Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В качестве неизвестныхпринимают также напряжения (или силы). Такой метод называется методомсил. Существует также смешанный метод, в котором в качестве независимыхпеременных принимают и перемещения и напряжения.353полем перемещений. Используя одну из гипотез взаимосвязи напряженного идеформированногосостояний(деформационнуютеорию,теориюпластического течения), можно по известному полю деформаций (скоростейдеформаций) найти поле напряжений. Таким образом, определив это поле,мы всегда можем определить и другие неизвестные.С дискретизацией области тесно связана алгебраизация исходныхуравнений – метод, с помощью которого исходные дифференциальные иинтегральные уравнениях аппроксимируются алгебраическими уравнениямивзаимосвязи узловых переменных.Используют три подхода к дискретизации и алгебраизации краевыхзадач:метод конечных разностей (МКР)метод конечных элементов (МКЭ, Finite Element Method)метод граничных элементов (МГЭ, Boundary Element Method)ui+1,j+1iuijjВ методе конечных разностей используют сеточную дискретизацию –замену непрерывной среды совокупностью узлов некоторой сетки (впростейшем случае - декартовой).
Алгебраизация задачи в этом случаезаключается в замене дифференциальных операторов разностными. Этоозначает, что непрерывное поле перемещений u(x,y,z) заменяется конечныммножеством значений uk=u(xk,yk,zk), а частные производные аппроксимируются конечно-разностными выражениями.
Например:∂u/∂x≅1/2hx×(ui+1,j –ui-1,j)∂2u/∂x2≅1/hx2×( ui+1,j –2ui,j+ ui-1,j)Витогеисходнаясистемадифференциальныхуравненийпреобразуется к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:[A]{u} = {B}Здесь {A} - квадратная матрица N × N , где N - число узловыхпеременных, зависящая от свойств среды и геометрических размеров ячеексетки; {u} - вектор-столбец узловых неизвестных (скоростей илиперемещений узлов сетки) размерностью N × 1 ; {B} - вектор столбец,зависящий от граничных и начальных условий, размерность которого такжеN ×1.Часто в МКР применяют метод сил – неизвестными в этом случаеявляются непосредственно напряжения в узлах конечно-разностной сетки.354Конечно-разностной аппроксимации подвергают частные производныенапряжений по координатам.Основным достоинством МКР является простая алгоритмизация.
Этотметод был очень распространен на заре появления вычислительной техники.Метод конечных разностей обладает рядом недостатков, основные изкоторых - трудности с представлением граничных условий при сложныхграницах рассматриваемых областей, трудности с выбором экономичнойсетки для областей со сложными полями - т.е. со сложным характеромизменения скоростей или перемещений внутри границы области.
Низкаяточность получаемых результатов привела к тому, что в настоящее времяМКР в задачах теории упругости и пластичности практически не используют,отсутствуют и коммерческие программы решения инженерных задач МКР.Дискретизация исследуемой пространственной области в методеконечных элементов (МКЭ) осуществляется ее разделением на большоеколичество малых, но конечных по размерам, элементов некоторой формы.Отсюда название метода – метод конечных элементов. Считается, чтоконечные элементы (КЭ) взаимодействуют между собой только вопределенном количестве точек. Эти точки получили название узлов КЭ.Возможности использования КЭ различной формы, размеров ипространственной ориентации обусловливают легкость дискретизации припроизвольных границах пространственной области.
Это обстоятельство одно из основных преимуществ МКЭ перед МКР.Второе отличие МКЭ от МКР заключается в способе алгебраизациизадачи. Если в МКР аппроксимируются частные производные неизвестнойфункции по пространственным координатам, то в МКЭ аппроксимируетсясама искомая функция в рассматриваемой области.
