Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В общем случае напряжение текучестизависит от накопленных пластических деформаций, скорости деформации итемпературы:σ i = σ s = Φ(q, ε i , T )Напряженно-деформированноесостояниезаготовкидолжноудовлетворять граничным условиям. Пусть S v - часть внешней поверхностидеформируемой заготовки, на которой заданы кинематические граничныеусловия (например, скорости движения инструмента) и S p - часть внешнейграницы тела, на которой заданы силовые граничные условия (т.е. известныевнешние силы). Тогда граничные условия могут быть записаны в виде:σ ij= p0i , vi S = S = v0iS =S pv158В таком виде (уравнения равновесия, физические уравнения, условиесостояния пластичности, уравнения Коши и граничные условия) системауравнений становится замкнутой.Очевидно, что решением полученной системы нелинейныхдифференциальных уравнений в частных производных будут 15 неизвестныхфункций времени и координат:σ ij = σ ij ( x, y, z , t ) , ε ij = ε ij ( x, y, z , t ) , vi = vi ( x, y, z, t )Аналитическими методами решение этой системы дифференциальныхуравнений в частных производных выполнить невозможно, особенно сучетом нелинейных граничных условий и нелинейных свойств материала.Поэтому был предложен целый ряд методов, которые, предлагаяразличные упрощающие допущения, позволяли решать хотя бы часть задачтеоретического анализа технологических процессов.Рассмотрим классификацию методов решения технологических задач.Выделим два класса методов: теоретические и экспериментальноаналитические.

Теоретические методы позволяют выполнить расчетконкретногопроцесса,невыполняяегопредварительного37Экспериментально-аналитическиеэкспериментальногоисследования .методы требуют проведения предварительного эксперимента дляопределения напряженного или деформированного состояния заготовки споследующим расчетом неизвестных функций.Среди теоретических методов, следуя Г.А.Смирнову-Аляеву, можновыделить две группы: прямые и обратныеПрямые методы заключаются в прямом интегрировании приведеннойсистемы уравнений с привлечением упрощающих допущений.Обратные (их также называют энергетическими, поскольку используютэнергетические теоремы теории пластичности) методы заключаются впредварительном задании поля перемещений (или скоростей) вдеформируемой заготовке. По заданному полю, с использованиемфизических уравнений и ряда экстремальных принципов теориипластичности, определяют поле напряжений.

Чем ближе задаваемое полеперемещений (либо скоростей материальных точек) к истинному, тем точнеебудет найдено поле напряжений.Кроме того, методы делятся на аналитические, графоаналитические ичисленные.Возможности и ограничения теоретических методов решения задачобработки давлением сведены в таблицу. Обозначения в таблице: П –предназначен для решения плоских задач, О – осесимметричных задач, A –аналитический метод, ГА – графоаналитический, Ч – численный, Б – безучета упрочнения, С – осредненный учет упрочнения.37Экспериментальные исследования в теоретических методах выполняют длятиповых технологических процессов, чтобы подтвердить адекватностьпредлагаемой математической модели.159ОбратныеПрямыеМетодыЗадачиСовместного интегрированияИнженерныйЛиний скольженияКонечных разностейБаланса работВерхней оценкиВариационныйКонечных элементоввсе1,21,2,4все11,3всевсеОграниченияразмерн. методика упрочн.ПАБП,ОАСПА,ГА,ЧБЧП,ОАБП,ОАСА,ЧЧ-Несмотря на то, что наиболее полное решение дают только численныеметоды, получение даже приближенных аналитических решений являетсяактуальной задачей:Аналитические зависимости позволяют анализировать влияниеразличных параметров в общем виде, не имея их численныхзначений.Приближенные аналитические зависимости позволяют быстропроизвести инженерную оценку необходимой технологическойсилы и работы деформирования.Применение аналитических зависимостей в инженерной практикеснижает затраты на вычислительную технику и программноеобеспечение.4.2.

Решение задачи о пластическом равновесии трубы методоминтегрирования уравнений равновесия совместно сусловием пластичности.Метод можно использовать для плоских задач, когда числонеизвестных в уравнениях равновесия на единицу больше числа уравнений.В этом случае вместо физических уравнений можно использовать условиепластичности, тогда система уравнений становится замкнутой.Например, для плоского напряженного и плоского деформированногосостояния мы располагаем двумя уравнениями равновесия:∂σ x ∂τ xy+=0∂x∂y∂σ y ∂τ xy+=0∂y∂xи условием пластичности38:38Условие пластичности Мизеса в общем случае122σi =σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx=σs2() ()()1602σ s2 = σ x2 + σ 2y − σ xσ y + 3τ xy- для ПНС,()24 22σ s = σ x − σ y + 4τ xy- для ПДС.3Иными словами имеем три уравнения с тремя неизвестными.Но даже для таких простейших случаев, решения в замкнутом виденайдены только для некоторых частных задач.

