Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Эту величину можно определить из условияминимума работы пластической деформации. Поскольку работа262пластической деформации пропорциональна удельной силе, то условием дляопределения h является:∂qq = min→=0∂hПроизводная от первых двух слагаемых будет равна нулю, т.к.
они несодержат h . С учетом сделанных обозначений:∂q ∂ ⎛ hr ⎞ A 1= ⎜ A + B ⎟ = − 2 rB = 0∂h ∂h ⎝ rh ⎠ r hОтсюда:h2 B= =h22Ar1 ⎞ 22⎛22 R 3 − 3R 2 r + r 3r⎜ µ s +⎟ R −r +B3⎠3= ⎝h=AR23µ s R + 3rили в относительных величинах1 ⎞ 22⎛2 R 3 − 3R 2 + 1⎜ µs +⎟ R −1 +3⎠3h= ⎝3µ s R + 3 R 2Зная радиусы пуансона r и контейнера R можно по полученнымформулам определить высоту очага пластической деформации h , а затемудельную силу деформирования q .(())(())q/σs8h60.840.4200q/σs, µ=0.5h, µ=0q/σs, µ=0h, µ=0.511.21.41.61.8RНа рисунке приведены графики зависимости относительной удельной силыqдеформированияи относительной величины очага пластическойσs263hRот относительно радиуса контейнера R =и фактораrrтрения µ . Расчеты показывают, что для каждого размера контейнерасуществует некоторое оптимальное значение радиуса пуансона, при которомудельная сила деформирования будет минимальна.
С увеличением тренияоптимальное соотношение между радиусом контейнера и радиусом пуансонаувеличивается.деформации h =4.6.3 Решение задачи об осадке кольца методом верхней оценки.Принципиальная схема технологического процесса изображена нарисунке. Цилиндрическое кольцо высотой h, внутренним диаметром 2r ,наружным диаметром 2R осаживается верхней плитой, движущейся соскоростью vo . Нижняя плита неподвижна.r0r0zv0v01τkv ρ1 v ρ2vz1 vz22h2r2RτkτkrρτkRПримем следующую расчетную схему:Очаг деформации охватывает весь объем заготовки и может бытьразделен на две зоны. В зоне 1 материальные частицы перемещаются внутрьи вниз, в зоне 2 – наружу и вниз. Радиус r0 , разделяющий эти зоны будемназывать радиусом раздела течения, а цилиндрическую поверхность,проведенную внутри заготовки этим радиусом – поверхностью разделатечения.Радиус раздела течения r0 неизвестен, будем считать его варьируемымпараметром, подлежащим определению из условия минимума полноймощности.Воспользуемся цилиндрической системой координат, начало которойсовместим на оси заготовки в точке ее пересечения с нижней плитой.Силы трения существуют на контактных поверхностях междузаготовкой и осадочными плитами, причем вследствие различногонаправления радиальных скоростей материальных частиц в различных зонах,направления удельных сил трения также различны.Принятая нами расчетная схема не предполагает разрывов скоростей.Действительно, возможная единственная граница разрыва скоростей моглабы проходить по линии раздела течения.
Однако радиальные составляющиескорости из условия непрерывности должны быть равны нулю:264v ρ1ρ = r0= vρ2ρ = r0=0а осевые – одинаковы, поскольку граничные условия для обеих зон наверхней и нижней плитах совпадают.Исходя из расчетной схемы, определим граничные кинематическиеусловия:на границе между зонами 1, 2 и верхней плитой:v z1= v z2= −v 0 ;z =hz =hна границе между зонами 1, 2 и нижней плитой:v z1= v z2=0z =0z =0Для учебных целей предложим следующее простейшее поле скоростей.Будем считать, что в зонах 1 и 2 осевая скорость пропорциональнакоординате z и не зависит от координаты ρ :zvz1 = −v0 = vz 2hТакой закон удовлетворяет всем граничным условиям.
Закон дляскорости v ρ мы не можем выбирать произвольно, т.к. поле скоростей должноудовлетворять условию неразрывности:ε ρ + εθ + ε z = 0С учетом ε ρ =∂vρ∂ρ; εθ =vρρ; εz =v∂vz= − 0 , получим∂zh1 ∂(v ρ ρ ) − v0 = 0hρ ∂ρИнтегрируя, получим:1vv ρ ρ = 0 ρ 2 + f (z ) ,2 hvграничные условия vρ= 0 , тогда f ( z ) = − 0 r02ρ = r02hОкончательно:v ⎛r2 ⎞v ρ1 = 0 ρ ⎜ 1 − 0 ⎟ = v ρ 22h ⎜⎝ρ 2 ⎟⎠Интенсивность скоростей деформации22 3222εi =ε ρ − εθ + ( εθ − ε z ) + ε ρ − ε z + γ ρ2 z + γ z2θ + γ θρ32Поскольку напряженное состояние осесимметричное, то скоростисдвиговых деформаций γ ρθ = γ θz = 0 .
