Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Отсюда следует:∆vτ = vα+ − vα− = C1 − C2 = constИными словами, в случае возникновения разрыва скорости вдоль линиискольжения разрыв претерпевает только касательная к линии скольжениясоставляющая и величина этого разрыва остается постоянной вдоль всейлинии скольжения.Это решение принадлежит Х.Форду.
Его следует учитывать припостроении годографов скоростей в методе линий скольжения.4.8.20Построение годографа скоростей длязадачи внедрения пуансона в полупространство.Построим поле скоростей для решения Прандтля.330b''deOOVβABC=VτCπ/4b'c'1b'c'VαABCabcabcПостроение начнем с области ABC.Примем Vпуансона = 1. В области ABC напряженное состояние –однородное (линии скольжения обоих семейств – прямые) следовательно,скорости движения любой точки области одинаковы и отображаются нагодографе одной точкой. Из граничных условий следует, что вся областьABC движется вниз, со скоростью, равной скорости пуансона. Т.о. векторскорости пуансона отображает скорость любой точки области ABC .Точки на годографе будем обозначать малыми буквами,соответствующими точкам на поле линий скольжения.
Следовательно, конецединичного вектора скорости обозначим abc , поскольку скорости любойточки области ABC равны.Разложим вектор скорости вдоль линий скольжения:V ABC = VαABC + VβABCРассмотрим точку C , принадлежащую области BCD . Граница CDэтой области является границей между жесткой и пластической областями.Разрыв на линии скольжения может претерпевать только касательнаясоставляющая, нормальная же составляющая разрыва претерпевать не может.В жесткой области скорость равна нулю, следовательно, и нормальнаясоставляющая к границе CD равна нулю.
Поэтому касательнаясоставляющая скорости к линии скольжения CD в точке C являетсяодновременно и полной скоростью в точке C .Из построения видно, что касательная составляющая к линии CD вточке C равна скорости вдоль линии β для области ABC :VτC = VβABCТаким образом, конец вектора VβABC можно обозначить точкой c' .Штрих означает, что эта точка отображает скорость точки C , нопринадлежащей не области ABC , а области BCD . Поскольку, согласноследствию из уравнения Гейрингер, скорости вдоль прямых участков линийскольжения постоянны, то точка c' одновременно отображает скорости всехточек на линии скольжения BC , принадлежащей области BCD , поэтомуточку c' можно одновременно обозначить b'c' .
Таким образом, скорость налинии BC также претерпевает разрыв.331Вернемся к линии скольжения BD . Согласно уравнению Фордавеличина разрыва касательной составляющей скорости вдоль линиискольжения постоянна по абсолютной величине.∆VτCD = VβABC = VBCТаким образом, вдоль линии CD касательная составляющая скоростипостоянна по абсолютной величине и изменяется по направлению на уголπ / 4 . Как уже отмечали выше, нормальная составляющая вдоль линии CDравна нулю, поэтому касательная составляющая одновременно равна полнойскорости. Геометрическое место точек концов векторов, исходящих из однойточки, имеющих одинаковую длину, но различное направление представляетсобой дугу окружности.
Проведя дугу окружности с центром в точке O източки b'c' и углом π / 4 , получим точку b' ' d , отражающую на годографескорости точек на линии BD , принадлежащей области BCD .Рассмотрим область BDE . В ней линии скольжения обоих семействпрямые. Следовательно, скорости материальных точек этой областипостоянны и отображаются на годографе одной точкой. Линия DE являетсяграницей между жесткой и пластической областями и следовательно линийразрыва скоростей.
Линии α перпендикулярны границе, поэтому Vα = 0 вовсей области BDE . Касательная скорость вдоль границе должна бытьпостоянна не только в какой-либо области, но и вдоль всей границы. Этавеличина нам уже известна из решения в области BCD и отображается нагодографе вектором Ob' . Таким образом, точка b' ' d на годографе отображаеттакже и скорости материальных точек всей области BDE и может бытьобозначена b' ' de . Следует заметить, что, в отличие от линии BC на линииBD разрыва скоростей нет.Итак, поле скоростей обладает следующими свойствами:в области ABC все точки двигаются со скоростью пуансона ввертикальном направлениив области BCD все точки двигаются с одинаковой по абсолютнойвеличине скоростью, равной 2 / 2 и направленной по касательной к дугеокружности, проведенной из точки B в любой точке поля линийскольжения;в области BDE все материальные точки двигаются с одинаковойскоростью, равной 2 / 2 в направлении вдоль линии DE.4.8.21наклонными стенками.Прессование полосы в контейнере сРассмотрим частный случай задачи:трение на контактных поверхностях отсутствует;угол наклона матрицы 30°;толщина полосы после обжатия h равна половине толщины полосы дообжатия H .Необходимо определить удельную силу прессования и давление настенки матрицы.332V=1HBCB1C1Dθγ=30°A1Ah=½HОчевидно, что очаг деформаций расположен вблизи контактнойповерхности матрицы, а на значительном удалении от него – вблизипуансона и на выходе из матрицы металл деформироваться не будет.Выполним построение поля линий скольжения в следующейпоследовательности:Точка A будет особой, т.к.
