Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поскольку мы рассматриваем плоское деформированноесостояние, то размер в направлении, перпендикулярном плоскости чертежаможет быть принят равным единице, тогда площади заменятся длинойсоответствующих контактных линий, которые достаточно просто определитьиз геометрических соображений.Из полученного выражения следует, что для определения удельнойсилы деформирования необходимо знать скорости относительногоскольжения жестких блоков. Для определения скоростей скольжениянеобходимо построить план (годограф) скоростей.
Годографом скоростей270называется векторная диаграмма, построенная из одной точки (полюса) ипоказывающая скорости точек деформируемого тела.Вектор, соединяющий полюс с любой точкой на годографепредставляет собой скорость соответствующей материальной точки илиобласти деформируемого тела. Следовательно, если какая либо областьметалла является недеформируемой (жесткой) и движется прямолинейно содной скоростью, то вся эта область отображается на годографе однойточкой.Используяпринципминимумадополнительноймощностикинематически возможного поля скоростей, рассмотренный ранее можнополучить минимальную верхнюю оценку деформирующей силы. Для этогоконфигурацию жестких областей ставят в зависимость от одного параметраα (обычно угла одного из жестких треугольных блоков).
Тогда удельнаясила деформирования становится функцией параметра α . Приравнивая нулючастную производную функции удельной силы по неизвестному параметру,находим значение этого параметра α = α * , соответствующее минимальнойверхней оценке. В общем случае таких варьируемых параметров может бытьмного. Каждое значения варьируемого параметра находим из условияминимума удельной силы деформирования:∂q= 0 , q = q α i*α i* :∂α iАлгоритм решения задачи методом верхней оценки с использованиемжестких блоков:Задачу сводят к плоскому деформированному состоянию, материал –идеальный жестко-пластический, трение – постоянно вдоль контактнойповерхности.Очаг пластической деформации заменяют системой жестких треугольныхблоков, скользящих друг относительно друга. Для упрощения решенияблоков должно быть немного.Строят годограф скоростей и определяют скорости относительногоскольжения.Определяют длины контактных линий.Определяют зависимость удельной силы деформирования от варьируемыхпараметров, суммируя мощности трения по каждой поверхностискольжения.Определяют значения варьируемых параметров из условия минимумаудельной силы деформирования.Определяютминимальнуюверхнююоценкуудельнойсилыдеформирования.( )4.6.5 Решение задачи о вдавливании жесткого пуансонапластическое полупространство методом верхней оценки.вРазрывное поле скоростей, определяемое системой жесткихтреугольников должно возможно более полно соответствовать реальному271полю скоростей.
С этой целью следует опираться на экспериментальноустановленную, либо предполагаемую форму очага деформации.Рассмотрим процедуру решения методом верхней оценки сиспользованием жестких областей для простейшей задачи внедренияплоского пуансона в полупространство при отсутствии контактного трения.Сформулируем условие задачи:Абсолютно жесткий пуансон, имеющий бесконечную длину внаправлении, перпендикулярном плоскости чертежа, начинает внедряться вжестко-пластическое полупространство.
Трение под торцом пуансонаотсутствует. Рассматривается начальный момент внедрения, когда плоскостьполупространства еще не искажена вытекающим из-под торца пуансонаматериалом.Рассмотрим предположительные контуры очага пластическойдеформации. Поскольку на значительном удалении от пуансона металлдеформироваться не будет, то очаг деформации сосредоточится внепосредственной близости от пуансона.
Небольшое внедрение пуансонаприведет к тому, что металл из-под торца инструмента начнет вытекать вобласти, непосредственно к нему примыкающие, образуя деформированныйконтур приближенно показанный на рисунке.aДеформированныйконтурТраектория движенияматериальных частицaGA5F4BE1C32DОчаг деформацииплоскости скольженияПервоначально предложим аппроксимацию очага пластическойдеформации системой равнобедренных прямоуглоьных треугольников суглом при основании равным 45º.Годограф скоростей строят в следующей последовательности.Скорость треугольника 1 совпадает со скоростью пуансона и направленавниз.
