ) - являютсялиниями скольжения двух семейств, выходящие из одного узла, тодальнейшее построение 2-го и т.д.
рядов производят в соответствиес методикой для второй краевой задачи.311Следствием из построения поля линий скольжения для первой краевойзадачи является то, что для задачи Коши поле линий скольжения зависиттолько от формы границы и величины касательных напряжений на ней и независит от величины нормальных напряжений.Важнейшим частным случаем первой краевой задачи являетсяпостроение линий скольжения на прямолинейной внешней границе,свободной от касательных напряжений. Нормальные напряжения на такойгранице должны быть постоянными, поскольку σ cp = const . В частномслучае нормальные напряжения также могут отсутствовать.Мы уже определили, что при отсутствии касательных напряжений наконтуре линии скольжения выходят на контур под углом 45°.
Посколькуграница прямолинейна, то решением задачи будет семейство ортогональныхпрямых, составляющих с границей угол 45°. Напряженное состояние в этойобласти – однородное.σnABCТаким образом, область линий скольжения примыкающая кпрямолинейной внешней границе, на которой отсутствуют нормальные икасательные напряжения находится в однородном напряженном состоянии.4.8.11Римана).Втораякраеваязадача(задачаЗаданы две линии скольжения, пересекающиеся в точке, на которыхизвестно распределение напряжений.Построение линий скольжения в этом случае основано на теоремахГенки и Прандтля.Последовательность построения может быть следующая:1. Заданные линии скольжения делят на некоторое число малых дуг узлами,номера которых (0,0), (1,0), (2,0), … на линии α и (0,0), (0,1), (0,2), … налинии β.2.
Графическими или численными методами определяют координаты узла(1,1), основываясь на малых дугах (0,0)-(1,0) линии скольжения α и (0,0)(0,1) линии скольжения β . Построение ведут с помощью теорем Генки илиПрандтля.3123. Аналогичным образом выполняют построение для узлов (2,1), (3,1),…вдоль одной линии скольжения.4. Считая линию (0,1)… (m,1) известной линией α продолжают построениепп. 2-4KN(m, n+1)β(0, n)(m, n)(1, n)(2, n)(3, n)(m +1, n+1)(m +1, n)(0, 2) (1, 1)(0, 1)(2, 1) (3, 1)O( 0, 0)(1, 0)(2, 0)(m, 0)αM4.8.12Вырожденный случай задачи Римана.Рассмотрим вырожденный случай второй краевой задачи является еевырожденный случай, когда точка N стремится к точке O , радиус кривизнылинии скольжения ON стремится к нулю, в то время как угол поворотаω N ≠ ωO .KβαββαOααα MТогда точка O является особой точкой – все линии скольжения одногосемейства пересекаются в точке O . Напряжения в этой точкенеопределенны, поскольку через нее проходит несколько линий скольжения313с разными углами наклона.
Такая точка называется особой. Решением такойзадачи является треугольная область, в которой одно семейство линийскольжения исходит из особой точки. Этой семейство называют пучкомлиний скольжения.Справедливо и обратное утверждение, если в какой либо точкенапряжения неопределены (например, край штампа – точка одновременнопринадлежит штампу – следовательно, касательное напряжение в нейсуществует и свободной поверхности – следовательно, касательногонапряжения в ней нет).Важнымчастнымслучаемвырожденнойзадачиявляетсяцентрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическимиокружностями.Центрированное поле всегда примыкает к полю из ортогональныхпрямых линий (т.е. с однородным напряженным состоянием).
Действительно,если какой-либо участок поля линий скольжения примыкает к семействуортогональных прямых, то одна из линий скольжения – обязательно прямая.На основании следствия из первой теоремы Генки если хотя бы одна линияскольжения одного семейства – прямая, то все линии скольжения этогосемейства также прямые.
Линии скольжения второго семейства –ортогональны первому. Ортогональными к параллельным прямым будетсистема параллельных прямых.Рассмотрим методику графического и численного построения линийскольжения для второй краевой задачи.4.8.13Графическоепостроениескольжения, основанное на теореме Прандтля.линийНапомним, что согласно теореме Прандтля центры кривизны дугодного семейства, пересекающих линию скольжения другого семействалежат на эвольвенте этой линии.Методика заключается в замене отрезков линии скольжения дугами играфическом определении длины этих дуг.Пусть даны две линии скольжения α1 и β1 , пересекающиеся в точке Oи два узла M и N , расположенные на этих линиях скольжения достаточноблизко к точке O , чтобы заменить на участках OM и ON линии скольжения314малыми дугами.
