Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, для оценки предельно теоретическидостижимых соотношений размеров при вытяжке следует положить µ = 0 .Тогда справедливо (с учетом того, что при ρ = r , β ≈ 1 ):Rσ s = σ s lnrотсюдаRRln = 1 или = e = 2,72rrЗдесь R - текущий радиус фланца. Очевидно, что наибольшегозначения отношение радиусов в полученной формуле достигает в начальныймомент времени, когда текущий радиус фланца равен начальному.208Отношение радиуса заготовки к радиусу пуансона, или, что то же самое,отношение их диаметров, называется коэффициентом вытяжки. Поэтомупредельное значение коэффициента вытяжки определяется соотношением:Dk пред = 0 = 2,72dВ действительности предельный коэффициент вытяжки несколькоменьше и достигает значений k пред = 1,8… 2 .
Такое снижение предельногокоэффициента вытяжки по сравнению с теоретически достижимымопределяется совокупностью нескольких факторов: наличием трения,процессами на кромке матрицы, упрочнением заготовки в процессе вытяжки.4.3.15Учет упрочнения при определениипредельного коэффициента вытяжки на 1-м переходе.Упрочнение заготовки при холодной пластической деформациидостигает значительных величин. Существуют различные методики учетаупрочнения. В учебнике М.В.Сторожева и Е.А.Попова приведено решение,основанное на разложении в ряд степенной аппроксимации кривойупрочнения 2-го рода. Мы приведем другое решение, выполненноеА.Г.Овчинниковым.Примем следующие допущения (первые два уже принимались намипри анализе вытяжки без упрочнения):Радиальные напряжения зависят только от координаты ρ : σ ρ = f1 ( ρ ) .Касательные напряжения будем считать зависящими только откоординаты z и распределенными по линейному закону, аналогично2z.тому, как это делалось при осадке: τ ρz = τ кsУпрочнениезаготовкивпроцессевытяжкиопределяетсятангенциальными деформациями εθ .Для учета упрочняющего эффекта деформаций будем использоватьлинейную аппроксимацию диаграмм истинных напряжений 1-го рода.В этом случае в уравнение равновесия для цилиндрической системыкоординат:∂σ ρ ∂τ ρz σ ρ − σ θ++=0∂ρ∂zρЛинейная аппроксимация диаграмм истинных напряжений 1-го родаимеет вид:σ s = σ B (1 + ε )Здесь σ B - временное сопротивление (предел прочности) материалапри испытаниях на растяжение, ε относительное удлинение, изменяющеесяв пределах от 0 до бесконечности.В нашем случае тангенциальная деформация – это деформация сжатияи изменяется она в пределах от 0 до –1:209l − l0 ρθ − ρ 0θρ==−1l0ρ 0θρ0При ρ 0 = R0 и ρ = R0 , εθ = 0 , а при ρ → 0 , εθ → −1Таким образом, тангенциальная деформация изменяется в тех жепределах, что и относительное сужение ψ , но с обратным знаком.
Известнаформула взаимосвязи относительного удлинения и относительного сужения:εθ =ε=ψ1 −ψПринимая ψ = −εθ , получим:ρρ0ρ− εθ= 0 −1ε==1 + εθ 1 + ρ − 1 ρρ0dθ1−b0a0ρ0ρl0d0D0c0aDblddcДля целей оценки упрочняющего эффекта определим величину ε ,пренебрегая изменением толщины заготовки в процессе деформации.
Тогдаусловие постоянства объема можно заменить условием постоянства площадиэлемента фланца abcd в процессе деформирования:dθ 2dθ 2ρ0 = R02 − R 2 + ρ 2R0 − ρ02 =R − ρ2 ⇒22Отсюда:()()ρσ s = σ B (ε + 1) = σ B 0 = σ BρR02 − R 2 + ρ 2ρD02 − D 2=σB4+ ρ2ρЭнергетическое условие пластичности примем в упрощенной форме:σ max − σ min = βσ sНапомним, что максимальное значение β = 1.155 коэффициент Лодедостигает для плоского деформированного состояния, когда среднее главное210напряжение равно полусумме крайних, минимальное β = 1 - для одноосногорастяжения и сжатия, когда среднее главное напряжение равно одному изкрайних (и равно нулю).
