Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 59
Текст из файла (страница 59)
все ненулевые коэффициенты глобальнойматрицы жесткости группируются вокруг главной диагонали{U} - вектор столбец узловых перемещений в глобальной системекоординат.4.9.9 Пример: вычисление матрицы жесткости одномерного линейногоупругого конечного элемента.Ранее в параграфе 4.9.2 мы получили матрицу жесткости одномерноголинейного упругого конечного элемента прямым методом. Определимматрицу жесткости этого конечного элемента их общей зависимости,полученной вариационным методом в предыдущем параграфе:⎡ k e ⎤ = ∫ [ B ]T [ D ][ B ] dV⎣ ⎦eVНапомним, что в общем случае взаимосвязь между перемещениямиузлов конечного элемента и узловыми внешними силами описываетсяопределяющим уравнением конечного элемента или уравнением жесткости.{P }= [k ] {u }.(e)(e)(e)Матрица жесткости элемента ⎡ k (e) ⎤ в этом уравнении определяется⎣⎦упругими свойствами элемента и координатами его узлов.Линейный упругий конечный элемент имеет 2 степени свободы,соответствующие перемещениям узлов вдоль оси стержня.
Уравнениежесткости для такого конечного элемента должно иметь вид:⎧ P1 ⎫ ⎡ k11 k12 ⎤ ⎧ u1 ⎫⎨ ⎬=⎢⎥⎨ ⎬⎩ P2 ⎭ ⎣k 21 k 22 ⎦ ⎩u 2 ⎭Ранее прямым методом была получена матрица жесткости такогоэлемента.ES ⎤⎡ ES−⎢L ⎥ = ES ⎡ 1 −1⎤⎡ k (e) ⎤ = ⎢ L⎥⎣⎦ ⎢ ESES ⎥ L ⎢⎣ −1 1⎥⎦−⎣⎢ LL ⎦⎥Здесь E – модуль упругости, S – площадь поперечного сечения, L длина элемента.Для линейного конечного элемента перемещения аппрокисмируютлинейным полиномом:u x = α1 + α 2 x385Выразим коэффициенты линейного полинома α1, α 2 через значенияперемещений в узлах конечных элементов. Перемещения узлов должныудовлетворять предложенной аппроксимации:u1 = α1 + α 2 x1u 2 = α1 + α 2 x 2Совместим начало локальной системы координат с точкой 1 (см.
рис. впараграфе 4.9.2). Тогда x1 = 0, x2 = L . Система преобразуется к виду:u1 = α1u 2 = α1 + α 2 Lоткуда получим:α1 = u1 ;тогдаα2 =u 2 − u1L{ }u 2 − u1x ⎞ x ⎤ ⎧ u1 ⎫xx⎞⎡⎛⎛(e)x = ⎜1 − ⎟u1 + u 2 = ⎢⎜1 − ⎟⎨ ⎬ = [N ] u⎥L ⎠ L ⎦ ⎩u 2 ⎭LL⎠L⎝⎣⎝Таким образом матрица функций формы для линейного конечногоэлемента:[N ] = ⎡⎢⎛⎜1 − x ⎞⎟ x ⎤⎥L ⎠ L⎦⎣⎝Деформации вдоль оси стержня∂u∂⎡ 1 1 ⎤ ⎧u ⎫ u − uε x = x = [ N ] u (e) = [ ∂ ][ N ] u (e) = [ B ] u (e) = ⎢ − , ⎥ ⎨ 1 ⎬ = 2 1L∂x ∂x⎣ L L ⎦ ⎩u2 ⎭Отсюда матрица градиентов для линейного одномерного элемента1 1∂[ B ] = [ N ] = [∂ ][ N ] = ⎡⎢ − , ⎤⎥∂x⎣ L L⎦Закон Гука в матричном виде для общего случая{σ } = [ D ]{ε }для линейного растяжения:⎧σ x ⎫{σ } = ⎪⎨ 0 ⎪⎬⎪0⎪⎩ ⎭⎧ε x ⎫ ⎧ ε x ⎫⎪ ⎪{ε } = ⎨ε y ⎬ = ⎨⎪− µε x ⎬⎪⎪ ⎪ ⎪− µε ⎪x⎭⎩ε z ⎭ ⎩u x = u1 +{ }{ }{ }Матрица упругих коэффициентов[ D] = EПроизведя перемножение, получим известную формулировку законаГука для линейного растяжения386σ x = Eε xПоскольку матрицы упругих коэффициентов и матрица градиентов длялинейного элемента постоянны, то формула для матрицы жесткости такогоэлемента существенно упрощается⎡ k (e) ⎤ = ∫ [ B ]T [ D ][ B ]dV = [ B ]T [ D ][ B ] ∫ dV = [ B ]T [ D ][ B ]V (e)⎣⎦(e)(e)VVИли⎧ 1⎫⎪− ⎪⎡ k (e) ⎤ = ⎪⎨ L ⎪⎬ E ⎡ − 1 1 ⎤ SL = SE ⎡ 1 −1⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎪ 1 ⎪ [ D ] ⎣ L L ⎦ V (e ) L ⎣ −1 1 ⎦⎪⎩ L ⎪⎭[ B][ B ]TТаким образом получено выражение, аналогичное полученному ранеепрямым методом.4.9.10Общаяметодикаглобальной матрицы жесткости системы.формированияРанее подчеркивалось, что глобальная матрица жесткости системысоздается почленным суммированием матриц жесткости конечныхэлементов.
