Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Оноследует непосредственно из интеграла Генки.При движении вдоль линии скольжения одного семейства среднеенапряжение изменяется пропорционально углу поворота линии скольжения.Из этого свойства вытекает важные следствия:Вдоль прямой линии скольжения напряженное состояние неизменяется.Действительно, вдоль прямой линии угол наклона ω постоянен,следовательно, постоянно и среднее напряжение σ cp . Поскольку компонентынапряженного состояния при плоской деформации полностью определяютсяуглом поворота линий скольжения и средним напряжением, то и всекомпоненты остаются постоянными.Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линийскольжения, то напряженное состояние в этой области будет однородным(компоненты тензора напряжений равны в любой точке области), и,наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольженияпредставляет собой сетку ортогональных прямых.Первая теорема Генки:Угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства вточках их пересечения с линиями скольжения другого семейства остаетсяпостоянным.Рассмотрим криволинейный четырехугольник MNPQ , заключенныймежду двумя линиями скольжения одного семейства и двумя линиямискольжения другого семейства.304β2β1Pα2QθNθα1MωMПусть среднее напряжение в точке M известно и равно σ cpM .Определим среднее напряжение в точке P .
Используем для этих целейпервое свойство линий скольжения, согласно которому среднее напряжениепри перемещении вдоль линии скольжения увеличивается пропорциональноизменению угла наклона линии.Величину среднего σ cpP можно определять двумя способами. Двигаясьвдоль линии α1 определить σ cpN , а затем, двигаясь вдоль линии β 2определить σ cpP . Тогда:σ cpM − σ cpN = −2k (ω M − ω N ) = −2kω MN ; σ cpN = σ cpM + 2k (ω M − ω N )σ cpN − σ cpP = 2k (ω N − ω P ) = 2kω NP ;σ cpP = σ cpN − 2k (ω N − ω P )или:σ cpP = σ cpM + 2k (ω M − 2ω N + ω P )Другой способ – сначала определить σ cpQ двигаясь вдоль линии β1 , азатем - σ cpP двигаясь вдоль линии α 2 .
В этом случае:σ cpM − σ cpQ = 2k (ω M − ω Q ); σ cpQ = σ cpM − 2k (ω M − ω Q )σ cpQ − σ cpP = −2k (ω Q − ω P ) ; σ cpP = σ cpQ + 2k (ω Q − ω P )или:σ cpP = σ cpM + 2k (− ω M + 2ω Q − ω P )Очевидно, что среднее напряжение в точке не может зависеть отспособа его определения. Поэтому:ω M − 2ω N + ω P = −ω M + 2ω Q − ω PОткуда:ω M − ω Q = ω N − ω P = θ = constТеорема доказана.Из этой теоремы есть важное следствие:Если хотя бы одна линия скольжения одного семейства – прямая, товсе линии скольжения этого семейства также прямые.Вторая теорема Генки:305При перемещении вдоль линии скольжения одного семейства радиусыкривизны второго семейства в точках их пересечения с данной линией первогосемейства изменяются на величину пройденных расстояний.β2β1QRβ+dRβd θαO2d θαRβPα2dsαNα1MO1Рассмотрим бесконечно малый криволинейный четырехугольникMNPQ , заключенный между двумя линиями скольжения одного семейства идвумя линиями скольжения другого семейства.Поскольку четырехугольник бесконечно малый, то отрезки линийскольжения между узловыми точками можно заменить дугами окружностей.Центры дуг для одного семейства будут расположены в точках пересечениякасательных к линиям скольжения другого семейства, поскольку линиискольжения ортогональны и, следовательно, касательная к одной линииявляется нормалью к другой.Рассмотрим кривизну линий скольжения семейства β в двухбесконечно близких точках пересечения этого семейства с одной линиейсемейства α .
Пусть в точке Q пересечения линии α 2 с линией β1 кривизналинии β1 :ρ β Q = RβКривизна дуги линии скольжения β 2 в точке P пересечения с линиейα 2 изменится на величину dRβρ β P = Rβ + dRβВторая теорема Генки утверждает, что изменение кривизны дуги dRβравно длине линии скольжения dsα между двумя точками Q и P :dRβ = dsαДля линии семейства α согласно второй теореме Генки:dRα = ds βТеорема Прандтля.Центры кривизны дуг одного семейства линий скольжения, пересекающихфиксированную линию скольжения другого семейства лежат на эвольвентеэтой фиксированной линии скольжения.306αM7M6βM5M4OM2M1O2 R2O3R3R4M3R5R6R7O4O5O6O7Пусть линию скольжения α пересекает семейство линий скольженияβ в точках M 1 ,…, M 7 .
