Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если известноэкспериментальное распределение удельных сил трения, то его используютпри расчетах. Если экспериментальных данных нет, то при ожидаемыхмалых значениях нормальных контактных давлений (а, следовательно, и122малых удельных сил трения) пользуются законом Амонтона – Кулона. Так, вчастности, поступают при анализе операций листовой штамповки. Прианализе операций горячей штамповки, где величина контактных давлений исил трения велика, используют закон Прандля.3.14. Геометрическая интерпретация процесса нагруженияупрочняемых тел. Виды упрочнения.Ранее мы сталкивались с геометрической интерпретацией условийпластичности.
Было введено понятие поверхности пластичности впространстве главных напряжений. Уравнение поверхности определяетсяусловием пластичности, выраженным относительно главных напряжений.Напомним, что поверхность пластичности Треска в пространствеглавных напряжений представляет собой правильную шестиугольнуюпризму, равнонаклоненную к главным осям и отсекающую на этих осяхотрезки, равные напряжению текучести.Поверхность пластичности Мизеса в пространстве главныхнапряжений представляет собой цилиндр с радиусом R = σ s 2 / 3равнонаклоненный к главным осям.
Этот цилиндр описывается вокругпризмы Треска.Такое представление достаточно наглядно, однако имеет своинедостатки, одним из которых является необходимость сначала определитьглавные напряжения и положение главных осей в глобальной системекоординат.В теории пластичности часто используют более общее понятие –пространство напряжений.Напряженное состояние в точке полностью определено тензоромнапряжений. В силу симметрии этого тензора для характеристикинапряженного состояния достаточно шести компонент тензора. Рассмотримшестимерное пространство, в котором в направлении каждой из осей будемоткладывать одну из компонент тензора напряжений.
Такое пространствоназовем пространством напряжений.MS'σijSО123Очевидно, что каждая точка в пространстве напряжений соответствуетвозможному напряженному состоянию материальной точки тела. Началокоординат соответствует ненапряженному состоянию. Вектор, соединяющийначало координат и точку в пространстве напряжений отображает тензорнапряжений.В пространстве напряжений можно выделить поверхность,соответствующую условию состояния пластичности f (σ ij ,σ s ) = 0 . Этаповерхность называется поверхностью пластичности в пространственапряжений.dσijSMσijMОНагружение материальной точки сопровождается изменениемкомпонент тензора напряжений. Поэтому в пространстве напряженийпроцесс нагружения материальной точки будет представлять некоторуюкривую, которую и называют путем деформирования.
Если путьдеформирования целиком находится внутри поверхности пластичности, тоон описывает упругую деформацию. Выход пути деформирования наповерхность пластичности означает переход точки в пластическое состояние.Таким образом, можно дать еще одно определение поверхностипластичности.Поверхностью пластичности называется геометрическое местоточек состояния пластичности на произвольных путях деформированияматериальной точки. В теории пластичности доказывается, чтоповерхность пластичности является выпуклой.В случае идеально-пластического тела поверхность пластичности длякаждой материальной точки неизменна. Деформации на поверхностипластичности неопределенны.Если происходит упрочнение, то поверхность пластичности меняетсвою форму и положение в пространстве в зависимости от вида упрочнения/Можно рассмотреть три возможных направления бесконечно малогоприращения вектора σ ij для точки, находящейся на поверхностипластичности:124Вектор dσ ij направлен вне текущего положения поверхностипластичности - процесс активного нагружения, сопровождающийсяупрочнением и приводящий к изменению поверхности пластичности.Вектор dσ ij направлен по касательной к текущему положениюповерхности пластичности - процесс нейтрального нагружения(перемещение по поверхности пластичности, сопровождающееся толькоупругими деформациями);Вектор dσ ij направлен внутрь текущего положения поверхностипластичности - процесс упругой разгрузки, сопровождающийсяуменьшением упругих деформаций.Рассмотрим виды упрочнения сначала в одномерном случае.При одноосном напряженном состоянии все компоненты тензоранапряжений, кроме одной (например, σ zz ) равны нулю, следовательно,шестимерное пространство напряжений вырождается в одномерное.Появление пластических деформаций связано с достижениемнапряжением σ zz величины предела текучести σ s 0 .
Согласно гипотезеединой кривой, переход тела в пластическое состояние не зависит от типанапряженного состояния, следовательно, на оси σ zz можно выделить областьΕ = (− σ s 0 ,σ s 0 ) , которая характеризует упругое состояние материальнойточки.ΕSS−σs0Оσs0σzzГраницей упругой области будут точки − σ s 0 ,σ s 0 , достигнув которых,материальная точка переходит в пластическое состояние. Таким образом,поверхностью пластичности в одномерном случае будет совокупность двухточек − σ s 0 ,σ s 0 .Если тело идеально пластическое ( σ s = const ), то точки вне отрезка[− σ s 0 ,σ s 0 ] не имеют смысла. В этом случае уменьшение напряженияозначает упругую разгрузку, а в точках ± σ s 0 деформация неопределенна.Если тело упрочняющееся, то можно выделить два простейшихмеханизма упрочнения.Изотропное упрочнение –с увеличением деформации границыупругой области равномерно расширяются в обе стороны: [− σ s ,σ s ] > 2σ s 0125Ε'S'−σsSΕSОS'σsσs0σzzКинематическое (трансляционное) упрочнение – границы упругойобласти с увеличением деформации сдвигаются вдоль оси, но не изменяютсяпо размеру: [− σ ' s ,σ s ] = 2σ s 0 .ΕSS−σ's Оσsσs0S'−σs0 S'σzzΕ'Рассмотрим, каким образом эти два вида упрочнения отображаются надиаграммах истинных напряжений.