Например, решение Надаи дляравновесия толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнегодавлений, решение Прандтля для сжатия бесконечной полосы междушероховатыми плитами при τ K = const , решение В.В.Соколовского оравновесии пластической массы, занимающей форму конуса и др.Рассмотрим в качестве примера решении Надаи для толстостеннойтрубы, находящейся под действием внутреннего давления.Поставим задачу следующим образом:Каково должно быть внутреннее давление p в толстостенной трубе свнутренним диаметром r и наружным R, чтобы труба полностью находиласьв пластическом состоянии. Материал – идеальное жестко-пластическое тело.pσzρτzρτρzσθσρ2r2RRИспользуем полярную систему координат, в которой ось z будетсовпадать с осью трубы, тогда ось ρ расположится в плоскости,перпендикулярной оси трубы. В этом случае напряженное состояние трубыбудет осесимметричным.Пусть торцы трубы свободны (на них не воздействуют внешние силы иотсутствуют ограничения на их перемещения).

Тогда можно считать, чтонапряжения вдоль оси трубы, обозначим их σ z , равны нулю. Кроме того, наторцах трубы отсутствуют касательные напряжения. Следовательно, во всехплощадках, перпендикулярных оси трубы касательные напряжения будуттакже отсутствовать. Тогда, следуя закону парности касательныхнапряжений, можно заключить, что во всех координатных площадкахцилиндрической системы координат, связанной с осью трубы, отсутствуютДля ПНС и ПДС τ yz = τ xz = 0 ,кроме того, для ПНС σ z = 0 , для ПДС σ z =σx +σ y2161касательные напряжения.

Поэтому координатные оси ρ ,θ , z - главные.Поскольку σ z = 0 , то напряженное состояние помимо осесимметричногоявляется еще и плоским.Проанализируем схему напряженного и деформированного состояния.Схема деформированного состояния будет одинакова во всем объемедеформируемой трубы. В осевом и тангенциальном (окружном)направлениях размеры элементарных отрезков увеличиваются, а врадиальном уменьшаются. Знаки соответствующих деформаций приведенына схеме.εzεθερσθσρ=σ3Радиальные напряжения являются сжимающими, поскольку изграничных условий на внутренней границе они должны быть равныдавлению (т.е.

сжимающие), а на внешней – нулю.σρρ =rσρρ=R= −p < 0=0Тангенциальные напряжения σ θ могут быть как растягивающими, таки сжимающими, но алгебраически большими, чем радиальные напряжения.Это можно доказать используя уравнения деформационной теориипластичности:⎡⎛⎞⎤εi ⎢ε ⎛1⎜11⎞ε ρ = ⎢σ ρ − σθ + σ z ⎟ ⎥⎥ = i ⎜ σ ρ − σθ ⎟ < 0 ⇒ σ ρ < σθ < σθ⎟ σ ⎝2 ⎜⎜22σi⎠⎟i⎢⎣= 0 ⎠ ⎥⎦⎝Таким образом:если σ θ > 0σ1 = σθ > σ ρ ;σ 2 = σ z = 0;σ3 =σ ρ < 0если σ θ < 0σ 1 = σ z = 0;σ 2 = σθ > σ ρ ;σ3 =σ ρ < 0Уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния:∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ⎫++= 0;⎪∂ρ∂zρ⎪⎬∂τ ρz ∂σ z τ ρz⎪++= 0.⎪⎭∂ρ∂zρ162Поскольку касательные и осевые напряжения равны нулю, то второеуравнение системы уравнений равновесия тождественно выполняется, а впервом уравнении компонента, зависящая от производной касательногонапряжения, исчезает.

Кроме того, поскольку радиальное напряжение σ ρ независит от координат z ,θ , то частная производная в первом уравнениистановится полной. Тогда окончательно уравнение равновесия для нашегослучая принимает вид:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρВ этом уравнении два неизвестных. Для получения замкнутой системыиспользуем условие пластичности Губера-Мизеса, которое для плоскогонапряженного состояния при главных напряжениях σ θ ,σ ρ примет вид:σ s2 = σ θ2 + σ ρ2 − σ θ σ ρТаким образом, задача становится замкнутой.Для решения дифференциального уравнения необходимо исключить изнего одну из переменных, используя условие пластичности. Прямоеисключение приводит к нелинейному однородному дифференциальномууравнению первого порядка, которое не интегрируется в квадратурах.Попытаемся получить параметрическое решение, выразив напряжениев виде функции некоторого параметра t .