Согласно 2-й теореме Генки радиусы кривизны линийскольжения семейства β в точках M 1 ,…, M 7 при движении вдоль линиискольжения α изменяются на величину пройденных расстояний:R2 = OM 2R3 = OM 2 + M 2 M 3Ri = OM i −1 + M i −1M iИными словами кривая OO7 является разверткой линии скольжения α ,а, следовательно, является ее эвольвентой.Теоремы Генки и Прандтля позволяют построить линии скольженияграфическим путем.Выход линий скольжения на внешний контур тела.Углы наклона линий скольжения при выходе на контур зависят отвеличины касательного напряжения на контуре.Пусть M - точка внешней поверхности в которой действуеткасательное напряжение τ k . Совместим ось x декартовой системыкоординат с направлением касательной к поверхности в интересующей насточке. В этом случае, исходя из граничных условий справедливо:τ k = τ yx = −k cos 2ω307или:1⎛ τ ⎞ωα M = arccos ⎜ − k ⎟ .2k⎝⎠yконтур сизвестным τKασyτyxMτxyτKτyxσxMxωβωαβЗдесь ωα M - угол наклона линий скольжения семейства α ккасательной к внешней поверхности в точке M или угол выхода линийскольжения на внешнюю поверхность.Резюмируем, следуя М.В.Сторожеву, основные свойства линийскольжения:Линии скольжения являются траекториями главных касательныхнапряжений.Линии скольжения непрерывны.Линии скольжения образуют два семейства.Линии скольжения взаимно ортогональны.Линии скольжения пересекают траектории главных напряжений подуглом 45°.В пластически деформируемом теле может быть построенобесконечное множество линий скольжения, но через произвольнуюточку можно провести только по одной линии скольжения каждогосемейства.Изменение среднего нормального напряжения при движении вдольлинии скольжения пропорционально углу ее поворота.Угол между касательными к двум линиям скольжения одногосемейства в точках их пересечения с линиями другого семействаостается постоянным.Радиусы кривизны линий скольжения изменяются на величинурасстояний, пройденных по линиям скольжения другого семейства.308Углы наклона линий скольжения при выходе на контур зависят отвеличины касательного напряжения на контуре.4.8.8 Граничные условияРанее было показано, что для решения задачи методом линийскольжения необходимо знать среднее напряжения хотя бы в одной точке.Обычно такие напряжения можно определить из граничных условий.Рассмотрим наиболее распространенные граничные условия.На контуре отсутствуют касательные напряженияТаким контуром может быть свободная поверхность, поверхностьинструмента, на которой отсутствует трение, линия симметрии.Направим ось x системы координат вдоль границы тела.
Тогдаконтактные напряжения на границе τ k = τ yx . Используя: τ yx = −k cos 2ω = 0получим: ω = ± π . Таким образом, линии скольжения пересекают контур на4котором отсутствуют касательные напряжения под углом 45°.n(y)π/4τΚ=0Mα−π/4t(x)βВажный частный случай – выход линий скольжения на свободнуюповерхность.
В этом случае на внешнем контуре отсутствуют каккасательные, так и нормальные напряжения.Подставляя значения ω = ± π в уравнения для σ x и σ y получим:4σ x = σ cp ± kσ y = σ cp ∓ kПусть внешняя поверхность расположена параллельно оси x . Тогда осьy будет направлена по нормали к свободной поверхности, а, следовательно:σy =0Отсюда σ cp = ± k , σ x = ∓2k .Таким образом, вдоль внешней свободной поверхности действуютнормальные напряжения растяжения или сжатия. Точное значение знакауточняется на основе физического смысла задачи.Касательные напряжения на контуре максимальныТакие граничные условия обычно используют на контактнойповерхности инструмента при учете трения, а также на линии разрыва,разделяющих жесткие и пластические зоны.309Так же, как и ранее направим ось x вдоль границы тела.
Используя:τ yx = −k cos 2ω = τ max = k получим: cos 2ω = −1; ω = 0, − π 2 . Таким образом,линии скольжения пересекают контур на котором касательные напряжениямаксимальны под углами 0° и 90°.`n(y)τΚ=τmax=kt( x )M-π/2βαПодставляя значения ω = 0, − π2в уравнения для σ x и σ y получим:σ x = σ cp + k sin 2ω = σ cpσ y = σ cp − k sin 2ω = σ cpОднако величину σ cp в этом случае из граничных условий определитьне удается.4.8.9 Основные краевые задачи.Основной задачей, которую приходится решать в методе линийскольжения – это построение полей линий скольжения. Для этого пользуютсяграфическими или численными методами построения. При построении полейлиний скольжения обычно сталкиваются со следующими тремя видамикраевых задач:Задача Коши – построение линий скольжения по известнымнапряжениям на внешней границе.Задача Римана – построение линий скольжения по двум известнымлиниям скольжения разных семейств.Смешанная задача – построение линий скольжения по заданнымграничнымусловиямиизвестнойлиниейскольжения,пересекающей границу.4.8.10Первая краевая задача (задача Коши):Задана граница пластической области MN , вдоль которой известнораспределение напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
