Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Подобное построение предложено Л.А.Шофманом.Угол поворота линий скольжения каждого семейства при такомспособе, как и в случае точного построения, при переходе от одной узловойточки к другой равен γ . Таким образом, и значения средних напряжений,зависящих на основании интеграла Генки от угла поворота линийскольжения, так же будут вычисляться точно. Ошибка будет заключатьсятолько в координатах узловых точек. Однако для углов γ = 5…15o этаошибка не будет превышать нескольких процентов, причем, чем меньшеугол, тем меньше ошибка.3174.8.15Численный метод построения линийскольжения для задачи Риманаβ1Nm+1,nβ2Kα2m+1,n+1m,nOm,n+1Mα1Метод основан на первой теореме Генки.Дифференциальные уравнения линий скольжения имеют вид (см.выше):dydy= tg ω для семейства α и= − ctg ω - для семейства βdxdxПусть известны точки (m, n) , (m + 1, n) , (m, n + 1) и углы наклона линийскольжения в этих точках: ω m,n , ω m+1,n , ω m,n+1 .
Необходимо найтикоординаты точки (m + 1, n + 1) и угол поворота линии скольжения в этойточке ω m+1,n+1 .На основании первой теоремы Генки угол поворота:ω m+1,n+1 − ω m+1,n = ω m,n+1 − ω m,n ,откудаω m+1,n+1 = ω m,n+1 + ω m+1,n − ω m,nЗаменимдифференциальныеуравнениялинийскольженияразностными, причем угол наклона на участке между двумя узлами будемсчитать постоянным и равным полусумме углов наклона линий скольженияна концах участка.
Тогда:ω+ ω m,n+1y m+1,n+1 − y m,n+1= tg m+1,n+1xm+1,n+1 − xm,n+12y m+1,n+1 − y m+1,nxm+1,n+1 − xm+1,n= − ctgω m+1,n+1 + ω m+1,n2Из этих уравнений можно определить координаты xm+1,n+1 и y m+1,n+1 .4.8.16Третья краевая задача (смешанная).Задана линия скольжения OM и некоторая линия ON , не являющаясялинией скольжения, на которой известен угол наклона линий скольжения.Типичный случай – выход линий скольжения на линию симметрии.Поскольку на линии симметрии не может быть касательных напряжений, то318линии скольжения должны выходить на линию симметрии под углом 45°. Вто же время линия симметрии сама не является линией скольжения.Последовательность построения может быть следующая:Заданную линию скольжения OM делят на некоторое число малыхдуг узлами, номера которых (0,0), (1,0), (2,0), ….Графическими или численными методами определяют координатыузла (1,1), лежащего на линии ON .
При построении используютизвестный угол выхода линии скольжения на линию ON .Основываясь на дугах (1,0)-(2,0) и (1,0)-(1,1), принадлежащихразным линиям скольжения решают вторую краевую задачу иполучают координаты узла (2,1).Аналогичным образом выполняют построение для узлов (3,1), (4,1),(m,1),… вдоль одной линии скольжения.Рассматривая линию (1,1)-(m,1) как известную линию скольженияпродолжают построение в соответствие с п.п.2-4.αM(3,0)(3,1)(2,0)(2,1)(1,0)(0,0)ON(1,1)(2,2)Таким образом, ключевым моментом является построение узла(m+1,m+1), лежащего на линии ON по двум узлам (m,m) и (m+1,m),лежащим на известной линии скольжения. Рассмотрим методику построенияна примере получения узла (1,1).Простой графический способ, который легко алгоритмизируется,основан на замене малых отрезков линий скольжения дугами. Если линияскольжения (1,0)-(1,1) – дуга окружности, то центр этой дуги должен лежатьна перпендикуляре Cc , проведенном из середины хорды (1,0)-(1,1), а углымежду хордой (1,0)-(1,1) и касательными m1 и n1 должны быть равны междусобой.319Mαγ(1,0)γ/2c(0,0)On1m1m0N(1,1)n0PCЗаметим, что касательная m1 является нормалью к известной линиискольжения в точке (1,0), а касательная n1 - параллельна нормали n0 кизвестной линии скольжения в точке ее пересечения с линией ON .Последнее следует из того, что на линии ON известен угол выхода линийскольжения, а точка (0,0) принадлежит одновременно и линии скольжения илинии ON .Последовательность определения точки (1,1) в этом случае может бытьследующей:Из точки (1,0) проводится нормаль m1 к линии скольжения OM илиния m0 , параллельная нормали n0 к линии скольжения в точке(0,0).Проводится линия (1,0)-P, делящая угол ∠m0 (1,0)m1 пополам.Точка пересечения линии (1,0)-P и линии ON является искомымузлом (1,1).(1,0)π/2π/4+γ/2(0,0)π/4−γ/2(1,1)Линия симметрииПри построении поля линий скольжения по методу Шофманакриволинейный треугольник заменяется прямоугольным треугольником с320острыми углами π / 4 ± γ / 2 .
