Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Мембранныеконечные элементы имеют по три степени свободы в каждом узле (например,перемещения в направлении координатных осей).Оболочечные элементы помимо нагрузок, действующих вдольповерхности элемента, воспринимают также сдвиговые и изгибающиенагрузки. Такие элементы имеют по 6 степеней свободы в каждом узле – кперемещениям в направлении координатных осей добавляются углыповорота вокруг координатных осей.Степеньаппроксимацииопределяетсястепеньюполинома,использующегося для аппроксимации неизвестной функции и геометрии.
Всвою очередь, степень аппроксимации определяет количество узловэлемента. Узлы обычно находятся в углах и на ребрах элемента, но могутбыть также расположены и внутри элемента. Элементы, имеющие толькоугловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейнуюинтерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительныеузлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечиватьквадратичную или даже кубичную интерполяцию.Вернемся к одномерному случаю. Очевидно, что с помощьюквадратичного полинома можно улучшить аппроксимацию неизвестнойфункции.Для того, чтобы квадратичный полином был определен на одномэлементе, этот элемент должен иметь как минимум 3 узла – по количествукоэффициентов полинома.
Таким образом, для одномерных элементовквадратичный элемент имеет 3 узла, кубический – 4. Квадратичные икубические элементы применяются также в двумерном и трехмерном случае.Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы.Геометрия элемента определяется расположением узловых точек.Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточнопростую геометрическую форму.
Например, в одномерном случае элементы370обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегменты кривыхлиний; в двумерном случае элементы имеют трехстороннюю иличетырехстороннюю форму; в трехмерных задачах наиболее распространенытакие геометрические фигуры, как тетраэдры, призмы и гексаэдрыОпределяющиесоотношения.Каждыйконечныйэлементхарактеризуется некоторой матрицей жесткости, связывающей неизвестныеузловые переменные с известными узловыми внешними воздействиями. Воснове алгоритма ее определения лежит модель свойств среды, которые этотэлемент воспроизводит (упругие, упруго-пластические, пластические,термические, вязкие …). Математические выражения, используемые дляопределения матрицы жесткости элемента носят название определяющихсоотношений.Свойства конечного элемента описывают в виде:{P }= [k ] {u },где {P } - вектор узловых воздействий на элемент размерностью(e)(e){u }(e)(e)(e)N(e) ×1.N (e) = r ⋅ M (e) - число степеней свободы элемента, M (e) - число узловэлемента, r - число степеней свободы в каждом узле или размерностьзадачи.
r = 1 - для одномерных; r = 2 - для двумерных (т.е. плоских иосесимметричных) r = 3 - для трехмерных задач.- вектор неизвестных узловых перемещений той же размерности влокальной системе координат, связанной с элементом.⎡ k (e) ⎤ - матрица размером N (e) × N (e) , зависящая от свойств среды и⎣⎦координат узлов конечного элемента. Эта матрица называетсяматрицей жесткости конечного элемента.Матрицы жесткости конечных элементов обладают следующимисвойствами:все коэффициенты на главной диагонали положительны: keij>0матрица симметрична: keij=kejiсумма коэффициентов равна нулю: ∑keij=0Дискретизация области на конечные элементы решающим образомсказывается на точности решения задачи.371При дискретизации соблюдают следующие правила:Линейные элементы требуют более частой сетки, чем элементы высокихпорядков.Упорядоченная сетка более предпочтительна, чем неупорядоченная.Четырехугольные элементы предпочтительнее треугольных.Элементы более высоких порядков обычно дают и более точныерезультаты.Предпочтительны элементы с близкими значениями размеров сторон(равносторонний треугольник, квадрат, куб …).В местах наибольших ожидаемых градиентов изменения искомойфункции (например в местах концентрации напряжений) необходимоуменьшать размеры конечных элементов (сгущать сетку).Размеры соседних элементов не должны существенно отличаться другот друга.Существуют алгоритмы автоматического разбиения области наконечные элементы.
