Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Конец вектора обозначим через h . Вектор Oh - вектор скороститочки H в пластической зоне. Поскольку на основании уравненийГейрингер скорости вдоль прямых линий скольжения не изменяются, тоскорости точек H и G одинаковы. От точки G до точки F разрывскорости изменяется по направлению на угол 5γ . Повернув векторразрыва на этот угол, получим точку f , отражающую скорость точки F ,принадлежащей пластической области FKGC .В силу симметрии задачи точка F двигается вертикально, поэтому вдольлинии KF происходит разрыв скоростей.
Линия разрыва параллельналинии скольжения и составляет в точке F 45° с осью симметрии.VF ' = VF + ∆VFKПроводим из полюса вертикальную линию, параллельную истинномунаправлению скорости точки F , а из точки f линию, параллельнуюнаправлению разрыва скоростей.
На пересечении этих двух линийполучим точку f ' . Вектор Of ' равен величине скорости точки F впластической области FKD . Вектор ff ' представляет собой векторразрыва скоростей ∆VFK по линии FK .Скорость точки E направлена вдоль поверхности контакта, что следуетиз граничных условий, следовательно, точка e находится на линии,проведенной из полюса, параллельно контактной поверхности.Следствием уравнений Гейрингер является ортогональность поляскоростей, полю линий скольжения. Проведем из точки h линию,перпендикулярную линии BH .
На пересечении двух линий находимточку e . Поскольку на участке CE линия скольжения прямая, тоскорости точек C и E равны. Вектора Oc и Oe - скорости перемещенийматериальных точек C и E пластической области.342Скорости точек на линии скольжения KC определяем на основаниисвойства ортогональности полей линий скольжения и скоростей.Графически эти построения выполняются так же, как построение линиискольжения FG по известной линии скольжения KC и FK .
Для поляскоростей известной будет линия gf и gc . Вектор Ok - скорость точки Kв пластической области FKGC .Как было показано ранее, вдоль линии FK происходит разрыв скоростей.Таким образом, скорость точки K ' в пластической области DKFотличается от скорости точки K в области FKGC . VK ' = VK + ∆VFKВеличина разрыва скорости вдоль линии скольжения постоянна поабсолютному значению и изменяется по направлению на величину углаповорота линии скольжения. Отложим из точки B отрезок, численноравный вектору ff ' и повернутый относительно него на величину E.
Врезультате получим точку k ' . Вектор Ok ' - скорость точки K впластической области DKF .Скорость точки D из условий симметрии направлена вдоль оси,следовательно, точка d на годографе скоростей должна лежать на линии,проведенной из полюса параллельно оси. Для нахождения ее положениявоспользуемся свойством ортогональности полей линий скольжения искоростей.
Проведем из точки k ' линию, перпендикулярную линии DK .На пересечении двух линий находим точку d . Вектор Od - скоростьперемещения материальной точки D . При правильном построениисоблюдаются кинематические граничные условия:Od × a = 1 × bОпределим давление на матрицу. Анализируя сетку линий скольженияможно заключить, что на участке AE давление постоянно (сетка линийскольжения – ортогональные отрезки прямых линий), а на участке EB переменно. Будем считать давление кусочно-линейной функцией. Найдемдавления в точках A, E , B , а между ними эпюру давлений будем считатьлинейной.Из граничных условий определим напряженное состояние в точке D :σ y = 0 , из условия пластичности с учетом напряженного состояния сжатия:σ x = −2k , откуда σ cpD = −k .Определим семейства α и β .
Поскольку σ y = σ 1 , то направления sαсоставляет угол +πс осью Oy . Иными словами ωαD =3π. Следовательно,44линия скольжения DCE - линия семейства βНормаль к линии AB совпадает с направлением действия напряженияσ 3 . Это следует из рисунка. Следовательно, контактное давление по линииAB p = σ 3 .343Из диаграммы Мора для плоского деформированного состоянияследует, что σ 3 = σ cp − k .Воспользуемся интегралом Генки для определения среднихнапряжений в точке C :⎡ 5π ⎛ 3π ⎞⎤σ cpD − σ cpC = + 2k (ω D − ω C ) = +2k ⎢ − ⎜ ⎟⎥ = kπ = −k − σ cpC⎣ 4 ⎝ 4 ⎠⎦βσ cpC = −k (1 + π ) ≈ 4.14k = σ cpE = σ cpAТогда p A = p E = σ cpA − k = k (2 + π ) ≈ 5.14kСредние напряжения в точке B могут быть найдены следующимобразом:ππωE = ; ωH = + γσ cpE44− σ cpH = −2k (ω E − ω H ) = −2k (−γ ) = 2kγ - линия EH - αоткуда σ cpH = σ cpE − 2kγ3π3π; ω βH =+γ44σ cpH − σ cpB = −2k (ω H − ω B ) = −2kγОкончательно:ω βB =σ cpD = σ cpE − 4kγ = −k (1 + π ) − 4kπ12= −k (1 +4π) ≈ −5.19k34π) ≈ 6.19k3Эпюра давлений изображена на рисунке.
