Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Площадки (направления) максимальныхкасательных напряжений являются направлениями максимальных сдвигов.296Дифференциальные уравнения равновесия для плоской деформации(впрочем, как и для плоского напряженного состояния):∂σ x ∂τ yx+=0∂x∂y∂σ y ∂τ xy+=0∂y∂xЭнергетическое условие пластичности1(σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy2 + τ yz2 + τ zx2σs =σi =2для плоского деформированного состояния принимает вид:(σ x − σ y )2 + 4τ xy2 = 4 σ s2 = σ s* 2 = 4k 2 ,3()( )где k =σs- постоянная пластичности.3Сравнив выражение для энергетического условия пластичности свыражением для максимальных касательных напряжений в плоскомдеформированном состоянии можно заключить, что:τ max = kТаким образом, для плоского деформированного состояния условиемпластичности является равенство максимального касательного напряжениявеличине постоянной пластичности.

В том случае, когда при плоскомдеформированном состоянии тело находится в пластическом состоянии максимальное касательное напряжение одинаково в любой точке тела иравно постоянной пластичности.4.8.3 Понятие линий скольженияПусть тело находится в пластическом состоянии при плоскойдеформации. Возьмем в деформируемом теле произвольную точку a1 ипостроим в ней вектор максимальных касательных напряжений τ .Приведенные выше соображения доказывают, что этот вектор будет лежать вплоскости xOy . В направлении максимального касательного напряжениявыберем точку a2 , отстоящую от точки a1 на малое расстояние. В этой точкетакже отложим вектор максимального касательного напряжения τ .Продолжая процедуру, получим ломанную линию a1 , a2 , a3 ,...

.Поскольку справедлив закон парности касательных напряжений, то внаправлении, перпендикулярном a1a2 из точки a1 можно отложить еще одинвектор максимальных касательных напряжений τ и построить ломаннуюлинию a '1 , a'2 , a '3 ... . Очевидно, что эти линии можно построить в другуюсторону от точки a1 .297yτa2a1τττa3 a4 a5 a6τa'2a'3a'4τa7ττa'5a'6a'7OxПри неограниченном приближении точек ai +1 к точкам ai получимкривые, касательная в каждой точке которых совпадает с направлениемдействия максимальных касательных напряжений – линии скольжения.Иногда говорят, что линии скольжения – это траектории максимальныхкасательных напряжений. Естественно, что указанные построения можнопровести из любой точки деформируемого тела.семейство βyсемейство αxЛинии скольжения образуют два семейства, пересекающиеся друг сдругом.

В результате получают поле (криволинейную сетку) линийскольжения. Точки пересечения линий скольжения называют узловыми298точками. Одно семейство линий называют семейством α , второе –семейством β .Поскольку направление главных касательных напряжений зависит отнапряженного состояния каждой точки тела, то каждому напряженномусостоянию соответствует свое поле линий скольжения.Таким образом, полем линий скольжения называют бесконечно густуюсетку, образованную двумя семействами взаимно ортогональных линий,касательный к которым в любой точке совпадают с направлениеммаксимальных касательных напряжений.Так же, как траектории максимальных касательных напряжений можнопостроить траектории главных напряжений – сетку линий касательные ккоторым совпадают с направлением главных напряжений. Посколькуплощадки главных касательных напряжений наклонены под 45° к главнымосям, постольку траектории главных касательных и главных напряженийпересекаются между собой под 45°.4.8.4 Интегралы ГенкиОбозначим через ϕ угол наклона траектории главных напряжений σ 1 внекоторой точке M деформируемого тела к оси x .

Тогда угол наклона линиискольжения в этой же точке будет составлять:ω =ϕ +π 4Дифференциальные уравнения линий скольжения имеют вид:dydy= tg ω для семейства α и= − ctg ω - для семейства βdxdx3σсрysατmaxσсрσ3π/4αsβσ3σ11σ1βω+π/2Mϕ+π/2ϕxω=ϕ+π/4Следует обратить внимание, что, согласно построению направление Sαповернуто относительно направления главной оси 1 на угол π/4 противчасовой стрелки.299Построим диаграмму Мора для плоского деформированного состояния.Поскольку σ 2 = 0.5(σ 1 + σ 3 ) , то малые окружности Мора имеют одинаковыйрадиус.τnσx2ωkτxy2ϕσ3σ1σnτxyσyσ2=σcpРадиус большой окружности Мора равен максимальному касательномунапряжению.

Т.к. тело находится в пластическом состоянии, томаксимальное касательное напряжение равно пластической постоянной k .Тогда из геометрических соображений получим следующие формулы:⎧σ x , y = σ cp ± k cos 2ϕ⎨⎩ τ xy = k sin 2ϕс учетом ϕ = ω −π4= σ cp + k sin 2ω= σ cp − k sin 2ω= − k cos 2ω⎧σ x⎪⎨σ y⎪τ⎩ xyСледует обратить внимание, что полученные уравнения тождественноудовлетворяют условию пластичности для плоского деформированногосостояния.(σ x − σ y )22+ 4τ xy= 4k 2Тогда составляющие уравнений равновесия примут вид:300∂σ x ∂σ cp ∂ω2k cos 2ω=+∂x∂x∂x∂σ y ∂σ cp ∂ω2k cos 2ω=−∂y∂y∂y∂τ xy ∂ω=2k sin 2ω∂x∂x∂τ yx ∂ω=2k sin 2ω∂y∂yПодставив полученные выражения в уравнения равновесия дляплоского деформированного состояния, получим:⎧ ∂σ cp⎛ ∂ω⎞∂ωcos 2ω +sin 2ω ⎟ = 0+ 2k ⎜⎪∂y⎪ ∂x⎝ ∂x⎠⎨⎪ ∂σ cp − 2k ⎛ ∂ω cos 2ω − ∂ω sin 2ω ⎞ = 0⎜ ∂y⎟⎪ ∂y∂x⎝⎠⎩Перейдем от системы координат xOy к системе координат sα Ms β ,повернутой относительно декартовой системы координат на угол ω .