В большинстве программных комплексов расчета МКЭприменяется автоматизированное разбиение, когда пользователь выбираеттип КЭ, а затем указывает количество узлов на границе. При этом надосгущать узлы вблизи места ожидаемой концентрации поля искомойвеличины.4.9.5 Физический смысл компонент матрицы жесткости конечногоэлемента для задач механики деформируемого тела.Рассмотрим треугольный 2D конечный элемент для задач механикидеформируемого тела.372u4=uyjP4P3u3=uxjjiP6P2u6=uyku2=uyiP1kP5u5=uxku1=uxiТреугольный симплекс75 элемент имеет 3 узла и 6 степеней свободы(по два перемещения в направлении координатных осей в каждом узле).Запишем для этого элемента уравнение жесткости в развернутом виде:{P(e) }= [k (e) ] {u (e) }⎧ P1 ⎫ ⎧ Pxi ⎫⎡ k11 k12⎪P ⎪ ⎪ P ⎪⎢kk⎪ 2 ⎪ ⎪ yi ⎪⎢ 21 22⎪ P ⎪ ⎪⎪ Pxj ⎪⎪ (e) ⎢ k31 k32=⎢P (e) = ⎨ 3 ⎬ = ⎨⎬; k⎪ P4 ⎪ ⎪ Pyj ⎪⎢k 41 k 42⎪ P5 ⎪ ⎪ Pxk ⎪⎢ k51 k52⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎩ P6 ⎭ ⎪⎩ Pyk ⎪⎭⎣ k 61 k 62k13k 23k33k 43k53k 63[ ]{ }k14k 24k34k 44k54k 64k15k 25k35k 45k55k 65k16 ⎤⎧ u1 ⎫ ⎧ u xi ⎫⎪u ⎪ ⎪ u ⎪k 26 ⎥⎪ 2 ⎪ ⎪ yi ⎪⎥k36 ⎥ (e) ⎪u3 ⎪ ⎪⎪ u xj ⎪⎪=⎨ ⎬=⎨⎬⎥; uk 46 ⎥⎪u 4 ⎪ ⎪ u yj ⎪⎪u5 ⎪ ⎪u xk ⎪k56 ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪⎥k 66 ⎦⎩u6 ⎭ ⎪⎩u yk ⎪⎭{ }Положим в этом выражении все узловые перемещения, кроме,например 2-го, равными нулю и запишем развернутое выражение длякаждого элемента вектора сил.
Согласно правилу умножения матриц:nPm = ∑ k lm ul , или:l =1P1 = k11 u1 + k12 u 2 + k13 u3 + k14 u 4 + k15 u5 + k16 u 6 = k12 ,010000P2 = k 22u 2 , P3 = k32u 2 , P4 = k 42u 2 , P5 = k52u 2 , P6 = k 62u 2Очевидно, что в общем случае при u m = 1 ul = 0 , где l = 1,…, n , кромеl = m справедливо:Pm = klmРассмотрим физический смысл полученного выражения. Представимтреугольный элемент, в котором закреплены все степени свободы, кроме75Конечные элементы, у которых число коэффициентов в полиноме наединицу больше размерности задачи называются симплексными.373одной и отсутствуют внешние воздействия. Тогда узловые силы будутреакциями на единичное узловое перемещение.P4P3P2P6P1u2=1P5Таким образом, каждый столбец матрицы жесткости конечногоэлемента представляет собой узловые реакции при единичном перемещениикоординаты, соответствующей номеру столбца и закреплении всехостальных координат.Это определение справедливо, если узловыми неизвестными являютсяперемещения.
Если в качестве узловых переменных используют скорости(это характерно для анализа пластических деформаций), то коэффициентыматрицы жесткости суть реакции на единичную скорость по однойкоординате при закреплении всех остальных.4.9.6 Понятие функции формы конечного элемента.В основу метода конечных элементов положена аппроксимацияреального поля неизвестной функции внутри каждого конечного элементанекоторым полиномом, коэффициенты которого зависят от значений этойфункции в узлах КЭ и координат узлов. В общем случае для аппроксимациииспользуют т.н. функции формы.Рассмотрим понятие функции формы на примере аппроксимации поляперемещений в двумерном линейном элементе.uyiyiuyjjuxiuyuxjuxuykkuxkx374Поле перемещений в каждой точке конечного элемента имеет двесоставляющие76:⎧u ⎫{u} = ⎪⎨u x ⎪⎬⎩⎪ y ⎭⎪Треугольный линейный симплекс элемент имеет 3 узла.
Прииспользовании такого элемента для аппроксимации поля перемещений онимеет 6 степеней свободы (по два перемещения для каждого узла). Такимобразом, вектор узловых неизвестных (в данном случае узловыхперемещений) имеет размерность 6 × 1 :⎧ u xi ⎫⎪u ⎪⎪ yi ⎪⎪u ⎪⎪ xj ⎪( e)=⎨u⎬⎪ u yj ⎪⎪u ⎪⎪ xk ⎪⎪⎩u yk ⎪⎭{ }Для аппроксимации непрерывного поля перемещений необходимопредложить соотношения, связывающие компоненты вектора перемещений{u} в любой точке треугольника с вектором узловых перемещений u (e) .Простейший вид такой зависимости – линейный интерполяционныйполином.