Значение удельной силы напуансоне определяем из следующего уравнения:q = pcp r ,p D = σ cpD − k = k (2 +где pcp - среднее давление на матрицу, r – обжатиеpcp =1l ABB∫Ap ⋅ dl =0.5( p A + p E ) AE + 0.5( p E + p B ) EB=AB5.14k ⋅ 50 + 0.5(5.14k + 6.19k )60.46= 5.43k110.46H − h 110.46== 0.815r=H135.46Окончательноq = 5.43k ⋅ 0.815 = 4.43kЗная k =σsпо величине напряжения текучести можно определить3удельные силы и давления на матрицу.344q=4.43kpB=6.19kpA=5.14kApE=5.14kEBa=25мм4.8.23Осадкаширокоймаксимальным трением на контакте.полосысШирокая полоса ( b > 4h ) осаживается между двумя шероховатымиплитами.
Плиты двигаются навстречу друг другу с одинаковой скоростьюV0 .Трение на контактной поверхности принимаем максимальным τ k = k .Длина полосы велика, поэтому можно считать, что деформация происходит вусловиях ПДС.Построение начинаем со свободной поверхности, т.е. там, где известныграничные условия. На свободной поверхности отсутствуют касательныенапряжения, поэтому линии скольжения выходят на свободную поверхностьпод углом 45°. Проведя из точек A1 и A2 линии под углом 45° к внешнейгранице, получим область A1 A2 B с однородным напряженным состоянием.Точки A1 и A2 являются особыми, т.к.
напряженное состояние в нихнеопределенно. Решением в примыкающей области является центрированноеполе линий скольжения. Трение на контактной поверхности максимальное,следовательно, линии скольжения выходят на контактную поверхность подуглами 0° и 90°. Следовательно, центрированное поле A1C1 B ,представляющее собой сектор с центральным углом 45° удовлетворяетграничным условиям. Рассуждая аналогично, получим решение для областиA2C 2 B .Опираясь на дуги BC1 и BC2 , решаем задачу Римана в областиBC1 DC2 . Графически задачу Римана можно решить, используяравноугольную сетку линий скольжения и кусочно-линейное построениеметодом Шофмана.345b=V0A10,3 C1 1,43,6 E12,5O1h4,65,6βα0,0B2,23,3D4,45,5F6,61A23,0C2E2O2V0yxВыше линии C1 D реализуется смешанная задача: известна линияскольжения C1 D и угол выхода линий скольжения на поверхность C1O1 . Дляконтактной поверхности с максимальным трением этот угол составляет 0,π/2.
При графическом построении методом Шофмана кусочно-линейное полевыходит на контактную поверхность в этом случае под углами γ/2, π/2-γ/2.Здесь γ - угол между касательными к линиям скольжения для равноугольнойсетки. В результате построения получим области C1 DE1 и C2 DE2 .Дальнейшее построение в области FE1 DE2 - решение задачи Римана поизвестным линиям скольжения DE1 и DE2 .Линии скольжения должны выйти на вертикальную ось симметрии подуглами ±45°. Если не удается достигнуть этого при заданном угле γ (в нашемслучае γ = 15° =π12), то производят дробление γ до тех пор, пока не удаетсявыполнить это граничное условие.
Мы выбралиb≈ 6.72 , при этом точка Fh346для кусочно-линейного построения точно совпадает с пересечением осейсимметрии.Дальнейшее построение линий скольжения невозможно без нарушенияграничных условий.Зоны выше линии EF1 и ниже линии EF2 являются жесткими.Для идентификации семейств линий скольжения рассмотримнапряженное состояние на свободной границе. Здесь σ x = 0 из граничныхусловий. для удовлетворения условию пластичности для ПДС σ y = ±2k .Исходя из физического смысла задачи в области A1 A2 B - сжатие, поэтомуσ y = −2k ,σ cp = −k .
Следовательно σ x = σ 1 и направление первой главной осисовпадает с осью x . Направление оси sα повернуто на уголπотносительно4оси 1, поэтому линия BC1 - линия семейства α . Обозначим точку B через(0,0) . Тогда точки C1 → (0,3); C 2 → (3,0) . Двигаясь вдоль линий скольженияобозначим и другие точки. Точка F → (6,6) .Для анализа точности удовлетворения кинематическим условиямпостроим годограф скоростей.
В нашем случае должно быть удовлетвореноравенство расходов:V0 ⋅ 2b = V A1A2 ⋅ 2hилиbV0b = VB h ⇒VB = V0hТаким образом, если мы вектор скорости штампов V0 на годографечисленно отложим равным величине h , то вектор скорости точки B долженполучиться равным VB = b .Построение годографа начнем с жесткой зоны. Очевидно, что жесткиезоны двигаются со скоростью штампов. Отложим V0 из полюса для верхнейжесткой зоны. Конец вектора - точка f ' -отражает скорость точки F ,принадлежащей верхней жесткой зоне. Она также соответствует сокоростямвсех точек линии E1 F , принадлежащих жесткой зоне. Линия E1 F - линияразрыва скоростей, поскольку отделяет жесткую зону от пластической.Разрыв имеет только касательная к линии скольжения составляющаяскорости, нормальная же составляющая остается непрерывной. Из условиясимметрии следует, что точка F двигается влево вдоль оси x , величинаразрыва скорости направлена по касательной к линии разрыва в точке F .Проведем из полюса линию, параллельную оси x , а из конца вектора Of ' линию, параллельную касательной к линии скольжения в точке F (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
