Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вдоль линии AD происходит разрыв скоростей.Проведя из точки O вертикальную линию – направление скоростиистечения, а из точки d линию, параллельную линии разрыва AD(направление разрыва скоростей) на пересечении получим точку d ' ' .335Вектор Od '' - скорость истечения металла. Очевидно, что выполняетсявекторное равенство:VD = Vжз + ∆V ADПри правильном построении:Od ' '⋅h = Ob'⋅HВ нашем случае Od ' = Ob'⋅2 . Таким образом, кинематическиеграничные условия выполнены.Определим величину давления на стенку матрицы.Из граничных условий определим напряженное состояние в точке D :σ y = 0 , из условия пластичности с учетом напряженного состояния сжатия:σ x = −2k , откуда σ cpD = −k .Определим семейства α и β .
Поскольку σ y = σ 1 , то направления sαсоставляет угол +π3π.4определенияс осью Oy . Иными словами ωαD =4Воспользуемся интеграломнапряжений в точке C :Генкидлясредних⎡ 3π ⎛ 3π⎞⎤−⎜+ γ ⎟ ⎥ = 2 kγ⎠⎦⎣ 4 ⎝ 4σ cpD − σ cpC = −2k (ω D − ωC ) = −2k ⎢Отсюдаσ cpC = σ cpD − 2kγ = − k (1 + 2γ ) .σy=0=σ1σx=-2kн.с. в (·)DBC11αB1C13αDβ3βAA1yxПоскольку в области ABC поле однородное, то напряженноесостояния в любой точке этого поля одинаково, поэтому на линии контакта336AB средние напряжения такие же, как в точке C .
Следовательно, иконтактные давления по линии AB постоянны.Нормаль к линии AB совпадает с направлением действия напряженияσ 3 . Это следует из рисунка. Следовательно, контактное давление по линииAB p = σ 3 .Из диаграммы Мора для плоского деформированного состоянияследует, что σ 3 = σ cp − k , откуда p = σ cpC − k = −2k (1 + γ ) .Удельная сила прессования может быть определена из условияравновесия полосы в целом:r⋅ sin γq ⋅1 = p ⋅sin γконт.пов.силапроекц.силы на Oyоткуда:q = p ⋅ r = 2k (1 + γ )sin γ (1 + γ )2sin γ= 4k1 + 2sin γ1 + 2sin γτточка Dkσy=0σσcpD=-k=σzDσzσxD=-2kσxC=σcpC+ksin2ωточка Cσxτkσyσ1C=-2kγσσxσcpC=-k(1+2γ)=σzDσz2ωσyC=σcpC-ksin2ωσ3C=-2k(1+γ)2sin γусловие выхода линий скольжения на ось симметрии1 + 2sin γпод углом 45° выполняется только при следующем поле линий скольжения.При r <337Это поле строится на двух дугах. Для изображенного поля справедливоθ −ψ = γ .Eπ/4CψBFθDγπ/4AПоле линий скольжения для случая r >2sin γ1 + 2sin γизображено нарисунке.FGHECKDBA4.8.22прямыми стенками.Прессование полосы в контейнере сРассмотрим случай прессования в контейнере с прямыми станками какчастный случай прессования в контейнере с наклонными стенками при угле2sin π2sin γ2 =2наклона γ = 90° и обжатием r > rкр ==1 + 2sin γ 1 + 2sin π32338Полуширина заготовки b=136,76 мм, полуширина готовой полосыa=25 мм.
Трение между заготовкой и инструментом по прежнемуотсутствует.Последовательность построения поля линий скольжения для этогослучая может быть следующейАналогично задаче о выдавливании через матрицу с наклоннымистенками считаем, что точка A - край матрицы – является особойточкой, поскольку напряжение в ней неопределено.Известно, что из особой точки исходит центрированное поле линийскольжения, состоящее из совокупности отрезков прямых, исходящих изособой точки и дуг с центром в особой точке.Поскольку линии скольжения выходят на линию симметрии под углом45°, то можно провести линию AD под углом 45° к оси.
Эта линия будетотделять жесткую зону от поля линий скольжения.По условию задачи трение на контактной поверхности матрицы ABотсутствует. Линии скольжения выходят на поверхность на которойотсутствуют контактные напряжения под углом 45°, поэтому можнопровести линию из точки A под углом 45° к лини AB . Эта линия будетграницей центрированного поля линий скольжения.be,cg,hb=135.76ммπ/4-γ/22,11,10,0αD14,15γ6,11γ5,1Fπ/4+γ/2π/4+γ/23,1Оb",g",h",f”GfK1,0γ2,0 3,0 4,0γ γ γ γγ6,05,0Cπ/4π/4Aπ/2+γ/2π/2+γ/2π/2-γ/2π/47,0E7,1Hkπ/4+γ/2π/4-γ/2f'8,1Bk'βa=25ммdПроведя дугу, радиусом AD , получим точку C . Зона ACD будетявляться центрированным полем линий скольжения.К центрированному полю обязательно примыкает зона однороднойдеформации, состоящая из отрезков прямых, пересекающихся подпрямым углом.
Для определения границы этой зоны следует провести източки C прямую, перпендикулярную линии AC до пересечения с339контактной поверхностью AB в точке E . Из геометрическихсоотношений следует, что углы ∠CAE = ∠AEC = π / 4 . Если бывертикальная стенка матрицы начиналась точно из точки E , то задачабыла бы решена. В этом случае r=⅔ . В нашем же случае необходимопродолжить построения поля. Это кстати свидетельствует о том, чтодавление на матрицу будет не постоянным.Воспользуемся методикой Л.А.Шофмана, который показал, чторавноугольное поле линий скольжения73 можно с большой точностьюзаменить полем из отрезков прямых.
