Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда как для больших, так идля малых удельных контактных сил справедливо:∂σ x ∂σ y=∂x∂x39Величина, равная удвоенному значению постоянной пластичности kобозначается σ s* = 2k170Это выражение носит название: приближенное условие пластичностидля плоского деформированного состояния в дифференциальной форме.Очевидно, что оно справедливо и для малых и для больших сил контактноготрения.Для осесимметричного напряженного состояния условие пластичностиМизеса:(σ ρ − σ θ )2 + (σ θ − σ z )2 + (σ z − σ ρ )2 + 6τ ρ2z = 2σ s2при условии σ ρ = σ θ получим:(σ ρ − σ z )2 + 3τ ρ2z = σ s2 , тогдаσ ρ − σ z = ±σ s - для малых удельных контактных сил трения40.σ ρ − σ z = 0 - для больших удельных сил тренияАналогичноплоскомудеформированномусостояниюпродифференцируем упрощенное условие пластичности Мизеса по ρ.
Врезультатеполучимприближенноеусловиепластичностивдифференциальной форме для осесимметричного напряженного состояния ввиде:∂σ ρ ∂σ z=∂ρ∂ρРассмотрим применение инженерного метода для различных операцийобработки давлением.4.3.2 Осадка цилиндрической заготовки с постоянным контактнымтрениемОсадкой называется кузнечная операция, при которой происходитувеличение поперечного сечения за счет уменьшения высоты заготовки.При осадке цилиндрической заготовки обычно нижняя плитанеподвижна, а верхняя движется вниз с некоторой скоростью V. Заготовкауменьшается по высоте, одновременно увеличивая свой наружный диаметр.В результате на контактных поверхностях возникают силы трения,направленные в сторону, противоположную движению металла – т.е. к осизаготовки.
Иными словами силы трения препятствуют движению металла поконтактным поверхностям. Силы трения приводят к тому, что внешняяповерхность осаживаемой заготовки искажается – она имеет т.н.«бочкообразную» форму. При отсутствии сил трения напряженное состояние– линейное сжатие. Наличие сил трения делает напряженное состояние приосадке объемным.40Обратите внимание, что в этом выражении, в отличии от приближенногоусловия пластичности для плоского деформированного состояния, унапряжения текучести отсутствует надстрочный индекс «*».171VДеформированное состояниеτKεzτKερ zDH H0D0V/2zεθτK=-µsσsσzτρ zтAρhερНапряженное состояниеτρ zhερ zDσθτρ zσρV/2Если пренебречь инерционными процессами, т.е.
считать процессосадки квазистатическим, и разницей в условиях трения на верхней и нижнейконтактных поверхностях, то можно считать среднее сечение, расположенноена расстоянии h от верхнего торца неподвижным, а бойки движущимисянавстречу друг другу с равными скоростями. Напряженное состояние –осесимметричное, что означает равенство нулю компоненты скорости vθ ,направленной по касательной к окружностям41.Считаем, что очаг пластической деформации охватывает весь объемзаготовки42. Если пренебречь образованием бочки, то во всем объеме будетодинаковая схема напряженного и деформированного состояния.41Это не означает равенство нулю деформаций в окружном направлении.Кроме того осесимметричное напряженное состояние в силу симметриипредполагает отсутствие касательных напряжений в меридиональныхплоскостях (проходящих через ось z ).
Все компоненты напряжений независят от координаты θ.42Под очагом пластической деформации будем понимать часть объемазаготовки, в которой металл деформируется пластически. Остальной объемматериала деформируется упруго.172Схема деформированного состояния в цилиндрической системекоординат легко определяется по изменению размеров в соответствующихнаправлениях.Схема напряженного состояния – всесторонне неравномерное сжатие,поскольку при наличии трения периферийные слои заготовкисопротивляются перемещению материальных частиц в радиальномнаправлении, что приводит к появлению сжимающих радиальныхнапряжений.Сформулируем все допущения окончательно:Бочкообразностью пренебрегаем, иными словами считаем, чтовнешняя поверхность остается цилиндрической.Условия трения на обеих контактных поверхностях считаемидентичными, инерционными силами пренебрегаем.