В данном случае напряженное состояние близко кплоскому разноименному напряженному. В одной из точек при σ ρ = σ θэтонапряженноесостояниебудетодновременноиплоскимдеформированным. Поэтому среднее значение коэффициента Лоде во фланцеможно принять равным β = 1.1.Примем условие пластичности в виде:σ ρ − σ θ = βσ s = βσ BD02 − D 2+ ρ24ρКасательные напряжения считаем пропорциональными координате z .∂τ ρz 2τ к2zτ ρz = τ к⇒=∂zssМаксимальные касательные напряжения на контакте будем считатьпропорциональными среднему контактному давлению:4Qτк = µπ D2 − d 2Тогда уравнение равновесия можно привести к виду.(dσ ρdρ+ βσ B)D02 − D 2+ ρ24+µρ2(8Qsπ D 2 − d 2)= 0AРазделяя переменные и интегрируя, получим:⎛⎞D02 − D 22⎟⎜+ρ⎜⎟4dσ ρ = −⎜ A + βσ B⎟dρ ,2ρ⎜⎟⎜⎟⎝⎠σ ρ = − Aρ − βσ B ∫D02 − D 2+ ρ24dρ + Cρ2Неопределенный интеграл можно «по частям», используя подстановку∫ udv = uv − ∫ vdu , или воспользовавшись таблицами неопределенныхинтегралов:∫a2 + b2 x2x2a2 + b2 x2dx = −+ b ln⎛⎜ bx + a 2 + b 2 x 2 ⎞⎟x⎝⎠211()В нашем случае: a 2 = 0.25 D02 − D 2 , b = 1 , тогда(D02 − D 2 ) + ρ 2()⎛⎞D02 − D 2− βσ B ln⎜ ρ ++ ρ2 ⎟ + C⎜⎟ρ4⎝⎠Произвольную постоянную определим из граничных условий нанаружном контуре: σ ρ ρ = R = 0.5 D = 0 , откудаσ ρ = − Aρ + βσ BDC = A − βσ B24(D02 − D 2 ) + D 24⎛4 + βσ ln⎜ D +B ⎜2⎝D2(D02 − D 2 )+ D 2 ⎞⎟ =⎟⎠4DD⎛ D + D0 ⎞− βσ B 0 + βσ B ln⎜⎟2D⎝ 2 ⎠Окончательно:8Q⎛D⎞− ρ⎟ +σρ =µ⎜⎠sπ D 2 − d 2 ⎝ 2=A()⎛D02 − D 2 D0D + D0⎜+ βσ B ⎜ 1 +−+ lnD⎜4ρ 22 ρ + D02 − D 2 + 4 ρ 02⎝Тангенциальное напряжение может быть найденопластичности:σ θ = σ ρ − βσ s = σ ρ − βσ B⎞⎟⎟⎟⎠изусловияD02 − D 2+ ρ24ρПредельный коэффициент вытяжки получим, приравняв напряжения встенке стакана предельному значению:σ z = σ s 0 = σ ρ maxПри линейной аппроксимации кривой упрочнения 1-го родаσ s0 = σ BКоэффициент Лоде вблизи внутренней поверхности ( ρ = 0.5d ) близокединице.Максимальное радиальное напряжение:4Qσ ρ max = σ ρ ρ =0,5d = µ(D − d ) +22sπ D − d()⎛D02 − D 2 D0D + D0⎜+σ B 1 +−+ ln⎜Dd2d + D02 − D 2 + d 2⎝⎞⎟⎟⎠212Предельный коэффициент вытяжки определяют для начальногомомента вытяжки, когда D = D0 , тогда формула существенно упрощается:⎛⎞⎜⎟⎜⎟D02 − D02 D0D0 + D0q⎜⎟=−+ lnσ B = µ ( D0 − d ) + σ B 1 +⎜⎟sD0d2d + D02 − D02 + d 2 ⎟⎜1⎜⎟D0⎜⎟d⎝⎠Dq= µ ( D0 − d ) + σ B ln 0sdОкончательно:µ q kпр − 1 dln kпр = 1 −sσ BПолученное уравнение решается численно, либо графически.Очевидно, что при отсутствии прижима q = 0 получим k пр = e .(3)kq⋅dσB s=1223100.10.20.3µСила деформирования рассчитывается как произведение напряжения встенке стакана на площадь стенки стакана:P = πdsσ ρ max4.3.16Деформированное состояние при гибкемоментом широкой заготовкиГибкой называется формоизменяющая операция, при которойпроисходит изменение кривизны срединной поверхности в одной плоскости,а кривизна заготовки в плоскостях, перпендикулярных плоскости изгиба,остается практически неизменной или изменяется незначительно.В общем случае гибку при штамповке осуществляют одновременнымдействием изгибающих моментов, продольных и перерезывающих сил.213Гибка моментомГибка силойГибка с растяжением Гибка со сжатиемГибка моментом является простейшим, идеализированным случаемгибки.