Откладываем из полюса О вектор, численно равный скоростипуансона v0 .Скорость треугольника 2 направлена параллельно контактнойповерхности CD , что следует из граничных условий, направление разрываскоростей (скорости сдвига) направлена вдоль поверхности разрыва CB .v2 = v1 + v12Проведя из полюса линию, параллельную CD , а из конца вектора v0линию, параллельную CB на их пересечении получим точку 2 ,отражающую скорость 2 блока. Вектор 12 отражает скорость сдвига поплоскости CB .272Скорость треугольника 3 направлена вдоль линии DE , а скорость сдвига– вдоль линии BD .
Проведя из точки 2 линию, параллельную BD , а изполюса – линию, параллельную DE на пересечении получим точку 3 ,отражающую скорость 3 блока. Вектор 23 равен скорости сдвига полинии BD .v3 = v2 + v23Очевидно, что скорости блоков 4 и 5 по абсолютной величине равныскоростям блоков 2 и 3.3O2v01Из геометрических соотношений следует:v12 = v0 2 = v14 ; v2 = v20 = v40 = v0 ; v23 = v45 =vv0; v 3 = v 30 = v 50 = 0 .22Длины линий контакта:a; l20 = l40 = a2Трение на контактных поверхностях отсутствует.Тогда неравенство запишется в следующем виде:⎛⎞⎜⎟a v0a v01 ⎜ aq≤k 2v0 2 + 2+2+ 2av0 ⎟ = 6kv0 a ⎜ 22 22 2 20, 40 ⎟⎜⎟23, 4530,50⎝ 12,14⎠Точное решение, полученное методом линий скольжения (этот методбудет рассмотрен позднее)q = (2 + π )k ≈ 5.14kТаким образом, ошибка решения составляет 17%. Однако решениеможно уточнить, варьируя размеры очага пластической деформации.Выполним построение жесткими блоками с углом не 45°, апроизвольным углом α .l12 = l23 = l30 = l14 = l45 = l50 =2733a0154α3ααα221Из годографа скоростей:vv0vv12 = 0 = v14 ; v2 = v20 = v40 = 0 ; v3 = v30 = v50 = v23 = v45 =.sin αtan α2 sin αДлины линий контакта:al12 = l23 = l30 = l14 = l45 = l50 =; l20 = l40 = a2 cosαТрение на контактных поверхностях отсутствует.Тогда неравенство запишется в следующем виде:⎛⎞⎜v0v0v0v0 ⎟kaaa⎜2⎟=+2+2+ 2aq≤v0 a ⎜ 2 cosα sin α2 cosα 2 sin α2 cosα 2 sin αtan α ⎟⎜⎟12,1423, 4530,5020 , 40⎝⎠1cosα ⎞⎛= 2k ⎜+⎟⎝ cosα sin α sin α ⎠Минимизация полной мощности приводит к:∂q∂ ⎛1cosα ⎞11cos 2 α=0=+−−1−⎜⎟=∂α∂α ⎝ cosα sin α sin α ⎠ cos 2 α sin 2 αsin 2 αОткуда:111 − 3 cos 2 α = 0,cos 2 α = , cosα =, α = 54°45'33Подставляя найденное значение параметра α в выражение для верхнейоценки, найдем минимальную верхнюю оценку удельной силы q = 5.66k .Относительная ошибка по сравнению с методом линий скольжениясоставляет 10%В рассмотренной задаче мы не учитывали трение под пуансоном.Однако предложенная конфигурация очага пластической деформации неможет учесть трение между пуансоном и материалом, поскольку область 1 неперемещается относительно пуансона, следовательно, мощность трения наконтактной поверхности равна нулю.Возможная конфигурация очага пластической деформации для учетатрения под пуансоном может быть следующей:2743aТраектория движенияматериальных частиц3’1’2’α203v0α2α1Очаг деформации симметричен относительно оси.
