Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Очевидно, что она состоит из компонент матриц жесткостиконечных элементов. Позже мы покажем, что существует простой алгоритмобразования глобальной матрицы жесткости из компонент матрицыжесткости конечных элементов.Полученная система уравнений вида { R} = [ K ]{U } являетсяразрешающей системой уравнений для рассматриваемой задачи. В этом видеполучают систему уравнений для всех задач, решаемых МКЭ. Для линейныхзадач, к которым относится задачи теории упругости, эта система уравненийявляется окончательной. Для нелинейных задач, к которым относятся задачитеории пластичности, подобные системы получают на каждом шагеитерационного решения.Система уравнений { R} = [ K ]{U } - система линейных алгебраическихуравнений (СЛАУ). Алгоритмы решения таких систем хорошо разработаны.Выполним преобразование полученной системы с целью учетаграничных условий, которые мы не учли при составлении системыуравнений.
Для анализируемой системы глобальная степень свободы U 3равна нулю (заделка правого конца стержня). В этом случае преобразованиесистемы уравнений заключается в вычеркивании соответствующих столбцови строк матриц жесткости и векторов внешних сил и глобальныхперемещений.−k10 ⎤ ⎧U1 ⎫⎧ Q ⎫ ⎡ k1⎪ ⎪ ⎢⎥ ⎪ ⎪⎨ 0 ⎬ = ⎢ − k1 k1 + k2 − k2 ⎥ × ⎨U 2 ⎬⎪−Q ⎪ ⎢ 0− k2k2 ⎦⎥ ⎪⎩U 3 ⎪⎭⎩ ⎭ ⎣В результате получим окончательно:− k1 ⎤ ⎧ u1 ⎫⎧Q ⎫ ⎡ k1⎨ ⎬=⎢⎥ × ⎨u ⎬kkk−+0⎩ ⎭ ⎣ 2 12⎦ ⎩ 2⎭Выполненное нами преобразование имеет глубокий физический смысл.Фактически мы избавились от перемещения системы как жесткого целого.Математический смысл преобразования – ликвидация вырожденностиисходной системы. Действительно, если мы попытаемся вычислить ееопределитель, то убедимся, что он равен нулю.∆ = k1 (k1 + k 2 )k 2 − (− k1 ⋅ −k1 ⋅ k 2 ) − (− k 2 ⋅ −k 2 ⋅ k1 ) = 0Это означает, что уравнения системы не являются независимыми.
Этоодна из типичных ошибок при моделировании статических задач МКЭ. Дляликвидации этой проблемы в статических задачах всегда следуетпредусматривать закрепление тела от перемещения как жесткого целого.В нашем конкретном случае решение системы довольно просто:⎛111⎞u1 = Q⎜⎜ + ⎟⎟ , u 2 = Q .k2⎝ k1 k 2 ⎠Очевидно, что его можно было получить, рассматривая жесткостьпоследовательного соединения двух пружин.365Этот пример позволил нам рассмотреть все этапы,используются при решении задачи методом конечных элементов.которые4.9.3 Процедура МКЭОбобщим сведения, полученные из предыдущих параграфов:Метод конечных элементов – метод решения задач математическойфизики, основанный на представлении анализируемого объекта в видесовокупности малых по размеру областей (конечных элементов), в каждойиз которых искомую функцию аппроксимируют полиномами низкихстепеней.Конечные элементы взаимодействуют между собой в ограниченномколичестве точек, называемых узлами КЭ.Коэффициенты полиномов зависят от значений неизвестной функции вузлах КЭ и от геометрических размеров КЭ.Систему уравнений, являющейся дискретной моделью, строят сиспользованием «прямого» или «вариационного» метода.В прямом методе уравнения для элемента получают путем решенияисходной системы уравнений для элемента с учетом свойстваппроксимирующей функции.
Объединение уравнений элементов вобщую систему уравнений (ансамблирование) осуществляют на основеуравнений равновесия узлах.В вариационном методе ставится задача отыскания таких значенийнеизвестной функции в узлах КЭ, которые бы являлись наилучшимприближением к истинному распределению искомой функции. Задачурешают путем минимизации некоторого функционала, связанного сфизической сущностью задачи.Оба метода приводят к разрешающей системе уравнений в виде СЛАУотносительно неизвестных узловых значений функции.Разрешающая система уравнений имеет вид:{R} = [ K ]{U } ,где {R} - вектор внешних узловых воздействий размерностью N × 1 ( N число степеней свободы или количество неизвестных узловыхпеременных в рассматриваемой задаче),{U } - вектор неизвестных узловых переменных той же размерности вглобальной системе координат;[ K ] - квадратная матрица N × N , зависящая от матриц жесткостиконечных элементов и их ориентации относительно глобальной системыкоординат.