Для этого введем обозначения:σ ρ + σθσ ρ − σθ=x=y22Тогда условие пластичности можно свести к виду:x 2 + 3 y 2 = σ s2Действительно, подстановка x, y дает:(σ ρ + σ θ )2 + 3(σ ρ − σ θ )2 = 4σ s2 ,4σ θ2 + 4σ ρ2 + 2σ θ σ ρ − 6σ θ σ ρ = 4σ s2Каноническое уравнение эллипса:x2 y2+=1a2 b2Параметрическое уравнение эллипса:x = a cos t , y = b sin tТаким образом, в нашем случае:a =σs, b =σs3Тогда, основываясь на параметрической записи, получим:σ ρ + σθσ ρ − σθ σ s= σ s cos t ,=sin t223163Почленно складывая и вычитая эти два уравнения, получимпараметрические выражения для радиального и тангенциальногонапряжений:11⎛⎞⎛⎞σ ρ = σ s ⎜ cos t +sin t ⎟σ θ = σ s ⎜ cos t −sin t ⎟33⎝⎠⎝⎠Для определения параметра t подставим полученные выражения длянапряжений в уравнение равновесия:1d ⎡ ⎛⎞⎤ σ s 2cossinσttsin t = 0+⎜⎟⎥ +sdρ ⎢⎣ ⎝3⎠⎦ ρ 3Производную в этом выражении найдем как производную сложнойфункции:dσ ρ ∂σ ρ dt1⎛⎞ dt== σ s ⎜ − sin t +cos t ⎟∂t dρdρ3⎝⎠ dρПодставив полученное выражение в уравнение равновесия и сокращаяна σ s , получим дифференциальное уравнение, связывающее текущеезначение радиуса и параметр t:11 2⎞ dt⎛cos t ⎟=−sin t⎜ − sin t +ρ 33⎝⎠ dρпродолжая преобразования:1sin t −cos t⎛ 3 1⎞dρ3=dt = ⎜⎜− ctg t ⎟⎟dt2ρ⎝ 2 2⎠sin t3интегрируя, получим⎡ 3⎤1ln ρ = ⎢ t − ln(sin t )⎥ + C2⎣ 2⎦2ln ρ = ⎡⎣ 3t − ln ( sin t ) ⎤⎦ + 2CОбозначив 2C = ln B 2 , после преобразований получимρ 2 sin tln= 3tB2B 2 3t2ρ =esin tПроизвольную постоянную B найдем, подставляя граничные условия вусловие состояния пластичности: σ s2 = σ θ2 + σ ρ2 − σ θ σ ρρ = R, σ ρ = 0 ⇒ σ θ = σ s :тогда должны выполняться два условия:1641⎛⎞1sin t ⎟ = 0cos t +sin t = 033⎝⎠или11⎛⎞cos t −sin t = 1σ θ = σ s ⎜ cos t −sin t ⎟ = σ s33⎝⎠Складывая и вычитая почленно, получим1⎧⎧⎪ 2 cos t = 1⎪ cos t = 2⎨ 2 sin t = −1 , или ⎨⎪⎩ 3⎪sin t = − 3-0.5√3⎩2Этимусловиямодновременноσ ρ = σ s ⎜ cos t +удовлетворяет t = −откуда0.5t=-π/3π3ππ−3 2 32B22R eR =−e 3 или B 2 = −23окончательно⎛ π⎞3⎜t + ⎟23R3 ⎠ илиe ⎝ρ2 = −2sin t⎛π⎞− 3⎜ t + ⎟2=−sin t ⋅ e ⎝ 3 ⎠23ρТаким образом, мы получили общее решение задачи впараметрическом виде:⎛ π⎞⎧ 2− 3⎜ t + ⎟R2⎪⎝ 3⎠⎪ ρ 2 = − 3 sin t ⋅ e⎪⎪1⎛⎞sin t ⎟⎨ σ ρ = σ s ⎜ cos t +3⎝⎠⎪⎪1⎛⎞sin t ⎟⎪ σ θ = σ s ⎜ cos t −3⎝⎠⎪⎩Это решение определяет напряженное состояние в произвольной точкетрубы пластически деформируемой при плоском напряженном состоянии.Для того, чтобы получить значения напряжений в произвольной точке,характеризуемой радиусом ρ , следует сначала из первого уравнениясистемы определить параметр t.R2165Проанализируем решение, для чего построим графики функцийσ (t ) σ ρ (t )RR,в интервале > 1 , или ρ < R= f (t ) , θσsρσsρ3R/ρ21σθ/σs0σρ/σs-1-2-π-5π/6-2π/3t-π/3-π/2π− π < t ≤ − .

Характеристики

Список файлов книги