Чем меньше угол γ между двумялиниями скольжения одного семейства, тем точнее будут построеныузлы сетки. Напомним, что в методе Шофмана углы элементарнойячейки поля составляют: два противоположных по π/2, а другие двапротивоположных соответственно π/2+γ и π/2−γ .NOβ1β2π/2π/2−γπ/2+γπ/2MK α2N'α1Для того, чтобы воспользоваться методикой Шофмана разделимцентрированное поле на равные сектора с углом γ . Этот угол выбираютобычно в пределах 5…15°. Для наглядности построения выберем уголγ=15°=π/12 . В домашнем задании следует выбирать γ=5°=π/36.Заменим дугу DC ломаной линией, состоящей из отрезков,соединяющих точки пересечения радиусов с дугой.
Пронумеруемполученные узлы соответственно от (0,0) – точка D до (6,0) – точка C.Такая нумерация продиктована тем, что линия DC – это линия β (см.предыдущую задачу). Точку E обозначим через (7,0).Необходимо продолжить построение поля линий скольженияосновываясь на уже известной линии скольжения DCE , кроме того, намизвестен угол выхода линий скольжения на осевую линию и контактныеповерхности – иными словами необходимо решить смешанную краевуюзадачу.Найдем точку пересечения линии скольжения α , проходящей черезточку (1,0) и осевой линией.
На ось симметрии линии скольжениядолжны выходить под углом π/4. При кусочно-линейном построенииполя линии скольжения выходят на поверхности где отсутствуюткасательные напряжения (в том числе на ось симметрии) под углами73Поле, углы между двумя ближайшими линиями скольжения разныхсемейств которого равны между собой.340π/4+γ/2, π/4−γ/2. Проведем из точки (1,0) линии, перпендикулярныйотрезку (0,0)-(1,0). На пересечении этой линии с осью симметрииполучим точку (1,1).
Дополнительно обозначим эту точку F . Линия(1,0)-(1,1) составит с осью симметрии угол π/4−γ/2.Дальнейшее построение поля основано на задаче построения поля линийскольжения по двум известным линиям скольжения. Имеем известныелинии скольжения (1,0)-(2,0) и (1,0)-(1,1). Восстановим перпендикулярыиз крайних узлов (2,0) и (1,1). На пересечении этих перпендикуляровнайдем узел (2,1). В полученном четырехугольнике два угла прямые, адва других противоположных соответственно π/2+γ и π/2−γ.Построение точек (3,1) … (6,1) выполняем аналогично. Таким образом,построен участок поля линий скольжения DFCG . Это поле в которомвсе отрезки – кривые, просто мы их заменили прямыми для простотыпостроения.Задача построения точки (7,1) на основе линий скольжения (6,0)-(7,0) и(6,0)-(6,1) решается немного по-другому. Из этих двух линий (в отличиеот предыдущих) – одна (6,0)-(7,0) – прямая, следовательно, все линииэтого семейства - также прямые.
Таким образом, линия, исходящая източки (6,1) должна быть тоже прямой. Согласно первой теорем Генки,угол между этими линиям должен быть равен γ . Из геометрическихпостроений следует, что ∠GCE=π/2+γ/2, следовательно прямую линиюиз точки G необходимо провести под тем же углом к линии CG, чтобыполучить необходимый угол между линиями скольжения.Поскольку линии скольжения выходят на контактную поверхность безтрения под углом π/4. В том случае, если контактные давленияраспределены равномерно, то эти линии прямые, в противном случае –кривые. При кусочно-линейном построении по методу Шофманаисходные кривые линии заменяются прямыми, выходящими наконтактную поверхность под углами π/4+γ/2, π/4−γ/2. Проведем из точкиE линию под углом π/4+γ/2 к контактной поверхности и на пересеченииполучим точку (7,1).Проведем из точки (7,1) перпендикуляр к линии (7,0)-(7,1). Напересечении этого перпендикуляра и контактной поверхности получимточку (8,1).
Из построения следует, что угол выхода этой линии наконтактную поверхность составит π/4−γ/2.В том случае, если точка (8,1) совпадет с точкой B - углом матрицы, топостроение заканчивается. В противном случае, необходимо либопостроить еще один ряд, опираясь на линию скольжения (1,1)-(8,1), либоуменьшить угол сектора γ и повторить построения, опираясь на линиюскольжения (0,0)-(7,0).Для проверки корректности построения поля линий скольженияпостроим поле (годограф) скоростей.Последовательность построения:341Из полюса О откладываем единичную скорость равную скоростипуансона.
Эту скорость имеют все точки жесткой зоны, поэтому конецединичного вектора можно одновременно обозначить через b",g",h",f".Начнем построение с точки B . В жесткой зоне точка двигаетсявертикально, в пластической же – горизонтально, вдоль поверхностиматрицы. Линия разрыва скоростей направлена под углом 45° кповерхности матрицы. Проводим линию из полюса параллельноповерхности матрицы и линию из точки b" параллельно направлениюлинии разрыва скоростей.
На пересечении этих линий находится точка b ,отражающая скорость точки B в зоне пластических деформаций. Векторb"b представляет собой разрыв скорости при переходе от жесткой зоны кпластической.Вдоль линии разрыва абсолютная величина разрыва постоянна, ноизменяется по направлению. От точки B до H линия скольженияповорачивается на угол γ , на этот же угол поворачивается и векторразрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