Последовательность определения точки налинии симметрии в этом случае следующая:Провести хорду (0,0) – (1,0)Провести перпендикуляр к хорде в точке (1,0)Искомая точка (1,1) – на пересечении линии симметрии иперпендикуляра к хорде.4.8.17Внедрениепластическое полупространство.жесткогопуансонавРассмотрим построение линий скольжения для начала внедренияплоского пуансона в полупространство при отсутствии контактного трения.Эта задача является одним из самых ранних решений по плоскомудеформированному состоянию и выполнено Прандтлем.Сформулируем условие задачи:Абсолютно жесткий пуансон, имеющий бесконечную длину внаправлении, перпендикулярном плоскости чертежа, начинает внедряться вжестко-пластическое полупространство.
Трение под торцом пуансонаотсутствует. Рассматривается начальный момент внедрения, когда плоскостьполупространства еще не искажена вытекающим из-под торца пуансонаматериалом. Необходимо определить давление пуансона на пластическуюобласть.Сформулируем граничные условия:на свободных поверхностях AG ' и BE ' отсутствуют внешние нагрузки,на контактной поверхности AB есть нормальные удельные нагрузки (онинам неизвестны), касательные напряжения на контакте равны нулю поусловию задачи.C'G'AGFNCB MDEE'B'yxПластической деформацией будет охвачена некоторая зона под торцомпуансона и прилегающая к нему.
Размеры и форма зоны пластическойдеформации неизвестны, и подлежат определению в процессе решениязадачи. В зоне пластической деформации будет состояние сжатия вследствиевытекания металла из-под торца пуансона.321Начнем решение со свободной границы BE ' . Поскольку задачасимметричная построение поля линий скольжения будем выполнять толькодля правой части.
Построение линий скольжения на прямолинейной внешнейгранице при отсутствии касательных напряжений является частным случаемпервой краевой задачи.Как было показано ранее, при отсутствии касательных напряженийлинии скольжения выходят на границу под углом 45°. Для прямолинейнойграницы решением будет семейство ортогональных прямых, составляющих сграницей угол ±45°. Левая граница этой области нам известна – это линияBB' , проведенная под 45° к границе в точке B 71. Правая граница этойобласти нам неизвестна.Поскольку область состоит из ортогональных прямых, то, всоответствие с интегралом Генки, напряженное состояние в этой областиоднородное – все компоненты тензора напряжений в любой точке равнымежду собой.Рассмотрим теперь область под торцом пуансона.
Поскольку трение наконтактной поверхности отсутствует, то линии скольжения также выходят нанее под углом ±45°. Так как контактная поверхность - прямая, то линиискольжения в этой области также семейство ортогональных прямых,составляющих с границей угол 45°. Проведя из точек A и B прямые подуглом 45°, получим границы этой области, в которой будет однородноенапряженное состояние.Однако напряженное состояние в областях ABC и BB ' E ' не являетсяодинаковым, поскольку в первом случае есть нормальные контактныенапряжения, а во втором они отсутствуют.
Точка B принадлежитодновременно обеим областям – следовательно, напряженное состояние вней не определено. Такая точка является особой. Ранее было показано, что изтакой точки исходит пучок линий скольжения. Поскольку одна из линийэтого пуска прямая ( BC ), то и все линии скольжения, составляющие пучоктоже прямые. Второе семейство линий скольжения в этом случае – семействоконцентрических окружностей с центром в особой точке.
Ранее мы говорили,что такое поле называется центрированным. Границей областицентрированного поля будет дуга окружности CD . Точка D , таким образом,определит правую границу DE очага пластической деформации.Выполним аналогичное построение в левой части – области ACF иAGF .Проанализируем возможность дальнейшего построения поля.Теоретически возможно продолжить построение, основываясь на дугахокружностей FC и CD . Мы такие поля в дальнейшем будем строить.
Но вэтом случае границей такой области не может быть прямая. Однако мы ранеепоказали, что к свободной границе примыкает область с однороднымнапряженным состоянием, границей которого может быть только прямаяBB ' . Таким образом, очаг пластической деформации ограничивается линией71Левее точки B уже другие граничные условия.322GFCDE . Металл вне очага в соответствии с моделью материала недеформируется – это жесткая зона.Воспользуемся построенным полем для определения напряжений вочаге деформации.Напомним, что определение напряжений методом линий скольжениявыполняется с помощью интеграла Генки, связывающего средниенапряжения в двух точках очага деформации и угол поворота линийскольжения между этими двумя точками.σ cpM − σ cpN = ∓2k (ω M − ω N ) = ∓2kω MNЗнак «-» в этом уравнении справедлив для линий скольжения семействаα , а знак «+» - для линий скольжения семейства β .Затем, зная углы поворота линий скольжения и средние напряжения вточке с помощью диаграмм Мора, либо с использованием уравнений:⎧ σ x = σ cp + k sin 2ω⎪⎪⎨ σ y = σ cp − k sin 2ω⎪⎪⎩τ xy = − k cos 2ωнаходят компоненты тензора напряжений.Для плоского деформированного состояния:σ cp =σx +σ y +σz3=(σ x + σ y + 0.5 σ x + σ y3) = σx +σ y2Большое значение имеет правильное определение линий α и β .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