Т.к. v ρ = f ( ρ ), а v z = f ( z ) , то γ ρz = 0 .Таким образом оси ρ ,θ , z - главные. Скорости деформаций в направленииосей()()()265v0 ⎛ερ == ⎜1 +∂ρ 2h ⎜⎝∂vρv ρ v0 ⎛r02 ⎞= ⎜1 −⎟ , εθ =ρ 2h ⎜⎝ρ 2 ⎟⎠v∂vr02 ⎞, εz = z = − 0⎟∂zhρ 2 ⎟⎠Окончательноv0r04εi =+3h 3 ρ4Принимаем внешнее трение по закону Прандтля, т.е. τ k = µ sσ s ,следовательно его можно считать внешней силой. Скорости движенияматериальных частиц на контактных поверхностях равны соответствующимрадиальным составляющим.Вычислим последовательно интегралы, входящие в неравенствоверхней оценки.I: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий – на контакте с верхней плитой.∫pi v0**i dFFvR(= ∫ (− q )(− v0 ) ⋅ 2πρdρ = qv0π R 2 − r 2)rII: Мощность в очаге пластической деформации:Rv0r04**σ s ε i dV = σ s3+2πρ hd ρ =4h 3ρVr∫∫R⎡244⎤σ s v0π ⎢ 442 r0 + r0 + 3 ρ ⎥==r0 + 3 ρ − r0 ln⎥3 ⎢3ρ 2⎣⎦r⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎢σ vπ⎠= s 0 ⎢ r04 + 3R 4 − r04 + 3r 4 + r02 ln ⎝⎥2⎛ 244 ⎞⎥3 ⎢r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎢⎣⎝⎠ ⎥⎦III: Мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрыва скоростей.k ∫ ∆vτ**S df = 0fSIV: Мощность известных внешних сил.
Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s . Следует учесть, что направление сил трения во 2области отрицательно.∫p0i vi**dF = 2Fp∫ (τ k1 ) ( vρ1 ) dF + 2 ∫ ( −τ k 2 ) ( vρ 2 ) dF =Fp1Fp 2r0Rv0 ⎛r02 ⎞v0 ⎛r02 ⎞= 2 ∫ ( µ sσ s ) ⎜ ρ − ⎟ 2πρ d ρ + 2 ∫ ( − µ sσ s ) ⎜ ρ − ⎟ 2πρ d ρ =2h ⎜⎝ρ ⎟⎠2h ⎜⎝ρ ⎟⎠rr0266Rr⎡ 33⎞ 0⎤⎛⎞⎛ρρ⎢− r02 ρ ⎟ + ⎜ r02 ρ −⎟ ⎥⎥⎢⎜⎜ 3⎟⎜3 ⎟⎠⎠ r0 ⎝⎢⎣⎝r ⎥⎦Окончательно:2µ σ vπ 3 3**322∫ p0ivi dF = − 3 s hs 0 R + r + 4r0 − 3r0 R − 3r0 rv µ σ 2π=− 0 s sh(Fp)Неравенство метода верхней оценки:⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎢σ vπ⎠ +qv0π R 2 − r 2 ≤ s 0 ⎢ r04 + 3R 4 − r04 + 3r 4 + r02 ln ⎝⎥2⎛ 244 ⎞⎥3 ⎢r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎝⎠ ⎦⎥⎣⎢()()2 µ sσ s v0π 3 3R + r + 4r03 − 3r02 R − 3r02r3hПроведя преобразования, получим:⎧ ⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎪⎢1 ⎪ 1q44442⎝⎠ +≤⎥⎨ ⎢ r0 + 3R − r0 + 3r + r0 ln22σs R − r ⎪ 3 ⎢2⎛ 244 ⎞⎥r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎝⎠ ⎦⎥⎩⎪ ⎣⎢+⎫⎪2 µs 3 3+R + r + 4r03 − 3r02 R − 3r02r ⎬3 h⎪⎭Радиус раздела течения находим из условия минимума полноймощности:∂qq = min→=0∂r0Получим уравнение, не имеющего аналитического решения:q∂⎧⎡σs2r032r031⎪ 1 ⎢=−+⎨44∂r0R 2 − r 2 ⎪ 3 ⎢ r04 + 3R 4r0 + 3r⎣⎩()R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟r 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3R 4 ⎞⎟⎝⎠ + r2 ⎝⎠×+2r0 ln0r 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3R 4 ⎞⎟R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟⎝⎠⎝⎠267×2R2r2⎛⎞⎛r03r03⎜r +⎟ ⎛⎜ r 2 + r 4 + 3r 4 ⎞⎟ ⎜ r +000⎜ 044⎟ ⎝⎠⎜+3rrr04 + 3R 40⎝⎠−⎝2⎛ 244⎞⎛ r 2 + r 4 + 3R 4 ⎞⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎜ 0⎟0⎝⎠⎝⎠⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥+⎥⎥⎥⎥⎦⎫⎪+8r02 − 4r0 R − 4r0 r ⎬ = 0h⎪⎭Численное решение может быть выполнено, например, с помощьюMathcad:µs()268На рисунке приведены графики зависимости относительной удельнойq∂qсилы деформирования q( ρ ) =и производной dq =от радиуса.