Для простоты используем упругопластическое тело с линейным упрочнением. Рассмотрим процесс, в которомтело сначала нагружается в одном направлении, затем происходит егоразгрузка и повторная нагрузка в противоположном направлении.Для изотропного упрочнения такой процесс схематически можноизобразить следующим образом:σσsσs0ε−σs0−σsИзотропное упрочнение не учитывает эффект Баушингера, согласнокоторому предел текучести материала снижается при предварительномнагружении тела в противоположном направлении. Иными словами, если126тело сначала подвергнуть деформациям растяжения, затем разгрузить ипопытаться подвергнуть сжатию, то для перехода в пластическое состояние вэтом случае потребуется меньшее напряжение, чем при первоначальномрастяжении.Эффект Баушингера может быть учтен при кинематическомупрочнении:σσsσs02σs02σs0ε−σ's−σs0Общий случай упрочнения заключается в сочетании кинематического(трансляционного) и изотропного упрочнения.
Поверхность пластичностирасширяется и перемещается в пространстве напряжений. Упрочнение можетбыть и анизотропным, тогда поверхность пластичности расширяетсянеравномерно.Распространим рассмотренные выше виды упрочнения на общийслучай напряженного состояния.Геометрически различные виды упрочнения в пространственапряжений можно представить следующими схемами:ТрансляционноеОбщий случайИзотропное упрочнениеупрочнениеупрочненияSS'SООS'S'SО1273.15.
Физические уравнения связи между напряжениями идеформациями.При воздействии на тело внешних нагрузок оно меняет свой объем иформу. Чем больше внешние нагрузки, тем большие деформации возникаютв теле. Естественно предположить, что существует взаимосвязь междунапряженным и деформированным состоянием.
Уравнения связи междукомпонентами тензора перемещений и тензора деформаций (скоростейдеформации, приращений деформаций) носят название физических уравненийсвязи напряженного и деформированного состояний (иногда их называютопределяющими соотношениями).Физические уравнения до настоящего времени являются не законами, агипотезами, в большей или меньшей степени подтвержденнымиэкспериментом. Иными словами эти уравнения – феноменологические.Наиболее простым примером таких уравнений является связь междунапряжениями и деформациями при упругом деформировании изотропногоматериала, которые мы рассматривали ранее.
Эти уравнения носят названияобобщенного закона Гука.В тензорной форме – в виде зависимости между девиаторамидеформаций и напряжений обобщенный закон Гука имеет вид:sijeij =, i , j = x, y , z2Gε cp =σ cp(объемный закон Гука)3K11ε cp = ε ii ,σ cp = σ ii33Связь между физическими константами E – модуль упругости 1-города, µ – коэффициент Пуассона, G – модуль упругости 2-го рода (модульсдвига), K – объемный модуль упругостиEE3K =;2G =1 − 2µ1+ µОбобщенный закон Гука в тензорной форме фактически постулируетпрямо пропорциональную связь между девиаторами напряжений идеформаций:1Dε =Dσ2GЗапишем условие пропорциональности девиаторов в главных осях:ε1 − ε cp ε 2 − ε cp ε 3 − ε cp1===σ 1 − σ cp σ 2 − σ cp σ 3 − σ cp 2GСледовательно:128(ε1 − ε cp )2G = σ1 − σ cp ;(ε 2 − ε cp )2G = σ 2 − σ cp ;(ε 3 − ε cp )2G = σ 3 − σ cp ;Почленное вычитание полученных выражений приводит к:ε1 − ε 2 ε 2 − ε 3 ε 3 − ε11===σ 1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ 1 2GЗнаменатели этих выражений – диаметры главных окружностей Морадля напряжений, а числители – диаметры главных окружностей Мора длядеформаций.
Это равносильно утверждению, что диаграммы Мора длянапряжений и деформаций подобны33, а это в свою очередь означает:Направления главных осей деформаций и главных осей напряженийсовпадают, следовательно равны и соответствующие направляющиекосинусы:niσ = niεПоказатели Лоде-Надаи для напряжений и деформаций равны междусобой.µσ = µεВ координатной форме обобщенный закон Гука имеет вид1⎫ε x = ⎡σ x - µ σ y + σ z ⎤ ;⎪⎥⎦E ⎢⎣⎪1⎡⎪⎤εy = σ y - µ σx +σz ;⎦⎪⎪E⎣⎬1⎡⎤⎪εz = σz - µ σx +σ y ;⎦⎥E ⎣⎢⎪γ xy τ xyγ yz τ yzγ zx τ zx ⎪;ε =;ε =;⎪ε xy ====22G yz22G zx22G ⎪⎭Для установления связи между напряженным и деформированнымсостоянием при пластических деформациях применяют две теории – теориюпластического течения и деформационную теорию пластичности (теориюмалых упруго-пластических деформаций).()()()3.16.
Теория пластического течения.Уравнения теории пластического течения устанавливают связь междубесконечно малыми приращениями деформаций (или скоростямидеформаций) и бесконечно малыми приращениями напряжений, самиминапряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния. Как и33Подобие диаграмм Мора означает пропорциональность главныхокружностей, но не пропорциональность главных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