Эта процедура носит название ансамблирование.Алгоритм ансамблирования основан на том факте, что каждыйкоэффициент матрицы жесткости элемента keij суммируется с содержимымстрого определенной компоненты глобальной матрицы жесткости Kml.[K][k]ljimДля определения соответствия локальных степеней свободы элементаглобальным степеням свободы системы на этапе разбиения системы наконечные элементы формируется матрица топологии [T]. Матрица топологииставит в соответствие локальной степени свободы каждого элемента387некоторую глобальную степень свободы83.
Такая матрица топологии имеетразмерность L × N (e) , где число строк L соответствует числу конечныхэлементов системы, а число столбцов N (e) – числу узлов конечного элемента(для простоты полагаем, что система состоит из однотипных конечныхэлементов). Таким образом, содержимое ячейки матрицы топологии tl ,n = mставит в соответствие каждому номеру локальной степени свободыn = 1… N (e) конечного элемента l = 1… L некоторый номер глобальнойстепени свободы m = 1… M .
Здесь M - общее количество степеней свободысистемы (количество узловых неизвестных).n (l ) ⇔ mНомера конечныхэлементов системы[T] матрицатопологии1Номера степеней свободы КЭ1…n…N ( e)…ltl , n = m…LПусть каждый узел имеет r степеней свободы. Пусть также I, J –номера глобальных степеней свободы системы; i, j – номера локальныхстепеней свободы элемента. Тогда индексы коэффициентов матрицжесткости изменяются в следующих пределах:i, j = 1… N (e) .Индексы компоненты глобальной матрицы жесткости K I , J с которойдолжна суммироваться компонента ki(,l j) матрицы жесткости конечногоэлемента с номером l определяется из матрицы топологии содержимымсоответствующих ячеек:I = tl ,i ;J = tl , jТогда, простейший алгоритм формирования глобальной матрицыжесткости системы может быть следующим:цикл по элементам (ПОКА l ≤ L )83Такой выбор формы матрицы топологии сделан в учебных целях.
Вреальных алгоритмах матрица топологии ставит в соответствие номеру узлакаждого элемента некоторый номер узла системы. Соответствие узловполностью определяет соответствие степеней свободы.388(e)(e)двойной цикл степеням свободы элемента (ПОКА i ≤ Nи j≤N )определение индексов компоненты I , J матрицы жесткости КЭ вглобальной матрице жесткостидобавление к содержимому компоненты K I , J глобальной матрицыжесткости величин соответствующих компонент матриц жесткостей КЭki(,l j) .Рассмотрим работу этого алгоритма на учебном примере:Определить матрицу жесткости плоской фермы в форме трапеции,модель которой представлена в виде совокупности 3-х линейныхтреугольных конечных элементов.Совокупность конечных элементов имеет 5 узлов, каждый узел имеет 2степени свободы.
Таким образом, вся система описывается 10-юглобальными степенями свободы U1…10 . Используем приведенные вышеобозначения:L = 3 - число конечных элементов системыM = 10 - число глобальных степеней свободы системыN (e) = 6 - число степеней свободы конечного элемента (локальных)Пронумеруем конечные элементы и узлы системы в произвольномпорядке84.
Будем считать, что номера глобальных степеней свободы для узлас номером m определяются правилом:U 2⋅m −1 = U xm ;U 2⋅m = U ymПронумеруем также узлы каждого конечного элемента. Для плоскихзадач узлы конечных элементов нумеруют против часовой стрелки. Каждыйl)конечный элемент будет иметь по 6 локальных степеней свободы u1(…6.Правило нумерации локальных узлов в зависимости от локального номераузла аналогичны глобальным.84От порядка нумерации зависит структура матрицы жесткости системы.Обычно матрица жесткости системы имеет ленточную структуру – т.е.