Можноσs∂ρзаметить, что минимуму на графике удельной силы соответствует нулевоезначение производной.4.6.4 Метод верхней оценки с использованием недеформируемыхобластей («жестких блоков»).Необходимость вычисления сложных интегралов при использованииметода верхней оценки с деформируемыми областями привела к поискуспособов упрощения решения с целью получения оценки деформирующейсилы. Для задач плоского деформированного состояния Р.Хиллом, А.Грином,и позже В.Джонсоном, был предложен метод, в котором очаг деформациизаменяетсясовокупностьютреугольныхвсечениижесткихнедеформируемых блоков. Эти жесткие блоки скользят друг относительнодруга. Обычно применяют треугольные блоки.
Поскольку блокинедеформируемые, то скорости всех точек внутри блоков одинаковы,следовательно, работа деформации внутри таких блоков равна нулю.Таким образом, вся деформация в очаге деформации сводится котносительному сдвигу жестких блоков. Границы между жесткими блокамистановятся границами разрыва скоростей. Ранее было показано, чтокасательные напряжения вдоль границ разрыва скоростей равны постояннойпластичности k .
В результате вся работа деформации в очаге пластическойдеформации равна работе трения сдвига на границах разрыва скоростей.Представление очага деформации в виде жестких недеформируемыхблоков равносильно замене непрерывного поля скоростей в очагедеформации кусочно-линейным. Это кусочно – линейное поле являетсякинематически возможным, поскольку удовлетворяет граничным условиям иусловиям неразрывности (разрыв претерпевают только касательныесоставляющие к линии разрыва скоростей).Рассмотрим основное неравенство теоремы о внешней оценкеприменительно к очагу деформации, состоящему из жестких блоков.***∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dv + k ∫ ∆vτ df − ∫ pi vi dFFvVIfIIFpIIIIVI: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий.
Нагрузку на контактнойповерхности заменяют средней удельной нагрузкой. В том случае, когдадеформирование производится одним пуансоном:∫ pi v0i dF = qv0 FпFvЗдесь:q - удельная сила деформирования.269v0 - скорость пуансона;Fп - площадь пуансона;II: Мощность деформации. Поскольку деформации в блоках нет, тоинтенсивность деформации равна нулю.σ s ∫ ε i dV = 0 .VIII: Мощность сил трения сдвига. Поскольку блоки жесткие, то скорость ихотносительного скольжения также постоянна, поэтому интегрированиеможно заменить суммированием по M плоскостям скольжения.Mk ∫ ∆vτ df = k ∑ ∆vm f m .*m =1fЗдесь:∆vm - скорость относительного сдвига на поверхностях скольжения;f m - площадь поверхностей скольжения.k=σs- пластическая постоянная;3m = 1...M - число поверхностей скольжения;IV: Мощность известных внешних сил. Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s = µ s 3k .
Скорости скольжения по контактнымповерхностям всегда направлены в сторону противоположную силамтрения и при использовании жестких треугольников скорости скольженияпостоянны.∫Fppi vi* dFNNn =1n =1= −∑τ kn vkn Fkn = − k 3 ∑ µ sn vkn FknЗдесь:τ kn = µ snσ s - контактные напряжения трения;vkn - относительная скорость скольжения на контакте;n = 1...N - число контактных поверхностей, на которых задано трение;Неравенство метода верхней оценки в результате получает вид:MN⎞k ⎛⎜⎜ 3 ∑ µ sn vkn Fkn + ∑ ∆vm f m ⎟⎟q≤v0 Fп ⎝ n=1m =1⎠В полученном уравнении неизвестными являются площади и скоростискольжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