Однако его анализ позволяет выяснить механизм деформированиязаготовки, рассмотреть основные понятия.Рассмотрим гибку моментом широкой полосы, такой, что ее ширина Bпо крайней мере в 10 раз больше толщины s : B s > 10 . В этом случаедеформацией в направлении ширины заготовки (в плоскости,перпендикулярной плоскости гибки) можно пренебречь и напряженнодеформированное состояние считать плоским деформированным.Для гибки моментом справедливы две гипотезы, находящиеэкспериментальное подтверждение:Гипотеза плоских сечений, согласно которой, сечения, перпендикулярныесрединнойповерхностизаготовкидодеформацииостаются52перпендикулярными ей и после деформации .Кривизна срединной поверхности постоянна.Физически эти две гипотезы означают, что любые материальные слои,параллельные поверхности заготовки до деформации, после деформацииимеют форму дуги окружности.
Тогда радиус срединной поверхности:R+rρc =2где R, r - радиусы соответственно наружной и внутренней поверхностизаготовки при гибке.Используем для анализа процесса гибки цилиндрическую системукоординат, в которой ось z направим перпендикулярно плоскости гибки(вдоль ширины заготовки), а начало координат совместим с центромкривизны заготовки.Введем понятие нейтральной поверхности деформаций.
Поднейтральной поверхностью деформаций будем понимать поверхность,проходящую через материальный слой не испытывающий ни удлинения, ниукорочения в тангенциальном направлении. Обозначим через ρ нε - радиускривизны нейтральной поверхности деформаций.Деформированное состояние заготовки определяется радиальными ε ρ ,тангенциальными εθ и осевыми ε z деформациями.Осевые деформации равны нулю, поскольку принята гипотеза плоскойдеформации.52Под срединной поверхностью понимают поверхность, проведенную черезсредину сечения заготовки.214Тангенциальные деформации:l − l0 ρθ − ρ нεθρεθ ===−1ρ нεθρнl0Таким образом, при ρ > ρ нε εθ > 0 - материальные слои удлиняются втангенциальном направлении, а при ρ < ρ нε εθ < 0 - материальные слоиукорачиваются.Из закона постоянства объема при ε z = 0 следует, что ε ρ = −εθ .Поэтому во внешних слоях заготовки ε ρ < 0 , а во внутренних - ε ρ > 0 .Зона растяженияεσρεθρσθεθσzσzερσρBAσθl0RMερεθsDCθρнεMρcσρσθεθερrЗона сжатияσzσzσθσρЧасть материальных слоев заготовки, которая получает удлинение втангенциальном направлении, носит название зоны растяжения.Материальные слои, претерпевающие сжатие в тангенциальном направленииназывают зоной сжатия.Радиус кривизны нейтральной поверхности деформаций можноопределить из следующих соображений.
Поскольку ε z = 0 , то площадьлюбого элемента заготовки в плоскости, перпендикулярной оси z постояннадо и после деформации. Площадь элемента ABCD Fθ = 0.5θ R 2 − r 2 .Площадь того же элемента до деформации: Fθ 0 = s0l0 = s0 ρ нεθ (здесь s0 начальная толщина заготовки).
Приравнивая эти две величины, получим:R 2 − r 2 ( R + r )( R − r ) R + r ssρ нε ===× = ρc2 s02 s02s0s0Толщина заготовки при гибке уменьшается, поэтому радиуснейтрального слоя деформаций в общем случае меньше радиуса серединнойповерхности, который определяется соотношением:()215s ≤ s0 ;ρ нε ≤ ρcr> 5 толщина заготовки практическиs0не изменяется, следовательно, в этом случае ρ нε ≈ ρc .Нейтральная поверхность деформаций – это не физическаяповерхность (связанная с одним материальным слоем), а геометрическаяповерхность, которая в каждый данный момент времени занимает новоеположение и проходит по новым материальным слоям заготовки. Вначальный момент гибки она совпадает со срединной поверхностью, а затем,с уменьшением внутреннего радиуса смещается в сторону внутренних слоев.Таким образом, при гибке всегда есть зона немонотонной деформации –материальные слои, которые в начальный момент находились в зоне сжатия,а затем по мере уменьшения внутреннего радиуса, сместились в зонурастяжения.При гибке на большой радиус4.3.17Напряженное состояние при гибкемоментом широкой заготовки (решение без учета упрочнения)Напряженное состояние для зон растяжения и сжатия различаетсямежду собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