Тогда можно считатьсреднее сечение неподвижным, а бойки движущимися навстречу другдругу с равными скоростями.Контактное трение постоянно по всей контактной поверхности. ЗаконконтактноготрениязадаемвформеПрандля-Зибеля,т.е.пропорциональным напряжению текучести:τ k = − µ sσ s ( µ s - фактор трения). Знак "минус" используем потому, чтоудельные силы трения, воздействующие на заготовку, направлены всторону, противоположную направлению оси ρ .Удельные контактные силы трения - малые τ k < 0.7 k .Материал заготовки – идеальный жестко-пластический σ s = const .Такое допущение справедливо при осадке в условиях горячегодеформирования.В соответствии с постулатами инженерного метода:Задача осесимметричная, принимаем условие полной пластичностиσ ρ = σθИщем только нормальные напряжения на контактных поверхностяхσ n = σ z z =h = ?Предполагаем линейное распределение касательных напряжений повысоте заготовки τ ρz = BzИспользуем упрощенное условие пластичности, которое в данном случаеввиду принятого допущения о малости сил трения имеет вид:σ ρ − σ z = ±σ s .
Знак в выражении определим позже.Очевидно, что в силу граничных условий:τ ρz=τkz =hВ силу симметрии задачи :τ ρz=0z =0Тогда распределение касательных напряжений по высоте заготовки:173zτ ρz = τ khПервое уравнение равновесия для осесимметричной задачи:∂σ ρ ∂τ ρz σ ρ − σ θ++=0∂ρ∂zρСогласно постулатам инженерного метода принимаем σ ρ = σ θ .Определим насколько это правомерно для данного случая.
Условиепостоянства объема с учетом перехода цилиндра в цилиндр(бочкообразностью мы пренебрегаем):π (R + ∆R )2 (h + ∆h ) − πR 2 h∆V=0⇒=02VπR hПренебрегая бесконечно малыми второго и выше порядков:R 2 h + 2 R∆Rh + R 2 ∆h − R 2 hR 2h=0⇒2∆R ∆h+≅0Rhεθεhили 2εθ + ε z = 0 , но с другой стороны ε ρ + εθ + ε z = 0 , откуда ε ρ = εθФизические уравнения деформационной теории пластичности могутбыть записаны, в частности, следующим образом:3 εiε ρ − εθ =σ ρ − σθ ,2 σiоткуда с учетом равенства деформаций ε ρ = εθ следует равенство()соответствующих напряжений σ ρ = σ θ .
Поэтому третье слагаемое вуравнении равновесия равно нулю.Перейдем от частных производных к общим. Интегральное выражение∂σ ρ ∂σ z. Согласно постулатам инженерногоусловия пластичности=∂ρ∂ρметода принимаем σ z = f ( ρ ) и не зависит от z , тогда от частных∂σ z dσ z=.производных можно перейти к полным∂ρdρzС учетом упрощений и допущения τ ρz = τ k , первое уравнениеhравновесия принимает вид:dσ z τ k+=0dρhИнтегрируя его, с учетом τ k = − µ sσ s получим:µσσz = s s ρ +Ch174Произвольную постоянную определим из упрощенного условияпластичности:σ ρ − σ z = ±σ sДля того чтобы определить знак в упрощенном условии пластичностивоспользуемся еще раз физическими уравнениями:⎛⎛⎞⎞εi ⎜1⎜⎟⎟ εε ρ = ⎜ σ ρ − ⎜ σ z + σ θ ⎟ ⎟ = i (σ ρ − σ z )2⎜σi ⎜=σ ρ ⎟⎠ ⎟⎠ 2σ i⎝⎝Поскольку согласно схеме деформированного состояния ε ρ > 0 , тоσ z < σ ρ и в условии пластичности следует использовать знак +, т.