Длятакой системы координат справедливо:∂∂ ∂∂, ω =0=;=dx = dsα ; dy = ds β ;∂x ∂sα ∂y ∂s βУгол наклона линии скольжения ω в новой системе координат равеннулю, тогда система уравнений приводится к виду:⎧ ∂⎪⎪ ∂s (σ cp + 2kω ) = 0α⎨ ∂⎪(σ cp − 2kω ) = 0⎪⎩ ∂s βПолученные соотношения имеют простой физический смысл: ониявляются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малогоэлемента пластической среды, образованной сеткой линий скольжения(σ α = σ β = σ cp ,τ αβ = k ).Заметим, что полученныеуравнения также тождественноудовлетворяют условию пластичности для плоского деформированногосостояния.(σ x − σ y )2 + 4τ xy2 = 4k 2Интегрируя первое уравнение вдоль линии α , а второе – вдоль линииβ окончательно получим70:70η – эта, ξ - кси301→ const для линии α⎧σ cp + 2kω = C1 (β )⎨σ − 2kω = C (α )→ const для линии β2⎩ cpЗапишем произвольные функции C1, C2 в виде→ const для линии α⎧σ cp + 2kω = 2kη (β )⎨→ const для линии β⎩σ cp − 2kω = 2kξ (α )Эти уравнения носят названия интегралов Генки.Таким образом, интегралы Генки – это общие интегралы уравненийравновесия при плоском деформированном состоянии вдоль линийскольжения.4.8.5 Следствие интегралов ГенкиПусть в двух произвольных точках M и N линии скольжения αсредние напряжения и углы поворота линий скольжения составляют:σ cpM ; ω M ; σ cpN ; ω NωMN=ωM-ωNyMNωNOωMxПоскольку вдоль линии скольжения α величина σ cp + 2kω остаетсяпостоянной, получим:σ cpM + 2kω M = σ cpN + 2kω N ,откуда:σ cpM − σ cpN = −2k (ω M − ω N )Проведя аналогичные рассуждения для линии β , окончательнополучим:σ cpM − σ cpN = ∓2k (ω M − ω N ) = ∓2kω MNЗнак «-» в этом уравнении справедлив для линий скольжения семействаα , а знак «+» - для линий скольжения семейства β .302Таким образом, при движении вдоль линии скольжения одногосемейства среднее напряжение изменяется пропорционально углу повороталинии скольженияЛинии α и β следует выбирать так, чтобы они составляли правуюсистему координат: при вращении линии α против часовой стрелки ееположительное направление должно совпасть с положительнымнаправлением линии β .4.8.6 Методика анализа напряженного состояния методом линийскольжения.Полученные соотношения позволяют использовать поле линийскольжения для определения напряженного состояния в любой точкедеформируемого тела при плоской деформации.yOxβαCω βC = ω α C + π /2ω βΒBω αCAω αΑПусть (например, из граничных условий) известно напряженноесостояние в некоторой точке A тела и известен способ построения линийскольжения.

Требуется определить напряженное состояние в произвольнойточке B деформируемого тела.Методика решения подобной задачи методом линий скольжениявыражается следующей последовательностью шагов:Строят поле линий скольжения в деформируемом теле. В общемслучае не существует одной линии скольжения, проходящейодновременно через точки А и В. Однако всегда существуют двелинии скольжения разных семейств, проходящих через точки А и Ви пересекающиеся например, в точке С. Для определенности будемсчитать, что линия AC – это линия семейства α, а линия CB – линиясемейства β.По известному напряженному состоянию в точке A определяютсреднее напряжение в этой точке σ cpA .303Используя следствие из интеграла Генки по известному углуповорота линий скольжения между двумя точками определяютсреднее напряжение сначала в точке С, а затем в искомой точке В:σ cpA − σ cpC = −2k (ω A − ωC ) ⇒ σ cpC = σ cpA + 2k (ω A − ωC )σ cpС − σ cpB = 2k (ωC − ω B ) ⇒ σ cpB = σ cpC − 2k (ω A − ωC )Зная средние напряжения σ cp и углы наклона линий скольжения ωможно определить компоненты напряжений σ x , σ y , τ xy , используядиаграммы Мора или формулы:⎧ σ x = σ cp + k sin 2ω⎪⎪⎨ σ y = σ cp − k sin 2ω⎪⎪⎩τ xy = − k cos 2ω4.8.7 Свойства линий скольжения.Первое из свойств линий скольжения мы уже сформулировали.

Характеристики

Список файлов книги