Для этого правойполовины справедливо:v2v 0vv10 = 0 = v30 = v12 = v32 ; v1k = 0 ; v20 =.sin αtan αtan αДлины линий контакта:aal10 = l12 = l30 = l23 =; l20 = l1k =4 cosα2Трение на контактных поверхностях отсутствует.Тогда неравенство запишется в следующем виде57:⎛⎞⎜v02kaa 2v 0a v0 ⎟⎜4⎟=q≤++µ 32 tan α ⎟v0 a ⎜ 4 cosα sin α 2 tan α⎜⎟201k⎝ 10,12,32,30⎠⎤⎡⎢1cosα ⎛µ 3 ⎞⎥⎟⎜= 2k ⎢+⎜1 + 2 ⎟ ⎥cossinsinααα⎢⎠⎥⎝m⎦⎥⎣⎢Легко заметить, что при отсутствии трения ( µ = 0 ), это выражениесовпадает с полученным ранее.Минимизируя полную мощность, получим:⎛ cos 2 α ⎞∂q∂ ⎡1cosα11⎤()=0=+=−−m⎥⎦ cos 2 α sin 2 α ⎜⎜1 + sin 2 α ⎟⎟m∂α∂α ⎢⎣ cosα sin α sin α⎝⎠Значение параметра α , соответствующее минимуму верхней оценкибудет зависеть от трения на контактной поверхности:111 − (2 + m )cos 2 α = 0,cos 2 α =, cosα =2+m2+m1,Для максимального трения на контакте τ k = k , справедливо µ =3тогда m = 1.5 , α = 57°31' = 57.69° , q = 6.32k57Сумма в скобках удваивается, поскольку имеем два идентичных поля.2754.7.
Вариационный метод.Еще одним методом, относящихся к группе энергетических, являетсявариационный метод. Применение вариационного метода для анализа задачобработки давлением связанос уральской школой: И.Я.Тарновский,А.А.Поздеев, В.Л.Колмогоров и др. Прежде чем перейти к изложению методаостановимся на некоторых элементах вариационного исчисления, которыебудем использовать в дальнейшем.4.7.1 Понятие функционала.исчисления.ОсновнаязадачавариационногоВариационное исчисление – это математическая дисциплина,разрабатывающаяметодыотысканияэкстремальныхзначенийфункционалов.Функционалом называется переменная величина, зависящая от однойили нескольких функций.58 Функционал задан, если каждой функции изнекоторого класса функций поставлено в соответствие некоторое число.Одним из простейших функционалов является длина кривой,соединяющая две точки.Пустьy = f ( x)y=f(x)yпроизвольная кривая, соединяющаядве точки:Bx = a, y = Alx = b, y = BТаким образом, класс кривыхAопределен тем, что они проходятчерез две заданные точки.
Наложимна функции, определяющие кривые,дополнительное ограничение, чтоxabонинепрерывныидваждыдифференцируемы.Длина кривой l = ∫lbdldx 2 + dy 2=∫a2b⎛ dy ⎞21 + ⎜ ⎟ dx = ∫ 1 + ( y ') dx⎝ dx ⎠aФункционалами также являются площадь кривой, проходящей черездве точки, объем тела, определяемых вращением вокруг оси кривой,проходящей через две точки.Как видно из этих примеров, функционалы могут быть определеныкратными интегралами.58Функция, в отличие от функционала зависит от переменных. Еслиотвлечься от строго математического определения функционал – этофункция, от одной или нескольких функций.276Когда функция y = f ( x) , от которой зависит функционал, непрерывнаи дважды дифференцируема, функционал может быть записан в следующемобщем виде:J = J [ y ( x )] = ∫ F ( x, y, y ')dxbaВсегда, когда функцияf ( x) принимает определенный вид(соответствует определенному классу), функционал принимает то или иноезначение – число, характеризующее данную функцию f ( x) .В примере с длиной кривой J = l , F ( x, y, y ' ) = 1 + ( y ') :2J = ∫ 1 + ( y ') dxb2aКак только мы выбираем определенный вид кривой (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