е.:σ ρ −σ z =σs.На внешней цилиндрической поверхности радиальное напряжениеравно нулю (нормально к внешней цилиндрической поверхности недействуют никакие силы), тогда:σ ρ ρ =r = 0⇒σ z ρ = r = −σ sОтсюдаµ ⎞⎛C = −σ s ⎜1 + s r ⎟h ⎠⎝Окончательно⎡ µ⎤σ z = −σ s ⎢1 + s (r − ρ )⎥h⎣⎦Эпюра распределения нормальных сил на контактной поверхностиимеет вид:-σs(1+µsD/H)-σ sДля определения силы деформирования необходимо проинтегрироватьнормальные контактные силы по площади контакта.175P = ∫ σ z dF =Fr2π r2πr0 000∫ ∫ σ z ρ d θ d ρ = ∫ dθ ∫ σ z ρ d ρ =rµ r µ ρ⎞⎛= 2π ∫ σ z ρ d ρ = −σ s 2π ∫ ⎜1 + s − s ⎟ ρ d ρ =hh ⎠00⎝⎛ r 2 µs r 3 µs r 3 ⎞µ r⎞µ D⎞⎛2⎛= −σ s 2π ⎜ +−⎟ = −σ sπ r ⎜1 + s ⎟ = −σ s F ⎜1 + s ⎟⎜ 22h3h ⎟⎠3h ⎠3H ⎠⎝⎝⎝Частное от деления деформирующей силы на площадь контактнойповерхности называется удельной силой деформирования.
Знак минус приэтом опускают, поскольку заранее известно, что речь идет о сжимающейсиле:P⎛ µ D⎞q = = σ s ⎜1 + s ⎟F3H ⎠⎝Полученное выражение носит название формулы Зибеля. Анализ этоговыражения показывает, что чем больше отношения диаметра заготовки к еевысоте, тем больше начинает сказываться влияние трения. Для относительновысоких заготовок (отношение диаметра к высоте меньше единицы) дажепри достаточно большом трении (фактор трения µs=0.33) влияние трения насилу деформирования не превосходит 10%.Определим работу, совершаемую при осадке заготовки.
Работадеформирования определяется интегрированием деформирующей силы поперемещению бойков43:A=SдHkH00H0Hk∫ PdS = ∫ P ( −dH ) = ∫ σ sπ D2 ⎛µs D ⎞⎜1 +⎟ dH4 ⎝3H ⎠Из условия постоянства объема без учета бочкообразности:D02 H 0 = Dk2 H k = D 2 H .Продолжим преобразования:H0 ⎞⎛D0⎜H ⎟H0H0 ⎛12⎜⎟1 µ s D0 H 0 ⎞π D 2 ⎜ µs D ⎟⎟dH =1+A = ∫ σsdH = σ sV ∫ ⎜ +52 ⎟⎜H⎟4 ⎜3H3HHkHk ⎝⎠⎟V H ⎜⎜⎟⎝⎠⎡ H⎞⎤µ s D0 H 01 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 110= σ sV ⎢ln+⎜ − ⎟ ⎜⎜ 3 2 − 3 2 ⎟⎟ ⎥ =3⎢ Hk⎝ 3 ⎠ ⎝ H0H k ⎠ ⎥⎦⎣43H = H k − S + Sд176⎡ H2µ ⎛ DD ⎞⎤= σ sV ⎢ln 0 + s ⎜ k − 0 ⎟ ⎥9 ⎝ H k H 0 ⎠⎦⎣ HkВпервые эта формула была получена М.В.Сторожевым и носит егоимя. Первое слагаемое в формуле отображает работу деформации металла, авторое – работу трения на контактных поверхностях.4.3.3 Осадка цилиндрической заготовки с переменным трением наконтактеДопущение о постоянстве сил трения на контакте между инструментоми заготовкой являются приближенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