Реальное поле искомойпеременной заменяется некоторой функцией, зависящей от значенийнеизвестной переменной в узлах сетки КЭ. Эта аппрокисмирующая функцияξ является функцией особого вида. Она состоит из большого числа простыхфункций ϕi (обычно полиномов), но каждая из этих простых функцийопределена только на одном конечном элементе (каждая на своем).ξ ( x, y, z ) = ∑ ϕi ( x, y, z ) , L – количество КЭi =1...LВ конечном счете, задача сводится к решению СЛАУ, неизвестнымикоторой, как и в МКР являются значения независимой переменной в узлахсетки КЭ.Метод конечных элементов строго обоснован, решения, полученные наего основе, прошли экспериментальную проверку, поэтому в настоящиймомент этот метод является основным не только при решении задачупругости и пластичности, но и задач теплопроводности, термоупругости,электродинамики, гидродинамики – в общем, практически всех областейматематической физики. Существует большое количество как коммерческих,так и исследовательских программ, позволяющих выполнить расчеты МКЭширокого круга задач.
Среди наиболее известных программ общего355назначения: ANSYS, NASTRAN, LS-DYNA. Специализированныепрограммы, используемы при решении инженерных задач обработкидавлением: DEFORM, Qform – моделирование процессов объемнойштамповки, AutoForm –моделирование процессов листовой штамповки.Математическая основа метода граничных элементов (МГЭ) состоит впреобразовании исходной системы дифференциальных уравненийотносительно неизвестных, определенных внутри и на границе, в системуинтегральных уравнений относительно неизвестных, определенных толькона границе. Математическую модель записывают в виде т.н. граничныхинтегральных уравнений. Поэтому в ряде источников МГЭ называют МГИУ(метод граничных интегральных уравнений).Это позволяет получить некоторую неизвестную функцию, зависящуюот независимых переменных на границе области.
В дальнейшем производятдискретизацию этой функции, но уже не по всему объему, как в МКЭ, атолько на границах области, отсюда название – метод граничных элементов.Алгебраизация в МГЭ заключается в замене в каждом ГЭ распределенияискомых неизвестных u, p на границе простой (линейной или квадратичной)функцией, зависящей от значений неизвестных в узлах ГЭ ui, piСистема интегральных уравнений преобразуется в СЛАУ:[H]{u}=[G]{p}u,p – вектора значений неизвестных функций в узлах граничныхэлементов (для упругих задач – перемещения и напряжения в узлах)H,G – матрицы влияния, отражающие взаимное влияние в узлов ГЭ.Обоснованность метода граничных элементов доказана для довольноузкого круга задач, математическая модель которых может быть получена ввиде т.н.
граничных интегральных уравнений. Несмотря на очевидныедостоинства, заключающиеся в снижении размерности задачи и приводящиек значительному сокращению времени счета, а также в простоте описанияобласти, МГЭ не получил распространения в практике расчетов задачпластичности. В то же время для задач с очень большими иполубесконечными областями, подчиняющимися теории поля, этот методприменяют с успехом.4.9.2 Основная концепция конечных элементов. Простейший примерОсновная идея МКЭ состоит в том, что любую сложную непрерывнуюфункцию f можно аппроксимировать совокупностью более простых функцийϕj, (j=1…L, L - число участков), каждая из которых определена на одномучастке.
В качестве функции f может выступать любая физическая величина(перемещение,скорость,температура,давление,электрическийпотенциал…), распределенная неизвестным образом в определенной области.В общем виде основные положения, используемые при решении задачиметодом конечных элементов, могут быть сформулированы следующимобразом:Область V разделяют на участки (1D,2D,3D конечные элементы).356Неизвестную функцию ξ , аппроксимируют совокупностью более простыхфункций ϕi, (i=1…L, L - число КЭ).Функции ϕi определены только на одном КЭ (каждая на своем).Функции ϕi - полиномы малых степеней, коэффициенты которых зависятот значений неизвестной функции ξj в ограниченном числе точек – узлахКЭ (j=1…N – общее количество узлов)Систему дифференциальных уравнений Dξ=ψ преобразуют в СЛАУотносительно неизвестных ξjОпределив ξj , с помощью функций ϕiнаходят распределениенеизвестной функции по всей области.В одномерном случае участки определения аппроксимирующихфункций ϕj представляют собой малые отрезки, в двумерном – малыеплощади, в объемном – малые объемы.
Условимся называть эти участки –элементами, а точки соединения элементов между собой – узлами.Поскольку величина элементов мала, то в качестве аппроксимирующихфункций ϕj можно выбрать полиномы невысоких порядков. Обычноограничиваются полиномами не выше третьей степени. В простейшем случаеиспользуют полиномы 1-го порядка, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
