Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Следуетруководствоваться следующим правилом, которое следует из первоначального рисунка,на котором основывался вывод формул метода линий скольжения:Угол, между направлением главной оси 1 и касательной к линиисоставлять + π / 4 .α в точке долженσсрyτmaxσср3βσ1π/4sαsβσ3α1Mϕω=ϕ+π/4xПоложительное направление линии β необходимо выбирать так, чтобы системакоординат αMβ была правой.323Определение напряжений всегда начинают с области, где напряженное состояниеизвестно из граничных условий. В данном случае – это свободная поверхность вблизиштампа (участки AG и BE). Как было показано выше, в области BDE металл находится впластическом состоянии. Следовательно, на границе BE он также находится впластическом состоянии.
Поскольку поверхность BE свободна от нагрузок, тоσ y = 0, τ xy = 0 .Запишем условие пластичности Губера-Мизеса для плоского деформированногосостояния(σ x − σ y )22+ 4τ xy= 4k 2 ,илиσ x2 = 4k 2Это уравнение справедливо как при положительных, так и при отрицательныхзначениях σ x - иными словами, как при растягивающих, так и при сжимающихнапряжениях. Выбирать знак необходимо исходя из физического смыла задачи. В данномслучае металл вытекает из под штампа и поступает в область BDE . Таким образом, вэтой области образуется напряженное состояние сжатия, следовательно:σ x = −2 kВыберем две точки M и N на одной линии скольжения.
Одна точка находится насвободной поверхности, а второй – под торцом штампа. Среднее напряжение в точке M :σ cpM =σ xM + σ yM2=−2k + 0= −k2Согласно правилу выбора линий скольжения, линия, на которой находятся точки Mи N является линией β (см. рисунок).βααNyβ1π/4MxДействительно, в точке M:σ x = −2k < 0;σ y = 0⇒σ y >σ x⇒ σ y = σ 1;σ x = σ 3Угол поворота линии скольжения β между точками M и N :⎛⎝ω MN = ω M − ω N = ⎜ π +π⎞ ⎛π⎞ π⎟ − ⎜π − ⎟ =4⎠ ⎝4⎠ 2324Используя интеграл Генки (знак + выбран, поскольку точки находятся на линии β):σ cpM − σ cpN = 2kω MNОтсюда:πσ cpN = σ cpM − 2kω MN = − k − 2k = − k (1 + π )2Подставляя значенияσ cpN = −k (1 + π ) и ωα N =3π π π− =в формулы для4 2 4определения напряжений в координатных площадках (следует иметь в виду, что в этихформулах угол ω – угол наклона линии α и, следовательно, на 90° меньше угла наклоналинии β) окончательно получим:σ xN = − kπ ; σ yN = − p = − k ( 2 + π )Очевидно, что эти напряжения сохранятся постоянными вдоль всейлинии AB.
Диаграммы Мора и схемы напряженной состояния в точках M и Nприведены на рисунке.τточка Mkσy=0σσcpM=-k=σzMσzσxM=-2kточка NσxτkσyσxN=-kπσσcpN=-k(1+π)=σzNσyN=-k(2+π)σxσzВ приведенном выше решении металл разделен на две области. Водной области – очаге деформации – металл находится в пластическомсостоянии, а в другой – не деформируется. Эта область называется жесткой.Естественно, что между этими областями должен быть разрыв скоростей,поскольку в одной области металл перемещается, а в другой – нет.Границы, разделяющие жесткие и пластические зоны могут быть либолиниями скольжения, либо огибающими линии скольжения.325Правильность построения поля линий скольжения с наличиемжесткопластической границы определяется двумя условиями:Пересечение линиями скольжения осей симметрии под углом 45°Контакт жестких зон (если их более чем одна) в одной точке.Соблюдением кинематических граничных условий.Жесткопластическая граница является концепцией математическогопорядка.
Физически ее не существует. В действительности металл востальной области деформируется упруго, просто при выводе уравнений мыпренебрегаем этими упругими деформациями.4.8.18полями скоростей.СвязьполейлинийскольжениясМетод линий скольжения позволяет определить как напряженное, так идеформированное состояние тела.
Деформированное состояние может бытьопределено в виде поля скоростей. Поле скоростей связано с полем линийскольжения. Эта зависимость может быть получена из рассмотренияуравнений связи напряженного и деформированного состояния (физическихуравнений) для жестко-пластического тела, находящегося в плоскомдеформированном состоянии.Для идеального жестко-пластического тела справедливы уравнениятеории пластического течения Сен-Венана – Леви – Мизеса:3 εi(σ ij − σ cp )ε ij =2σiКак было показано ранее, в площадках, перпендикулярных линиямскольжения нормальные напряжения равны средним σ cp , касательные –постоянной пластичности k .σ α = σ cp ; σ β = σ cpНапряженное состояние вдоль линий скольжения изображено нарисунке.ysασсрαsββMMkσсрω+π/2xω326Тогда для системы координат sα s β :3 εi(σ α − σ cp ) = 0; ε β = 3 ε i (σ β − σ cp ) = 02 σi2 σiТ.е.
скорости деформаций вдоль линий скольжения равны нулю. Или,что то же самое, вдоль линий скольжения отсутствуют удлинения, а естьтолько сдвиги. Согласно определению скоростей деформаций получим:∂v β∂vα= 0;=0∂sα∂s βεα =Полученные уравнения не указывают, что vα и v β постоянны вдольлиний скольжения. Если бы дифференцирование производилось вдекартовых координатах, то утверждение о постоянстве скоростей было бысправедливо. Однако координаты sα s β - криволинейные, а производные вкриволинейных координатах вычисляются не так, как в декартовых.Рассмотрим бесконечно малую дугу ∆sα вдоль линии скольжения α ,ограниченную двумя материальными точками M и M ' .