Запишем такие полиномы для аппроксимации компонентперемещений внутри треугольного элемента:u x = α 1 + α 2 x + α 3 y;{ }u y = α4 + α5 x + α6 yЗдесь x, y - координаты точки произвольной точки внутри элемента.Поскольку коэффициентов полинома 6, а известных узловыхперемещений тоже 6, то эти коэффициенты могут быть однозначновыражены через координаты узлов xi , yi , x j , y j , xk , y k и значенияперемещений в узлах. Например, для компоненты u x можно записать:⎧ u xi = α1 + α 2 xi + α 3 yi⎪⎨ u xj = α1 + α 2 x j + α 3 y j⎪u = α + α x + α y12 k3 k⎩ xkРешая систему, получим значения коэффициентов α1 α2 α3 (решениеопустим), выраженные через перемещения в узлах и координаты узлов:76Обратите внимание, что в этой записи вектор {u} обозначает совокупностьдвух функций.375ai u xi + a j u xj + ak u xk⎧=α⎪ 12∆⎪+bub⎪i xij u xj + bk u xk=α⎨ 22∆⎪+cucj u xj + ck u xk⎪α = i xi⎪ 32∆⎩где∆ = (x j y k − xk y j + xi y j − xi y k + yi xk − yi x j )/ 2 - площадь треугольника,ai = x j y k − xk y j , bi = y j − y k , ci = xk − x j , остальные коэффициентыполучаются круговой перестановкой индексов.Таким образом, в общем случае, коэффициенты интерполяционногополинома зависят от значений неизвестной функции в узлах (для нашей{ }задачи – это значения неизвестных перемещений u (e) в узлах конечного{ }элемента) и координат узлов элемента x(e) :{α } =f({u },{x })( e)(e)Аналогичным получается решение и для коэффициентов α4 α5 α6aiu yi + a j u yj + ak u yk⎧⎪α 4 =2∆⎪biu yi + b j u yj + bk u yk⎪⎨ α5 =2∆⎪ciu yi + c j u yj + ck u yk⎪⎪α6 =2∆⎩Подставив полученные значения коэффициентов в исходныйинтерполяционный полином, получим:u x = N i u xi + N j u xj + N k u xku y = N i u yi + N j u yj + N k u ykгде:a j + bj x + c j yai + bi x + ci ya + bk x + ck y;N j =; Nk = k2∆2∆2∆Функции N получили названия функций формы.
Аргументами функцииформы являются координаты точки внутри конечного элемента. Ихотличительная особенность - они равны 1 в том узле, индекс которого носяти равны 0 во всех остальных узлах элемента. Например, для узла i⎞ai + bi x + ci y 1 ⎛⎜Ni ==x j y k − xk y j + xi y j − xi y k + yi xk − yi x j ⎟⎟ = 1⎜2∆2∆ ⎜⎟⎝⎠2∆Ni =376В матричном виде зависимость имеет вид{u} = [ N ]{u (e) }или⎪⎧u x ⎪⎫ ⎡ Ni⎨u ⎬ = ⎢⎩⎪ y ⎭⎪ ⎣⎢ 00Nj0NkNi0Nj0⎧ u xi ⎫⎪u ⎪⎪ yi ⎪0 ⎤ ⎪⎪ u xj ⎪⎪⎥⎨⎬N k ⎦⎥ ⎪ u yj ⎪⎪u ⎪⎪ xk ⎪⎪⎩u yk ⎭⎪Таким образом, если бы определены значения неизвестныхперемещений в узлах, то, используя функции формы, можно найтираспределение перемещений по всему элементу.Аналогично записывают и соотношения для трехмерных элементов, нофункции формы имеют более сложный вид.Итак, основные свойства функций формы можно сформулироватьследующим образом:Функции формы конечного элемента позволяют определить значениенеизвестной функции в произвольной точке внутри конечного элементапо ее координатам (аргумент функции формы – координаты точки) иузловым значениям этой переменной.Вид функции формы (линейный, квадратичный …) зависит от типаэлемента и степени интерполирующего полинома.Коэффициенты функции формы зависят от координат узлов конечногоэлемента.Значения функций формы равны 1 в том узле КЭ, индекс которого носят и0 во всех остальных узлах элемента.4.9.7 Матричный вид взаимосвязи между узловыми неизвестными инапряжениями для задач механики деформируемого тела.Узловыми неизвестными в задачах механики деформируемого тела{ }{ }являются либо узловые перемещения u e , либо узловые скорости ve .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