Необходимо построить линии скольжения α 2 и β 2 ,проходящие через точки M и N .β1O''NN''CONβ2nKα2M''OMmα1CMKM'COMCNKN'O'Проводим через точку O касательные OO′ и OO′′ к линиям скольженияα1 и β1 . Полезно помнить, что эти линии пересекаются друг с другом подпрямым углом. Таким образом, нормаль к одной линии являетсякасательной к другой и наоборот.Определяем центр кривизны дуги OM , для чего через середину хордыOM восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с линией OO′ .Полученная точка COM является центром кривизны дуги OM .Аналогично определяем точку CON - центр дуги ON .В точке M проводим касательную MM ′ к линии скольжения ипродолжаем ее до пересечения в точке M ′′ с касательной OO′′ . При этомполезно помнить, что касательная MM ′ будет перпендикулярна к линииCOM M .Аналогично строим касательную N ′NN ′′ .В соответствии с теоремой Прандтля, центр кривизны участка линиискольжения α 2 должен лежать на касательной NN ′ .
Причем:RNK = ROM + ∪ON ≈ ROM + ON ′′ + N ′′N .Из точки N ′′ радиусом N ′′COM проводим дугу до пересечения с линиейNN ′ . Полученная точка C NK является центром кривизны линиискольжения α 2 .Аналогично получаем точку C MK , являющуюся центром кривизны линиискольжения β 2 . В этом случае:315RMK = RON − ∪OM ≈ RON − OM ′′ − M ′′M .Точка K определяется пересечением дуг α 2 и β 2 , проведенных изцентров C NK и C MK радиусами C NK N и C MK M .4.8.14Построение поля линий скольжениядля задачи Римана по методу Шофмана.Метод Шофмана - это графический способ построения, основанный напервой теореме Генки и замене криволинейных линий скольжения ломанойкусочно-линейной линией.Согласно первой теореме Генки, угол между касательными к двумлиниям скольжения одного семейства в точках их пересечения с линиямискольжения другого семейства остается постоянным на всем протяженииэтих линий.Методика заключается в замене участков известных линий скольженияхордами и определении углов наклона хорд участков неизвестных линийскольжения.
Наиболее просто методика реализуется в том случае, еслипроизводится построение т.н. равноугольной сетке линий скольжения. Припостроении равноугольной сетки линий скольжения углы между двумяближайшими линиями скольжения одинаковы для двух разных семейств.CONγ/2γNγγ/2Oβ1π/2π/2π/2−γπ/2+γπ/2Mβ2K α2N'π/2α1γCOMПусть как и прежде даны две линии скольжения α1 и β1 ,пересекающиеся в точке O и два узла M и N , расположенные на этих316линиях скольжения достаточно близко к точке O , чтобы заменить научастках OM и ON линии скольжения малыми дугами. Необходимопостроить линии скольжения α 2 и β 2 , проходящие через точки M и N .Дополнительное условие – равноугольность сетки накладывает ограничениена выбор точек M и N . Они должны быть расположены так, чтобы угол∠OCOM M между нормалями в точках O и M к линии α1 и угол ∠OCON Nмежду нормалями в точках O и N к линии β1 были одинаковы. Напомним,что нормали к одному семейству линий скольжения являются касательнымик другому, таким образом, указанное условие равнозначно равенству угловлиний скольжения для двух разных семейств одинаковой величине γ .Можно показать, что в том случае, если участки линий скольжениярасположены достаточно близко, что их можно заменить дугами OM и ON ,то угол между хордами OM и ON равен π/2+γ.
Угол между продолжениемхорды OM и касательной OCON равен γ/2.Проведем прямую NN ' , перпендикулярную хорде ON . Тогда уголмежду прямыми NN ' и OM составит также γ . Восстановив перпендикуляр кхорде OM на пересечении с прямой NN ' получим искомую точку K - точкупересечения линий скольжения α 2 и β 2 . Дальнейшее построение можнопродолжить так же просто, восстановив перпендикуляры в точке K к хордамMK и NK .Таким образом, ортогональное поле линий скольжения заменяетсяполем из четырехугольников, два угла которых – прямые, а два остальныхравны π/2±γ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