Разложим скоростьv перемещения материальной частицы в точке M вдоль координатных осейsα и s β - соответственно vα и v β . Выполнив аналогичное разложениескорости v + ∆v материальной точки M ' получим: vα + ∆vα и v β + ∆v β .v+∆v∆ωvα+∆vα∆ω/2vβ+∆vβyvvββM'∆sαvααMxЗаменим дугу хордой MM ' . Для того, чтобы удлинение хорды непроисходило необходимо, чтобы проекции скоростей на направление хордыв точках M и M ' были равны между собой:vα cos(∆ω 2 ) + v β sin (∆ω 2 ) = (vα + ∆vα )cos(∆ω 2 ) − (v β + ∆v β )sin (∆ω 2 )В этом выражении ∆ω - малый угол, равный углу поворота линиискольжения от точки M до точки M ' .
Поэтому: cos(∆ω / 2 ) = 1 ,sin (∆ω / 2 ) = ∆ω / 2 . Пренебрегая бесконечно малыми высших порядковполучим:∆vα − v β ∆ω = 0327ВпределеприM →M'получимdvα − v β dω = 0 .Рассуждаяаналогично для линии β получим: dv β + vα dω = 0 . Эти два уравнения быливпервые получены Хильдой Гейрингер и носят ее имя:dvα − v β dω = 0, (вдоль α ) ⎫⎬dv β + vα dω = 0, (вдоль β ) ⎭Фактически эти уравнения являются уравнениями неразрывности.Уравнения Гейрингер показывают, что приращения скоростей придвижении вдоль линии скольжения одного семейства пропорциональны углуповорота линии скольжения и скоростям вдоль линий скольжения другогосемейства в точках их пересечения с линиями скольжения первого семейства.Из этих уравнений непосредственно следует:Скорости вдоль прямых участков линий скольжения постоянны (уголповорота линий скольжения постоянен).В простейшем поле линий скольжения, состоящем из ортогональныхпрямых72, скорости движения в любой точке будут постоянны.Для центрированного поля линий скольжения, состоящего из отрезковпрямых, выходящих из одной точки и концентрических окружностей,скорости пропорциональны только углу поворота линии скольжения.Бесконечно малое приращение скорости при движении вдоль линиискольжения направлено ортогонально линии скольжения.vN vNMvMvNαvNβvMNvMαvMβMУравнения Гейрингер позволяют выполнить построение планаскоростей по полю линий скольжения.
План скоростей часто называютгодографом.Годограф строят следующим образом. Выбирают начало координат.Затем, двигаясь вдоль линии скольжения, из начала координат откладывают72Напомним, что такое поле характерно для однородного напряженногосостояния.328векторы скоростей, соответствующих точкам на линии скольжения.Поскольку приращение скорости вдоль линии скольжения ортогонально этойлинии, то конец вектора скорости опишет траекторию, ортогональную линиискольжения. Совокупность таких траекторий, построенных для других линийскольжения, представляет собой план скоростей, или годограф.Таким образом, отрезок, соединяющий любую точку на годографе сначалом координат (или полюсом) представляет собой скоростьсоответствующей материальной точки поля линий скольжения.Следовательно, если какая либо область металла является недеформируемой(жесткой) и движется прямолинейно с одной скоростью, то вся эта областьотображается на годографе одной точкой.4.8.19Разрывы скоростей.
Уравнение Форда.В общем случае возможно два типа разрыва – разрыв напряжений иразрыв скоростей. В теории пластичности доказывается, что одновременноэти два типа разрыва существовать не могут: возможен либо разрывскоростей, либо разрыв напряжений.Пусть линия скольжения α отделяет пластическую область от жесткой.По определению линии скольжения касательное напряжение, действующеевдоль линии скольжения, постоянно и равно k . Нормальное напряжение вплощадках действия максимальных касательных напряжений равно среднемунапряжению σ cp и, следовательно, изменяется вдоль линии скольжения всоответствии с интегралом Генки пропорционально углу поворота линиискольжения. В общем случае разрыв скоростей может произойти и вдольлиний скольжения, разделяющих две пластические области с различнымиполями линий скольжения.Пусть на линии скольжения α существует разрыв скоростей.
Подтермином «разрыв скорости» следует понимать скачкообразное изменениескорости при переходе через линию разрыва. Из условия неразрывностиследует, что разрыв могут претерпевать только касательные составляющиескорости.vτ 1 ≠ vτ 2Нормальные же составляющие при переходе через линию разрыва неизменяются.vn1 = vn 2В противном случае, разрыв в нормальных составляющих означал быпоявление пустот либо бесконечно большого сжатия материала, а этого недопускает условие несжимаемости.τ =k=constαЖесткая областьtn1 областьvτ1σ =varvτ2Пластическая область2 областьvn1vn2α329Линию разрыва, в этом случае, можно представить как предельноеположение некоторого тонкого слоя толщиной ∆s, в котором нормальнаясоставляющая не изменяется, а касательная изменяется непрерывно, но сбольшим градиентом.nτvτ+∆svτ−αТ.к. линия разрыва совпадает с линией α , то терпеть разрыв можеттолько составляющая vα :vτ = vα , vn = vβВоспользуемся уравнением Гейрингер для линии α ,dvα − v β dω = 0интегрируя его вдоль линии, первый раз находясь по одну сторону отлинии разрыва (обозначим этот интеграл знаком «+»), а второй раз, находясьпо другую (соответственно обозначим знаком «-»).vα+ = ∫ v β+ dω + C1 ;vα− = ∫ v β− dω + C1Значения интегралов в этих выражениях должны быть равны,поскольку нормальная составляющая скорости не претерпевает разрывовv β+ = v β− .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