в ней напряжения неопределенны (в зоне ABCсредние напряжения есть, т.к. есть контактные давления на матрицу, а насвободной поверхности на выходе из матрицы напряжения отсутствуют),следовательно она является полюсом центрированного поля линийскольжения.Поскольку линии скольжения выходят на линию симметрии под углом 45°,то граничной линией центрированного поля линий скольжения будетлиния AD , проведенная из точки A под углом 45° к линии симметрии.Трение отсутствует. Выход линий скольжения на контактную поверхностьравен 45°. Второй граничной линией центрированного поля будет линия,проведенная под углом 45° к матрице. При принятых соотношенияхразмеров и угле наклона образующей матрицы точки C и D лежат наодной дуге окружности с центром в точке A .Центрированное поле граничит с однородным полем.
Одна граничнаялиния AC центрированного поля известна. Вторая граничная линия такжедолжна выходить на границу матрицы под углом 45°. При заданныхразмерах прямая ВС удовлетворяет этому условию и является второйграницей однородной поля.Из построения следует, что угол центрированного поля равен углу наклонаобразующей матрицы θ = γ .333Определим в общем виде зависимость между линейными размерами иуглом наклона матрицы, при котором характерное построенное поле линийскольжения.H −h1.
В нашем случае r =Введем понятие обжатия: r =H2Для упрощения отнесем все линейные размеры к начальной толщинеполосы, тогда начальная толщина полосы будет равна единице, а конечнаявысота полосыh=1− rHИз геометрических соображений следует:r = AB sin γ ; AB = AC 2 ; AC = AD = (1 − r ) 2 ;Поэтомуr = 2(1 − r )sin γОткуда:2sin γr=1 + 2sin γТаким образом, изображенная сетка линий скольжения характерна длястрого определенного соотношения между обжатием и углом наклонаобразующей.Построим годограф скоростей, чтобы убедиться, что построенное полелиний скольжения удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Изусловия неразрывности следует соотношение между скоростями пуансона, искоростью истечения из матрицы:Vп H = Vи hВ нашем случае при единичной скорости пуансона и принятымисоотношениями между толщинами полосы до и после обжатия Vи = 1 2 .
Этотрезультат должен быть получен в результате построения годографаскоростей.Последовательность построения годографа скоростей:Из полюса O отложим единичный вектор OO1 , равный скоростиперемещения верхней жесткой зоны. Поскольку все точки жесткой зоныдвигаются с одной скоростью, точку O1 можно обозначить b' c' d 'Рассмотрим область ABC .
В этой области напряженное состояниеоднородное, следовательно все точки зоны двигаются с одной скоростью.Из граничных условий следует, что направление движения точек –параллельно наклонной поверхности матрицы.334OO1 a'b'd'abcdd''Линия BC одновременно принадлежит жесткой зоне и области ABC , нонаправление скорости в этих областях различны, следовательно вдольлинии BC происходит разрыв скоростей.
Поэтому вектор скоростиматериальных точек в зоне складывается из вектора скорости жесткойзоны и вектора разрыва скоростей вдоль линии BC :V ABC = Vжз + ∆VBCГрафически вектор скорости точек в области ABC определяетсяследующим образом. Проведем из полюса O линию, параллельную линииAB - это направление скорости точек в зоне. Из точки проводим линию,параллельную линии BC - это направление разрыва скоростей (разрывскоростей происходит всегда вдоль линии скольжения). Полученная напересечении этих линий точка – точка abc .
Вектор Oabc - скоростьматериальных точек в области ABC , вектор O1abc - величина разрываскоростей вдоль линии BC .Рассмотрим область ACD . Линия CD является продолжением линиискольжения BC , поэтому величина разрыва скорости вдоль этой линии поабсолютной величине меняться не будет. Изменяться будет тольконаправление разрыва скоростей, причем это изменение равно углуповорота линии скольжения CD от точки C к точке D . Согласнопостроению этот угол равен углу наклона образующей матрицы. Проводимдугу радиусом O1b из точки O1 на центральный угол α . Конечная точкадуги – точка d отражает на годографе скорость точки D области ACD .Скорость истечения – это скорость точки D принадлежащей жесткой зоне.Направление скорости истечения – вертикальное, оно очевидно изграничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