Эта матрица называется глобальной матрицей жесткости.Процедура метода конечных элементов состоит в следующейпоследовательности шагов:Препроцессорная стадия (подготовка данных)Анализ исходных данных и выбор расчетной схемы (объемная,осесимметричная, плоская, одномерная).366Задание геометрических форм и размеров объекта в соответствии свыбранной расчетной схемой.Задание физических свойств среды.Выбор типов используемых конечных элементов.Дискретизация объекта на конечные элементы.Задание граничных условий.Процессорная стадия (решение)Определение компонент глобальной матрицы жесткости [K] иглобального вектора нагрузок {R} по параметрам конечных элементови известным внешним воздействиям.Преобразование системы уравнений с учетом граничных условий.Решение системы уравнений {R}=[K]{U} относительно векторанеизвестных узловых переменных.Постпроцессорная стадия (анализ решения)Вычисление предусмотренных постановкой задачи выходныхпараметров (например, деформаций, скоростей деформаций,напряжений, сил, работы деформирования…) по полученнымзначениям неизвестных узловых переменных.Приведенная последовательность характерна для решения линейныхзадач.
В том случае, если в задаче есть существенные нелинейности(например, наличие контактов – геометрическая нелинейность, пластичность– физическая нелинейность), то процесс решения осуществляется занесколько шагов, на каждом из которых может выполняться итерационноерешение.В коммерческих пакетах большинство операций автоматизировано.Некоторые программы оставляют за пользователем только этапы 1-4, аостальное делают автоматически (например, QForm, фирмы Quantor, Россия).В программах общего назначения пользователю приходитсяучаствовать также и в процессе дискретизации области (т.е. представленииобласти в виде совокупности конечных элементов), которая выполняется вполуавтоматическом режиме.От качества дискретизации зависит точность решения задачи.4.9.4 Понятие конечного элемента и дискретизация областиКонечный элемент – это область простой геометрии, в которойистинное распределение искомой функции аппроксимируется полиномом,зависящим от значений искомой функции в ограниченном числе точек –узлах элемента.Рассмотрим основные типы конечных элементов и их свойства, иногданазываемые атрибутами элементов.
Основные атрибуты элемента –размерность, степень аппроксимирующего полинома, геометрическая формаэлемента.367Размерность элемента определяется размерностью задачи. Различаютодномерные, двухмерные и трехмерные элементы.Одномерные элементы (1D) используют для анализа распределениянеизвестной функции ξ = ξ ( x) вдоль некоторой оси (в общем случаекриволинейной).Физически 1D элементы являются криволинейными стержнями, впростейшем случае постоянного поперечного сечения.Следует иметь в виду, что, несмотря на размерность, элемент всегдазадает распределение функции в объеме. Для одномерных элементовпринимается, что в сечении, перпендикулярном оси функция постоянна.Поэтому для определения объема необходимо дополнительно задать ещеодин параметр – площадь сечения.368Двумерные элементы (2D) используют для анализа распределенияфункции по поверхности ξ = ξ ( x, y ) , по толщине элемента функцияпринимается постоянной ξ ( z ) = const .Физически 2D элементы являются пространственными призмами свысотой равной толщине детали (размер вдоль оси z).Для определения их объема необходимо дополнительно задатьтолщину элемента.Частным случаем двумерных элементов являются осесимметричныеэлементы, использующиеся для решения задач распределения неизвестнойфункции на плоскости, проходящей через ось симметрии детали ξ = ξ ( ρ , z ) .Физически осесимметричные элементы являются пространственнымителами вращения, образованными вращением элемента вокруг оси детали.Для определения их объема дополнительных геометрическихпараметров задавать не требуется, т.к.
объем полностью определенкоординатами узлов.Трехмерные (3D) элементы используют для решения задачраспределения неизвестной функции в пространстве ξ = ξ ( x, y, z ) .Трехмерные элементы делятся на элементы типа SOLID(твердотельные) и SHELL (пластины).Для определения объема SOLID элементов дополнительныхгеометрических параметров задавать не требуется, т.к. объем полностьюопределен координатами узлов.Элементы типа SHELL используют для анализа рспределениянеизвестной функции в тонкостенных и толстостенных оболочках. Онитребуют задания дополнительно толщины пластины. Толщина может бытьпеременной, в каждом узле можно задать свою толщину. Распределение369толщины по площади пластины аппроксимируют линейным иликвадратичным полиномом.SHELL элементы делятся на мембраны и оболочки. Отличительнаяособенность мембран, используемых для решения задач механикидеформируемого тела – пренебрежение деформациями сдвига и изгиба вплоскостях, перпендикулярных срединной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