ееэлементы группируются вокруг главной диагонали. При оптимальнойнумерации узлов ширина ленты матрицы жесткости является минимальной,что экономит вычислительные ресурсы. Однако вопросы оптимальнойнумерации выходят за рамки настоящего курса.389Составим матрицу топологии – т.е. определим соответствие междулокальной и глобальной нумерацией узлов.Для данного конкретного случая матрица топологии будет квадратнойразмерностью 3×6.⎡1 2 3 4 7 8⎤[T ] = ⎢⎢ 9 10 7 8 3 4 ⎥⎥⎢⎣ 3 4 5 6 9 10 ⎥⎦Результаты работы алгоритма приведены ниже. Например, компонентK3,4 получен следующим образом:для элемента 1 (l=1): при i=3 I = tl ,i = t1,3 = 3; j=4 J = tl , j = t1,4 = 4;для элемента 2 (l=2): при i=5 I = tl ,i = t2,5 = 3; j=6 J = tl , j = t2,6 = 4;для элемента 3 (l=3): при i=1 I = tl ,i = t3,1 = 3; j=2 J = tl , j = t3,2 = 4 .(1)(2)(3)+ k5,6+ k1,2Таким образом K3,4 = k3,4Анализ алгоритма показывает, что в формирование компонентаглобальной матрицы жесткости вносят вклад компоненты матриц жесткоститолько тех элементов, на которые непосредственно воздействуют глобальныестепени свободы, соответствующие индексам искомой компонентыглобальной матрицы жесткости.
Иными словами, в формированиекомпонента K I , J вносят вклад только те элементы в строке матрицытопологии которых содержатся одновременно значения I и J.Так для компонента K3,10 этим условиям удовлетворяют только 2 и 3элементы (см. строки 2 и 3 матрицы топологии). Для элемента l=2: индексуI=3 соответствует i=5; индексу J=10 соответствует j=2. Для элемента l=3:индексу I=3 соответствует i=1; индексу J=10 соответствует j=6.Следовательно:390(2)(3)K3,10 = k52+ k16Общий вид глобальной матрицы жесткости системы:[K] =k11,1k11,2k11,3k11,400k11,5k11,600k12,1k12,2k12,3k12,400k12,5k12,600k13,1k13,2k13,3+k25,5+k31,1k14,3+k26,5+k32,1k13,4+k25,6+k31,2k31,3k14,4+k26,6+k32,2k32,3k33,1k33,2k14,100k15,1k16,10k14,21,4k32,40k33,3k33,40k15,2k16,2k34,1k34,2k34,3k15,3+ k15,4+ 0k23,5k23,6k34,40k16,3+ k16,4+ 0k24,5k24,60k25,2+k31,6k26,2+k32,6k33,5k33,6k34,5k34,6k15,5+ k15,6+k23,3k23,4k23,1k23,2k16,5+ k16,6+k24,3k24,4k24,1k24,2000k21,5+ k21,6+k35,1k35,2k35,30k3k13,5+ k13,6+k25,1+k25,3k25,4k31,5k14,5+ k14,6+k26,3k26,4k26,1+k32,500kk21,3k21,4k21,1+ k21,2+k35,5k35,6k22,3k22,4k22,1+ k22,2+k36,5k36,635,40k22,5+ k22,6+k36,1k36,2k36,3k36,4Из материала параграфа следует, что существует простой алгоритмформирования глобальной матрицы жесткости системы по известнымматрицам жесткости конечных элементов и структуре (топологии) системы.Следовательно, определив матрицы жесткости конечных элементов можноавтоматически составить математическую модель системы, главной частьюкоторой является глобальная матрица жесткости.Если решается линейная задача теории упругости, то компонентыматриц жесткости не изменяются, они могут быть вычислены один раз.Поэтому решение линейных задач теории упругости методом конечныхэлементов осуществляется достаточно быстро даже для большого количестваконечных элементов.3914.9.11теории упругостиПроцедура МКЭ для нелинейных задачЕсли деформируемое тело подвергается чисто упругим деформациям,подчиняющимся обобщенному закону Гука, а внешние нагрузки постоянны,то разрешающая система уравнений, как было показано выше, являетсясистемой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) независимо отразмерности задачи:[ K ]{U } = {R}Существующие алгоритмы позволяют автоматически формироватьглобальную матрицу жесткости [ K ] по геометрии, физическим свойствамэлементов и топологии системы.
Вектор узловых внешних нагрузок { R}также формируется автоматически по заданным внешним нагрузкам.Решение СЛАУ не представляет сложностей. Поэтому существует большоеколичество программ надежно осуществляющих решение линейных задачтеории упругости методом конечных элементов.Алгоритм решения существенно усложняется в том случае, еслиматрицы разрешающей системы уравнений сами зависят от вектора узловыхперемещений {U } :f K ({U } ) ; { R} = f R ({U } )В этом случае разрешающая система уравнений становится системойнелинейных уравнений (CнЛУ).Нелинейности в задачах механики деформируемого тела можноразделить на 2 типа: геометрическая и физическая нелинейность.Геометрическая нелинейность является следствием изменениягеометрии системы в процессе деформации. В задачах упругой деформациигеометрическая нелинейность проявляется во влиянии на вектор внешнихнагрузок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
